引言 预测意外情况

自人类文明诞生以来，我们一直试图预测这个世界，想知道前面有什么在等待着我们。但长期以来，我们的预测屡屡出错。一个屡见不鲜而又引人关注的例子就是关于世界末日的预言，尽管过去所有的末日预言都无一例外地失败了。

阿兹特克人认为羽蛇神奎兹特克和黑暗神泰兹卡特里波卡在此前已经摧毁了四个世界，如果他们不再向这两位神献祭人类，第五个世界（我们这个世界）就会因为灾难性的地震而支离破碎。关于这个问题，我只想简单地说一句：随着阿兹特克帝国的衰落，他们献祭的东西越来越少，但这个世界仍然存在。《旧约·但以理书》（写于公元前约165年）预言，压迫犹太人的希腊人亵渎了犹太神庙，所以灾难性的惩罚将于1290天后降临到他们头上。在这一预言没有实现后，《但以理书》的最后一行被修改为1335天，但一个半月过去后，仍然什么都没有发生。法国主教普瓦捷的奚拉里（具有讽刺意味的是，他的名字本意是快乐）悲观地预言在公元365年人类将迎来世界末日，但令人尴尬的是，末日并没有降临。随后，他的学生马丁（后来被称为图尔的圣马丁）将日期推迟到公元400年，这又是一次失败的预言。马丁的继承人、传记作家图尔的格列高利预言世界末日在公元799年至806年之间。这个预言至少不是那么愚蠢，因为直到他去世多年之后，人们才能确定它又是一个失败的预言。

在现代，哈罗德·康平等福音传教士靠预测升天而过上了安乐的生活。康平第一次预言“末日”将于1994年9月6日降临，但在这个预言没有实现后，他把“末日”推迟到了9月29日，然后再次推迟到10月2日。尽管康平在20世纪90年代因为这些预言失败而丢尽了颜面，但令人惊讶的是，在他将预言的日期修改为2011年10月21日之后，仍然有人信以为真，还有人向他捐献了数百万美元。康平和其他一些危言耸听的预言者获得了2011年搞笑诺贝尔奖数学奖（这是一个带有讽刺意味的奖，授予那些“不能或者不应被重复”的研究），因为他们“告诉世人在做数学假设和计算时要小心”。

这些宗教权威人士的预言几乎没有任何科学依据，因此他们最终掉进自己给自己挖的坑里也就不足为奇了。但是多年来，一些掌握更多知识的人竟然也做出了一些可笑的预测。在铁路时代刚刚开始的1830年，热衷于科普工作的英国皇家学会会员狄奥尼修斯·拉德纳预言，“高速火车是不可能实现的，因为乘客在高速行驶的火车中将无法呼吸，会死于窒息”。即使在当时，这个警告也是相当可笑的。但也有一些预言要到事后才显得可笑。

1903年，亨利·福特的一位律师计划投资发展势头很猛的福特汽车公司，但是在咨询了密歇根储蓄银行行长后，这位行长劝诫他说：“马永远不会被取代，而汽车只是昙花一现罢了。”2007年，微软首席执行官史蒂夫·鲍尔默声称：“iPhone（苹果手机）不可能获得可观的市场份额，绝不可能！”还有一些预测失败是因为过于天真，或者故意无视不可避免的事情。1938年9月，在与阿道夫·希特勒会面后，内维尔·张伯伦说：“这是历史上第二次英国首相带着荣耀与和平从德国归来。”但不到一年之后，第二次世界大战就爆发了。

预测未来的风险极大。末日预言者因为末日预言未能实现而沦为笑柄，没有人愿意重蹈覆辙。1970年，在位于科罗拉多州博尔德市的美国国家大气研究中心工作的美国科学家小詹姆斯·P.洛奇宣称：“空气污染可能会遮蔽太阳，导致地球在下个世纪前30年进入一个新的冰期。”1971年，洛奇的断言得到了哥伦比亚大学的S.伊奇蒂亚克·拉苏尔和斯坦福大学的史蒂芬·H.施耐德的支持，他们通过著名杂志《科学》声称，未来50年大气尘埃的增加“意味着全球温度将下降3.5摄氏度”。接着，他们又说：“如此大的降幅……应该足以引发冰期。”[1]现在我们可以说，这个预测并没有成为现实。事实上，我们都非常清楚，我们面临着与全球变冷完全相反的问题。

