1.3　CFD基本模型

流体流动所遵循的物理定律是建立流体运动基本方程组的依据。这些定律主要包括质量守恒、动量守恒、动量矩守恒、能量守恒、热力学第二定律，加上状态方程、本构方程。在实际计算时，还要考虑不同的流态，如层流与湍流。

1.3.1　基本控制方程

1．系统、控制体与常用运算符

在流体力学中，系统是指某一确定流体质点集合的总体。系统以外的环境称为外界。分割系统与外界的界面称为系统的边界。系统通常是研究的对象，外界则用来区别于系统。系统将随系统内质点一起运动，系统内的质点始终包含在系统内，系统边界的形状和所围空间的大小，则可随运动而变化。系统与外界无质量交换，但可以有力的相互作用及能量（热和功）交换。

控制体是指在流体所在的空间中，以假想或真实流体边界包围，固定不动、形状任意的空间体积。包围这个空间体积的边界面称为控制面。控制体的形状与大小不变，并相对于某坐标系固定不动。控制体内的流体质点组成并非不变的。控制体既可通过控制面与外界有质量和能量交换，也可与控制体外的环境有力的相互作用。

本书将用到如下一些数学运算符。

梯度　　　　　（1-90）

散度　　　　　（1-91）

旋度

（1-92）

其中，，称为那勃勒算子。

（1-93）

（1-94）

（1-95）

其中，称为拉普拉斯算子。

冒号运算符　　　 。　　（1-96）

2．质量守恒方程（连续性方程）

在流场中，流体通过控制面流入控制体，同时也会通过另一部分控制面A₂流出控制体，在这期间控制体内部的流体质量会发生变化。按照质量守恒定律，流入的质量与流出的质量之差，应该等于控制体内部流体质量的增量，由此可导出流体流动连续性方程。

（1-97）

其中，表示密度，u表示速度矢量。

3．动量守恒方程（运动方程）

动量守恒是流体运动时应遵循的另一个普遍定律，描述为：在一给定的流体系统，其动量的时间变化率等于作用于其上的外力总和，其数学表达式即为动量守恒方程，也称为运动方程，或N-S方程，其表达式为

（1-98）

其中，是压力，I是单位矩阵，K为黏性应力张量，F是体积力矢量。

动量守恒方程在实际应用中有许多表达形式，需要根据实际计算情况来选择使用。

4．能量守恒方程

将热力学第一定律应用于流体运动，把流体相对运动方程中的各项用有关的流体物理量表示出来，即得到能量守恒方程。

（1-99）

其中，C_p是恒压比热容；T是绝对温度；q是热通量矢量；Q为热源；S为应变率张量，；K为黏性应力张量，。同样，该式在实际应用中有许多表达形式，需要根据实际计算情况来选择使用。

1.3.2　湍流模型

湍流流动是自然界广泛存在的现象，其核心特征是其在物理上近乎于无穷多的尺度和数学上强烈的非线性，这使得人们无论是通过理论分析、实验研究还是计算机模拟来彻底认识湍流都非常困难，因此研究湍流机理，建立相应的模式，并进行适当的模拟仍是解决湍流问题的重要途径。COMSOL提供的湍流模型包括Spalart-Allmaras模型、L-VEL模型、代数yPlus模型、标准模型、可实现的（Realizable）模型、低雷诺数模型、模型、SST模型、v2-f模型等。

选取湍流模型时，需要考虑的因素包括流体是否可压、针对特定问题的习惯解法、精度的要求、计算机的计算能力和时间的限制。COMSOL还有壁面函数、自动壁面处理、湍流模型间自动切换等方式和方法帮助用户解决湍流求解问题。

1．Spalart-Allmaras模型

Spalart-Allmaras 模型增加了一个额外的无衰减运动学涡流黏度变量。它是一个低雷诺数模型，可求解实体壁之内的整个流场。这个模型最初针对空气动力学应用而开发，优势在于相对稳健，分辨率要求不高，内存需求小，具有良好的收敛性，不使用壁面函数使可精确计算力（升力与曳力）、流量（传热与传质）。该模型不能精确计算包含剪切流、分离流或衰减湍流的流场。

2．L-VEL和代数yPlus模型

L-VEL和代数yPlus湍流模型仅基于局部流速和与最近壁面的距离来计算湍流黏度，它们不求解附加变量。这两种模型的鲁棒性好，且计算强度低。虽然它们是精度较低的模型，但对内部流动却有很好的近似，尤其是在电子冷却应用中。

