1.2.2 传感器的动态特性

传感器的动态特性是指输入量随时间变化时传感器的响应特性。由于传感器的惯性和滞后，当被测量随时间变化时，传感器的输出往往来不及达到平衡状态，处于动态过渡过程之中，所以传感器的输出量也是时间的函数，其间的关系要用动态特性来表示。一个动态特性好的传感器，其输出将再现输入量的变化规律，即具有相同的时间函数。实际的传感器，输出信号将不会与输入信号具有相同的时间函数，这种输出与输入间的差异就是所谓的动态误差。

为了说明传感器的动态特性，下面简要介绍动态测温的问题。当被测温度随时间变化或将传感器突然插入被测介质中，以及传感器以扫描方式测量某温度场的温度分布等情况时，都存在动态测温问题。如把一支热电偶从温度为T₀环境中迅速插入一个温度为T₁的恒温水槽中（插入时间忽略不计），这时热电偶测量的介质温度从T₀突然上升到T₁，而热电偶反映出来的温度从T₀变化到T₁需要经历一段时间，即有一段过渡过程，热电偶的动态误差如图1-12所示。热电偶反映出来的温度与其介质温度的差值就称为动态误差。

造成热电偶输出波形失真和产生动态误差的原因，是温度传感器有热惯性（由传感器的比热和质量大小决定），使得在动态测温时传感器的输出总是滞后于被测介质的温度变化。如带有套管的热电偶，其热惯性要比没有套管的热电偶大得多。这种热惯性是热电偶固有的，它使得热电偶测量快速变化的温度时会产生动态误差。任何传感器都有影响动态特性的“固有因素”，只不过它们的表现形式和作用程度不同而已。

1. 传感器的基本动态特性方程

传感器的种类和形式很多，但它们的动态特性一般都可以用下述的微分方程来描述：

式中，a₀，a₁，…，a_n；b₀，b₁，…，b_m是与传感器的结构特性有关的系数。

（1）零阶系统

在方程式中的系数除了a₀、b₀之外，其他的系数均为零，则微分方程就变成简单的代数方程，即

a₀y(t)=b₀x(t)

通常将该代数方程写成

y(t)=kx(t)