而且，也没有人愿意像英国天气预报员迈克尔·菲什那样，在灾难即将到来之际向全国发出警报解除信号。在1987年10月的一次天气预报中，菲什自信地让忧心忡忡的英国公众放心：“今天早些时候，一位女士打电话给BBC（英国广播公司），说她听说飓风即将来临。好吧，如果你正在看这个节目，那么你可以放心了，因为没有飓风。”当天晚上，英国遭遇了几百年来最严重的一次暴风袭击。速度达到每小时115英里[2]的大风肆虐英格兰南部，造成20亿英镑的损失，18人在灾难中死亡。

尽管预测未来有风险，但我们仍然不得不为之。就个人而言，我们需要知道今天下午的天气如何，才能决定要不要把洗好的衣服晾出去；我们需要知道交通会有多拥挤，才能及时出发去参加那个重要的会议；我们需要估算支出，才能做好预算。这些都是日常生活中的预测，有助于我们有序地安排生活，但如果预测错了，就会给我们带来麻烦。

在更大的层面上，为了整个社会的利益，我们需要预测、干预和规避经济衰退，需要预测和预防恐怖袭击，还需要了解当前和潜在的气候变化威胁以采取行动。这些高风险的预测一旦失败，我们的生计、生命甚至整个人类的命运都将面临危险。如果我们忽视过去的经验教训，不经过充分考虑就做出草率的预测，就有可能遇到意想不到的情况：枪支回购计划导致枪支拥有率上升，汽车安全功能导致的死亡人数超过了它挽救的生命，为了控制害虫而引入的物种最终引发了灾害。[3]

通向错误的道路有很多

本书不仅着重阐述了如何做出更好的预测来帮助我们适应未来的生活，还介绍了可能导致错误预测的诸多原因，以及如何汲取教训并纠正错误。我将综合我所在的数学领域的成果，将它们与生物学、心理学、社会学和医学的研究，经济学和物理学的理论，以及来自现实世界的经验结合在一起，帮助你学会如何预测意外情况。

概率和非线性是我们在日常生活中经常遇到的令人困惑，同时又难以理解的两个重要现象。我们并不是生来就有透过不确定的乌云窥视前方的能力，也没有在峰回路转之前洞察先机的能力。因此，我始终认为，数学是预测未来的关键，原因很简单：数学可以给我们提供一个客观工具，帮助我们克服自身生物学特征造成的弱点——思维过程施加给我们的、使人之所以为人的限制，但是这些冲动在被用来推断我们周围的世界时却令人失望。这些根深蒂固的冲动有些是由于经历了太多某种现象，有些则是由于某些现象经历得太少。在数千年进化过程中形成的先入之见和认知偏见为人类带来了便捷，但是在我们将心中的旧规则应用于社会的新环境时，它们往往会把我们引入歧途。

例如，我的两个孩子喜欢在天气好的时候去玩蹦床。当我在园子里忙活时，他们总会要求我加入他们，要么充当调解人，要么参加他们层出不穷的新游戏。游戏无论在一开始是怎么玩的，最终都会演变成一场持久的摔跤比赛。通常，我们三个人一直玩到精疲力竭后，才会停下来，躺在那里，喘着气仰望天空。这是我最喜欢的环节，不仅因为我得到了休息，还因为这通常预示着一场新的、更加平静的比赛的开始。我们会抬头看着头顶上飘过的云彩，说出在我们眼中它们像什么。一个孩子说：“你看，那边是不是有一只乌龟在飞？”我说：“什么？那明明是抽雪茄的美人鱼！”另一个孩子回答说：“不对，那难道不是一条戴着礼帽的龙吗？”

观云是一种十分常见的古老游戏，它源于一个古老而普遍的习惯。人类善于从杂乱环境中发现规律，这种经过了时间考验的能力有时被称为规律识别倾向（patternicity）。例如，许多文化都进化出了“月亮上的人”这个传统，认为能从月球表面不规则的阴影中辨认出人的脸，甚至人的整个身体。这种普遍现象可能是因为，从背景中找出人的脸和身影一直是人类的一项重要技能。例如，在遥远的过去，能够辨认出人脸并快速解读脸上的表情有一个好处，就是使我们能够快速识别出有潜在威胁的个体，并了解他们的精神状态，以便做好逃跑或战斗的准备。我们的神经结构使我们天生擅长分辨人脸。视皮质中甚至有一个负责识别和记忆面孔的区域——梭状回面孔区。[4]