3．标准k-ε模型

标准k-ε模型求解了两个变量：湍流动能k和湍流动能耗散率ε。本模型使用了壁面函数，但壁附近的解不够精确。标准k-ε模型稳定，具有很好的收敛速率和相对较低的内存要求，在工业领域应用广泛。标准k-ε模型可以在壁附近使用较粗的网格，对于复杂几何形状外部流动问题的求解效果很好，如标准k-ε模型可用于求解钝体周围的气流。但它不能精确地计算流动或射流中的逆压梯度和强曲率的流场。标准k-ε模型的湍流动能k和耗散率ε的方程为

（1-100）

（1-101）

其中，为湍流黏度，；常数，，，，；为产生项，表达式如下：

（1-102）

4．可实现的k-ε（Realizable ）模型

可实现的k-ε模型与标准k-ε模型相比，有两个主要不同点：①可实现的k-ε模型为湍流黏性增加了一个公式。②可实现的k-ε模型为耗散率增加了新的传输方程。除强旋流过程无法精确预测外，其他流动都可以使用此模型来模拟，包括有旋均匀剪切流、自由流（射流和混合层）、腔道流动和边界层流动。

5．低雷诺数k-ε模型

低雷诺数k-ε模型类似于标准k-ε模型，但没有使用壁面函数。它求解了每个位置的流动，是对标准k-ε模型的合理补充，拥有和后者一样的优势，但通常要求网格更加密集；它的低雷诺数属性不仅表现在壁面上，而是在各处都发挥作用，使湍流衰减。该模型有两种常用的方法：一种方法是首先使用标准k-ε模型计算出一个良好的初始条件，然后用它求解低雷诺数k-ε模型；另一种方法是使用自动壁面处理功能，先利用粗化的边界层网格来获取壁面函数，然后对所需壁面处的边界层进行细化，进而获得低雷诺数k-ε模型。

低雷诺数k-ε模型可以计算升力和曳力，而且热通量的建模精度远远大于标准k-ε模型。在许多情况下，它表现出了卓越的预测分离和黏附的能力。

6．k-ω模型

k-ω模型通过两个输运方程求解与。对于有界壁面和低雷诺数的可压缩性和剪切流动，该模型能取得较好的模拟效果，尤其适合处理圆柱绕流、放射状喷射、混合流动等问题，它包含转捩、自由剪切和压缩性选项。

7．SST 模型

SST模型结合了自由流中的k-ε模型和近壁的k-ω模型。它是一个低雷诺数模型，在工业应用中是一个“万能”模型。在对分辨率的要求方面，该模型与k-ω模型和低雷诺数k-ε模型相似，但消除了k-ω模型和低雷诺数k-ε模型表现出的一些弱点。

8．v2-f 模型

在接近壁面边界的地方，平行方向上的速度脉动通常会远远大于垂直于壁面的方向，速度脉动被认为是各向异性的。在远离壁面的地方，所有方向的脉动大小均相同，速度脉动变为各向同性。

除了使用两个分别描述湍流动能k和耗散率ε的方程，v2-f湍流模型使用了两个新方程来描述湍流边界层中湍流强度的各向异性：第一个方程描述了垂直于流线的湍流速度脉动的传递；第二个方程解释了非局部效应，例如由壁面引起的、垂直和平行方向之间的湍流动能的再分配阻尼。

9．大涡模拟

大涡模拟（Large Eddy Simulation，LES）用于解析较大的三维非定常湍流涡，而小涡流的影响则通过近似方法表示。这项技术与边界层网格划分一起使用时，可以精确描述瞬态流场以及边界上的精确通量和力。COMSOL中提供的 LES 模型包括“基于残差的变分多尺度”（RBVM）、“基于残差的黏性变分多尺度”（RBVMWV）和 Smagorinsky 模块。

1.3.3　流动的初始条件和边界条件

在流体动力学计算中，初始条件和边界条件的正确设置是关键的一步。COMSOL软件提供了流动的初始条件和边界条件。

1．初始条件

初始条件是计算初始给定的参数，即时给出各未知量的函数分布。初始条件需要根据实际情况来设置。当流体运动定常时，无初始条件问题。

2．边界条件

边界条件是流体力学方程组在求解域的边界上流体物理量应满足的条件。例如，流体被固壁所限，流体就不应有穿过固壁的速度分量；在水面边界上，大气压强认为是常数（一般在距离不大的范围内可如此）；在流体与外界无热传导的边界上，流体与边界之间无温差等。虽然各种具体问题不同，但边界条件一般要保持恰当：①保持在物理上是正确的；②要在数学上不多不少，刚好能用来确定微分方程中的积分常数，而不是矛盾的或有随意性。

COMSOL软件的常用流动分析的初始条件与边界条件设置详见5.1节。