式中，k=b₀/a₀为传感器的静态灵敏度或放大系数。传感器的动态特性用上述方程来描述的称为零阶系统。

零阶系统具有理想的动态特性，无论被测量x（t）如何随时间变化，零阶系统的输出都不会失真，其输出在时间上也无任何滞后，所以零阶系统又称为比例系统。

在工程应用中，电位器式电阻传感器、变面积式电容传感器及静态式压力传感器测量液位均可看作零阶系统。

（2）一阶系统

若在上面微分方程式中的系数除了a₀、a₁与b₀之外，其他的系数均为零，则微分方程为

上式通常改写成为

式中，τ为传感器的时间常数，τ=a₁/a₀；k为传感器的静态灵敏度或放大系数，k=b₀/a₀。

时间常数τ具有时间的量纲，它反映传感器惯性的大小，静态灵敏度则说明其静态特性。用上面一阶微分方程式描述其动态特性的传感器就称为一阶系统，一阶系统又称为惯性系统。

【例1-1】图1-13为热电偶测温系统，热电偶接点温度T_o低于被测介质温度T_i时，则有热流q流入热电偶接点，它与T_i和T_o的关系为

式中，R为介质的热阻；C为热电偶的比热容。

令τ=RC，上式可写为

式中，K为放大倍数，此处K=1。

上式为一阶传感器微分方程，T_i、T_o分别为输入量、输出量，相当于一般一阶传感器的x和y。

【例1-2】图1-14为弹簧-阻尼器组成的机械系统，弹簧刚度为k，阻尼器的阻尼系数为c，微分方程为

上式可改写为

式中，τ为时间常数（τ=c/k）；k_o为静态灵敏度（k_o=b₀/a₀）。这也是一阶系统。

（3）二阶系统

二阶系统的微分方程为

二阶系统的微分方程通常改写为

式中，k为传感器的静态灵敏度或放大系数，k=b₀/a₀；ξ为传感器的阻尼系数，ξ=a₁/；ω_n为传感器的固有频率，。

根据二阶微分方程特征方程根的性质不同，二阶系统又可分为

①二阶惯性系统：其特点是特征方程的根为两个负实根，它相当于两个一阶系统串联。

②二阶振荡系统：其特点是特征方程的根为一对带负实部的共轭复根。

带有套管的热电偶、电磁式的动圈仪表及RLC振荡电路等均可看作二阶系统。

2. 传感器的动态响应特性

传感器的动态响应特性不仅与传感器的“固有因素”有关，还与传感器输入量的变化形式有关。也就是说，同一个传感器在不同形式的输入信号作用下，输出量的变化是不同的，通常选用几种典型的输入信号作为标准输入信号，研究传感器的响应特性。

（1）瞬态响应特性

传感器的瞬态响应是时间响应。在研究传感器的动态特性时，有时需要从时域中对传感器的响应和过渡过程进行分析，这种分析方法称为时域分析法。在对传感器进行时域分析时，用得比较多的标准输入信号有阶跃信号和脉冲信号，传感器的输出瞬态响应分别称为阶跃响应和脉冲响应。

①一阶传感器的单位阶跃响应。

一阶传感器的微分方程为

设传感器的静态灵敏度k=1，则它的传递函数为

对初始状态为零的传感器，若输入一个单位阶跃信号，即

输入信号x（t）的拉普拉斯变换为

一阶传感器的单位阶跃响应的拉普拉斯变换式为

对上式进行拉普拉斯反变换，可得一阶传感器的单位阶跃响应信号为

相应的响应曲线如图1-15所示。由图1-15可见，传感器存在惯性，它的输出不能立即复现输入信号，而是从零开始，按指数规律上升，最终达到稳态值。理论上传感器的响应只在t趋于无穷大时才达到稳态值，但通常认为t=（3～4）τ时，如当t=4τ时其输出值可达到稳态值的98.2%，则可以认为已达到稳态。所以，一阶传感器的时间常数τ越小，响应越快，响应曲线越接近于输入阶跃曲线，即动态误差小。因此，τ值是一阶传感器重要的性能参数。

②二阶传感器的单位阶跃响应。

二阶传感器的微分方程为

设传感器的静态灵敏度k=1，其二阶传感器的传递函数为

传感器输出的拉普拉斯变换为

图1-16为二阶传感器的单位阶跃响应曲线，二阶传感器对阶跃信号的响应在很大程度上取决于阻尼比ξ和固有角频率ω_n。ξ=0时，特征根为一对虚根，阶跃响应是一个等幅振荡过程，这种等幅振荡状态又称为无阻尼状态；ξ>1时，特征根为两个不同的负实根，阶跃响应是一个不振荡的衰减过程，这种状态又称为过阻尼状态；ξ=1时，特征根为两个相同的负实根，阶跃响应也是一个不振荡的衰减过程，但是它是一个由不振荡衰减到振荡衰减的临界过程，故又称为临界阻尼状态；0<ξ<1时，特征根为一对共轭复根，阶跃响应是一个衰减振荡过程，在这一过程中ξ值不同，衰减快慢也不同，这种衰减振荡状态又称为欠阻尼状态。

阻尼比ξ直接影响超调量和振荡次数，为了获得满意的瞬态响应特性，实际使用中常按稍欠阻尼调整，对于二阶传感器取ξ=0.6～0.7，则最大超调量不超过10%，趋于稳态的调整时间也最短，为（3～4）/（ξω）。固有角频率ω_n由传感器的结构参数决定，固有角频率ω_n即等幅振荡的频率，ω_n越高，传感器的响应也越快。