如今，在烤焦的面包片上看到耶稣会成为报纸上一篇有趣的报道，但这种长期习得的，使我们能够在混乱中找到秩序的识别技能有时可能会导致我们得出错误的结论。赌徒可能深信他们在彩票号码或轮盘赌中找到了某种规律，但这种规律显然并不存在。投资者可能认为他们开发的系统能帮助他们在市场上大杀四方，而实际上他们只不过是在凌乱的股票轨迹中发现了一个不存在的趋势。科学家可能通过一组病例得出某种疾病有环境病因的结论，而实际上，这些病例都是偶然发生的，是病例随机分布造成的结果，所谓的环境病因并不存在。这些错误是我们在面对随机性和不确定性时因无法推理而导致的直接后果，我们将在第2章、第3章和第4章更深入地加以探讨。

确定的不确定性

谈到不确定性时，我们必须尽早明确一点：预测不仅仅是对未来的预测。不仅当前有我们不能确定的事情，甚至过去也有许多现象是我们没有完全了解的。爱尔兰大主教詹姆士·厄舍就曾对已经发生的事情做出错误的预测，他认为地球诞生于公元前4004年10月22日，这个预测不仅大错特错，而且其精确程度根本不可信。经济学家就非常清楚这个问题。当他们收集到的数据指标告诉我们即将进入衰退期时，衰退往往已经是事实了。为了准确地了解当前的情况，经济学家收集了更久远的数据，以便对近期发生和当前正在发生的我们还没有相关数据的事情进行“临近预测”[5]。卫生研究人员使用类似的方法，将社交媒体数据输入临近预测模型，以检测尚未被卫生部门发现的流感疫情。[6]

因此，粗略地说，我们利用两种预测处理每天遇到的两种不确定性：随机（aleatoric）不确定性和认知（epistemic）不确定性。aleatoric源于拉丁语aleator，意思是掷色子的人；epistemic源于希腊语episteme，意思是知识或科学。为了说明两者的区别，假设我手里有一枚公平色子，请问我掷出6的概率是多少？毫无疑问，你会马上告诉我概率是1/6。如果不考虑色子有偏倚的可能性，那么1/6这个答案是正确的，反映了随机不确定性，即每次实验都有可能产生不同结果带来的不确定性。现在我让你背对我，在我掷出色子并用手盖住之后再转回来。如果我掷出色子之后，问你我用手盖住的色子是6的概率是多少，你会怎么回答？虽然不情愿，但是你可能仍然会告诉我，概率是1/6。这同样是正确的。但这一次，你的答案反映的是认知不确定性——如果我们需要对一个已经存在的现象或一个已经发生的情况进行推理，但我们对这个现象或情况没有完美的认知，就会出现认知不确定性。

不同的研究领域对这两个术语（认知和随机）的定义有细微的差异，但就这本书而言，这些特征已足以说明问题了。在我看来，彩票是一种随机不确定性游戏，因为抽彩这个随机事件尚未发生。但是买刮刮乐在很大程度上是一种认知不确定性活动——赌的是刮刮乐上那些预先确定，但目前未知的图形。

要处理预测未来所带来的随机不确定性，就必须回答关于现实本质的认识论问题。古埃及人认为地球是一个扁平的圆盘。[7]许多古希腊人与他们观点一致。古印度教徒、佛教徒、美索不达米亚人、中国人以及考虑过这个问题的其他大多数古代文明也持类似的观点。

直到中世纪，球形世界才成为占主导地位的理论。当哥伦布于1492年启航前往亚洲时（他最终到达了美洲，也终结了扁平世界这个预言），一些人仍然认为他可能会离开地球。直到30年后，葡萄牙探险家麦哲伦的船队完成了第一次环球航行，这个问题才最终得到解决。针对人类存在的本质提出有可能被证伪的假设（例如毕达哥拉斯最早提出的假设是：世界不是平的），奠定了科学方法的基础。这是我们获取一切知识的唯一原因。科学理论其实就是对现实本质的尚未被证明是错误的认知预测。

这两种不确定性并不是相互排斥的。我们将在第2、3和4章中发现，在很多随机性起重要作用的事件中，这两种不确定性都存在。例如，2011年，当巴拉克·奥巴马批准海豹突击队对奥萨马·本·拉登可能藏身的位于阿伯塔巴德的一处院落发动袭击时，他并不确定这次行动能否取得成功。在事后的一次采访中，奥巴马坦率地承认有两个原因导致了这些不确定性。他在谈到其中的随机不确定性时说，之前拙劣的军事干预（包括“黑鹰坠落”和伊朗人质营救事件）留下的可怕阴影笼罩在他的心头：“有很多事情可能会出错……这些家伙冒着巨大的风险……这些行动不仅艰难，而且非常复杂。”另外，奥巴马承认，他收到的证据远不能确凿无疑地证明藏身在阿伯塔巴德基地的就是本·拉登本人：“我们并不能肯定地说本·拉登就在那里。如果他不在那里，后果将非常严重。”他说他认为本·拉登居住在该院落里的可能性（他对未知事实的认知不确定性）是55%。

非线性问题的线性解

前面看到，当我们需要处理概率问题时，我们的大脑可能会过度概括和过度简化，但必须记住，我们还会采取其他可能有害的捷径，甚至是在不存在不确定性的情况下进行推理。线性偏倚是最重要的认知节约（cognitive economisation）现象之一，即人们往往认为事物将保持不变或以始终如一的速度持续变化（我将在第6章讨论这个现象有多普遍）。每个月把固定数额的工资放到床垫下意味着我们的储蓄呈线性增长。如果按小时计酬，那么你的工资就会随着工作时间的增加而呈线性增长。如果你一周的工作时间稍稍增加，那么工作时间的固定增长应该与税前工资的固定增长相一致。对于线性过程，输入的固定变化应该对应于输出的固定变化。但世界上有许多过程都不是线性的。本书后面的章节将告诉大家，非线性是导致我们稚嫩的预测以失败告终的第二个混淆因素（第一个是概率）。

我们对非线性过程的认识相对不足，这意味着它们的影响有可能出乎我们的意料。在第6章中，我们将谈到燃油消耗和燃油效率之间的倒数关系，这种关系有可能欺骗我们，让我们做出糟糕的环境决策。而在第7章中，我们将看到，受感染人数在流行病开始时的指数增长会让我们措手不及，看上去似乎正在从可控的、令人放心的缓慢增长转变为惊人的、意想不到的快速增长。即使是比萨饼的直径和面积之间的二次关系，也会在不经意间让我们吃亏。

举个例子，我下班回家的路程有点儿远，有时为了早点儿回家，以便有更多的时间和家人在一起，在上了高速公路后，我就禁不住想提高车速。但每次我受到诱惑的时候，我都会记住一点：车速的固定增加并不会让我节省的时间也固定地增加。这两者之间不是线性关系。冒着违章的风险在高速公路上超速行驶真的不值得。将车速从每小时50英里提高到每小时70英里，10英里的路程可以节省约3分半。但是同样的路程，如果把时速再提高20英里，达到每小时90英里，只能再节省不到2分钟的时间。根据这个简单的非线性关系可知，我们走得越快，时间上的回报就越少。我将列举日常生活中诸如此类的例子，以突出表明我们面临的简单认知缺陷，并让你掌握找出自己这些缺陷的能力。

有时，我们对某些经历过于熟悉，但是在另外一些事情上又经验不足（特别是这些事情本身还涉及复杂的动态行为和不确定性），两者的交叉作用导致我们在面对某个不常见的场景时会感到无能为力。正常化偏倚（normalcy bias）就是在这两个因素（我们熟悉线性关系，但不熟悉极端事件）的共同作用下发生的。我们想当然地认为事情会延续当前的状态，以线性方式发展下去。这会让我们低估、质疑或无视威胁逼近的前兆，因为它们远远超出了我们的经验范围，让人难以置信。

人们经常援引泰坦尼克号伤亡事故作为正常化偏倚表现的一个重要例子。在泰坦尼克号沿着命中注定的轨迹撞上冰山后的几个小时里，并不是所有乘客都对这次碰撞抱持应有的敬畏之心。许多人受到误导，坚信这艘船不可能沉没。即使在收到沉船的消息后，运营泰坦尼克号的白星航运公司的副总裁菲利普·富兰克林仍对乘客的亲友以及聚集在纽约的媒体说：“泰坦尼克号没有沉没的危险。这艘船永远不可能沉没，它最多只会给乘客们带来一些不便。”