③传感器的时域动态性能指标。

现采用阶跃输入信号说明时域动态特性，如图1-17a、b分别为一阶和二阶传感器的时域动态特性曲线，从图中可以说明时域动态性能指标。

●时间常数τ：一阶传感器输出值上升到稳态值的63.2%所需的时间，称为时间常数。

●延迟时间t_d：传感器输出值达到稳态值的50%所需的时间。

●上升时间t_r：传感器输出值从最终稳定值的5%（或10%）变到最终稳定值的95%（或90%）所需要的时间。

●峰值时间t_p：二阶传感器输出响应曲线达到第一个峰值所需的时间。

●超调量σ：二阶传感器输出值超过稳态值的最大值。其公式为

式中，y_max为输出第一次所达到的最大值；y（∞）为最终稳定值。

●衰减比d：衰减振荡的二阶传感器输出响应曲线第一个峰值与第二个峰值之比。

●衰减度ψ：衰减振荡的二阶传感器输出响应曲线第一个峰值与第二个峰值之差与第一个峰值之比，即

式中，y₁为出现y_m一个周期后的y（t）值。如果y₁＜＜y_m，则ψ≈1，表明衰减很快，该系统很稳定，振荡很快停止。

（2）频率响应特性

传感器对不同频率成分的正弦输入信号的响应特性，称为频率响应特性。一个传感器输入端有正弦信号作用时，其输出响应仍然是同频率的正弦信号，只是与输入端正弦信号的幅值和相位不同。频率响应法是从传感器的频率特性出发，研究传感器的输出与输入的幅值比和两者相位差的变化。

①一阶传感器的频率响应。

将一阶传感器传递函数式中的s用jω代替后，得到的频率特性表达式为

幅频特性：

相频特性：

Φ(ω)=-arctan(ωt)

根据频率特性可以看出，时间常数τ越小，频率响应特性越好。当ωτ<<1时，A（ω）≈1，Φ（ω）≈0，表明传感器输出与输入呈线性关系，且相位差也很小，输出y（t）比较真实地反映了输入x（t）的变化规律。因此减小τ可改善传感器的频率特性。除了用时间常数τ表示一阶传感器的动态特性外，在频率响应中也用截止频率来描述传感器的动态特性。所谓截止频率，是指幅值比下降到零频率幅值比的时所对应的频率，截止频率反映传感器的响应速度，截止频率越高，传感器的响应越快。对于一阶传感器，其截止频率为1/τ。图1-18为一阶传感器的频率响应特性曲线。

②二阶传感器的频率响应。

由二阶传感器的传递函数式可写出二阶传感器的频率特性表达式，即

其幅频特性、相频特性分别为

相位角为负值表示相位滞后。二阶传感器的幅频特性曲线和相频特性曲线，如图1-19所示。

可见，传感器的频率响应特性好坏主要取决于传感器的固有频率ω_n和阻尼比ξ。当ξ<1，ω_n＞＞ω时，A（ω）≈1，Φ（ω）很小，此时，传感器的输出y（t）再现了输入x（t）的波形，通常固有频率ω_n至少应为被测信号频率ω的（3～5）倍，即ω_n≥（3～5）ω。

为了减小动态误差和扩大频率响应范围，一般是提高传感器固有频率ω_n，而固有频率ω_n与传感器运动部件质量m和弹性敏感元件的刚度k有关，即ω_n=k/（2m）。增大刚度k和减小质量m都可提高固有频率，但刚度k增加，会使传感器灵敏度降低。所以在实际中，应综合各种因素来确定传感器的各个特征参数。

③频率响应特性指标。

传感器的频域动态特性曲线如图1-20所示，根据频域动态特性曲线，频率响应主要特性指标有通频带、工作频带、时间常数、固有频率、相位误差等。

●通频带ω_0.707：传感器在对数幅频特性曲线上幅值衰减3dB时所对应的频率范围。

●工作频带ω_0.95（或ω_0.90）：当传感器的幅值误差为±5%（或±10%）时其增益保持在一定值内的频率范围。

●时间常数τ：用时间常数τ来表征一阶传感器的动态特性。τ越小，频带越宽。

●固有频率ω_n：二阶传感器的固有频率ω_n表征其动态特性。

●相位误差：在工作频带范围内，传感器的实际输出与所希望的无失真输出间的相位差值，即相位误差。

●跟随角Φ_0.707：当ω=ω_0.707时，对应于相频特性上的相角，即跟随角。