不幸的是，许多乘客过于相信“永不沉没”的说辞，而且这些天的航行也让他们觉得安全、舒适，因此他们宁愿留在船上，也不愿意在半夜下船，进入未知的冰冷又黑暗的大西洋水域。最早下水的救生艇有很多都没有满员，不是因为救生艇早早开走了，而是因为船上的人犹豫不决。即使是那些上了救生艇的人事后也回忆说，当他们离开甲板登上救生艇的时候，他们仍对这种“预防措施”是否真的有必要持怀疑态度。人们简直无法相信，他们本来的计划怎么就这样化为乌有的，他们本应乘坐船长约翰·爱德华兹口中“连上帝都无法使之沉没”的船安全横渡大西洋到达纽约的。即使受到严厉的警告，许多乘客也迟迟没有放弃对这个惬意未来的期待。

后来人们发现，泰坦尼克号的救生艇无论如何都无法满足船上所有人的需要，这是白星航运公司基于泰坦尼克号不会沉没的错误信心以及最大限度地利用甲板空间供乘客游玩的审美欲望做出的决策。这种自满情绪，再加上一开始救生艇没有满载，最终造成了悲剧，那天晚上许多人在冰冷无情的大西洋中丧失了生命——如果不是因为正常化偏倚，他们本来是可以得救的。我们将在第9章讨论正常化偏倚的更多有害影响。

我们将在后面的章节中看到，我们截至目前讨论的非线性现象（倒数关系、指数关系和二次关系）都是比较容易理解的，但我们却不断地犯错误。那么，我们在面对有大量反馈回路、不连续点、振荡和其他更复杂的非线性行为，依赖于许多相互依存的变量的复杂系统时，又怎么能指望可以预测它们的行为呢？一旦遇到这些系统，情况会迅速失控，超出我们的预期范围。

数学有可能在这个非线性世界中充当向导的角色。在逻辑缜密的数学的支持下，我们可以通过理性思考，避免走上大脑根据直觉为我们指引的捷径。但即使是数学，在面对一个本质上非常复杂的世界时，也只能给我们这么大的帮助。即使在我们认为已经消除了不确定性的系统中，仍然有一些固有的问题，这意味着我们不能总是准确地预测未来会发生什么，或者随心所欲地预测遥远的未来。尽管数学的洞察力无疑是成功的（它做出了大量准确的预测，包括找到失踪行星的位置[8]和发现无线电波的存在[9]），但我们常常难以理解和预测看似简单的现象：水龙头滴水的声音[10]或动物种群数目的波动[11]。如果你玩过维尼棒（Poohsticks）游戏[12]，你就会知道，尺寸大致相同的棍子在大致相同的时间落在大致相同的位置后，即使漂流的距离很短，仅仅从桥的一侧漂到另一侧，路径也可能截然不同，这就是混沌在漫画中的体现。

我在最后一章中也会强调，混沌不利于我们对理论上可预测的系统（例如濒危动物物种的数量、流行病的传播轨迹、群体的行为，当然还有天气）进行重要的预测。即使没有源于外部的随机性的影响，特征明确的系统也有可能出现不可预测的行为。

数学的力量被人们大肆吹捧，但它也有力有不逮的时候。一些基本的限制会阻碍我们的预测。尽管数学为我们提供了一个前所未有的预测未来的工具，但不确定性和非线性却为我们对预见未来的期望设定了明确的界限。

对意外情况的预测

除了提供一些预测未来的方法以外，本书还有一个更重要的目的——探讨如何识别并理解我们在预测未来时遇到的障碍。我们做出的简单预言确实会失败，而且失败的预言多种多样，有的有趣，有的可悲，但是它们肯定都有借鉴意义，因此我们可以从回顾失败经历中学到一些东西。例如：我们的“直觉”（即基于超自然或本能推理的预言）单凭运气，偶尔也会有正确的时候（即使钟表不走，一天也会对两次），但是因为没有科学依据，大多数时候都是错误的；“日常生活中异乎寻常”的事件就个人而言似乎非常罕见，几乎不可能发生，但在群体层面上，它们几乎不可避免；对于具有“内在不确定性”的事件，我们可以滔滔不绝地讨论它们理论上的预期频率，但具体到个别事件是否会发生，我们往往毫无把握；出于个人最大利益的短期理性行为可能会损害群体中所有人的长远利益，这也被称为“公地悲剧”。

我们必须注意那些看似沿直线运动，但在关键时刻却偏离预计轨迹的“曲线球”，这些正反馈回路像滚雪球一样，一开始看似人畜无害，但随后可能越来越大，最终失去控制，引发“雪崩”。我们要注意那些可能改变所预测的现象并导致不同结果的“回旋镖式”负反馈回路，还要注意我们生活的这个世界的本质强加给我们的“基本限度”——它们会限制我们能预测多远的未来，以及我们希望达到的预测准度。

在这本书中，我会提供一些见解和建议，展示如何避免被毫无根据的预测所迷惑，以便了解应该相信谁。我将戳穿几百年来一直被我们用来做预测的民间传说和经验法则的真相，解释“晚霞行千里”背后的科学原理，戳穿关于“卧倒的牛”等的错误说法。我将提供给你一些工具，让你自己做出预测，帮助你了解什么时候不要相信你的直觉。我们将沿着理性之路穿越概率之云，深入探究现实的基本结构。我还将阐明，在哪些情况下，仅仅纸上谈兵，做一些线性论证是不够的。

我的基本任务是提醒你，你做出的预测可能会因为各种各样的原因而出错：你的直觉可能会被愚弄，你可能会因为一些看似令人信服的理由而无法做出更清晰的判断。除了展示其他人的错误之外，我还将提供一些简单的技巧和工具，以便你在实际场景中使用它们，对自己的未来做出决定。

没有什么灵丹妙药能让我们在任何情况下都可以做出准确的预测——任何望远镜都不可能让我们不受阻碍地看到遥远的未来。有时候，事情的发生就是无法预测。有时候，我们今天的行为会对明天产生深远的、意想不到的影响。任何数学公式或数据，无论处理得多么好，都无法保证给出准确无误的警报。

然而，在很多情况下，我们可以对未来做出可靠的预测。但是我们没能做到，原因要么是我们不了解预测工具，要么是我们不能熟练地使用这些工具。这正是本书要解决的问题：从过去不成功的预测中吸取教训，改正这些错误，使其成为帮助我们对未来做出更可靠预测的武器库。读完本书最后一章，你就能对意外情况有所预料，看穿那些像迷雾一样遮挡你的双眼的不确定事件。

[1]Rasool, S. I., & Schneider, S. H. (1971). Atmospheric carbon dioxide and aerosols: Efects of large increases on global climate. Science, 173(3992), 138–41. https://doi.org/10.1126/science.173.3992.138

[2]1英里≈1.609千米，每小时115英里约合每小时185千米。——译者注

[3]Easteal, S. (1981). The history of introductions of Bufo marinus (Amphibia: Anura); a natural experiment in evolution. Biological Journal of the Linnean Society, 16(2), 93–113. https://doi.org/10.1111/J.1095-8312.1981. TB01645.X

[4]Kanwisher, N., McDermott, J., & Chun, M. M. (1997). The fusiform face area: A module in human extrastriate cortex specialized for face perception. Journal of Neuroscience, 17(11),4302–11. https://doi.org/10.1523/jneurosci.17-11-04302.1997

[5]Lahiri, K., & Monokroussos, G. (2013). Nowcasting US GDP: The role of ISM business surveys. International Journal of Forecasting, 29(4), 644–58. https:// doi.org/10.1016/j.ijforecast.2012.02.010

[6]Lampos, V., & Cristianini, N. (2012). Nowcasting events from the social web with statistical learning. ACM Transactions on Intelligent Systems and Technology, 3(4). https://doi.org/10.1145/2337542.2337557

[7]Frankfort, H., Frankfort, H. A., Wilson, J. A., Jacobsen, T., & Irwin, W. A. (1948). The Intellectual Adventure of Ancient Man: An Essay on Speculative Thought in the Ancient near East. The Journal of Religion, 28(3), 210–13. https://doi.org/10.1086/483727

[8]Smart, W. M. (1946). John Couch Adams and the discovery of Neptune. Nature, 158(4019),648–52. https://doi.org/10.1038/158648a0

[9]Maxwell, J. C. (1865). A dynamical theory of the electromagnetic field. Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 155, 459–512. https://doi.org/10.1098/rstl.1865.0008

[10]Cahalan, R. F., Leidecker, H., & Cahalan, G. D. (1990). Chaotic Rhythms of a Dripping Faucet. Computers in Physics, 4(4), 368. https://doi.org/10.1063/1.4822928

[11] May, R. M. (1987). Chaos and the dynamics of biological populations. Proceedings of The Royal Society of London, Series A: Mathematical and Physical Sciences, 413(1844), 27–44.https://doi.org/10.1515/9781400860197.27

[12]“维尼棒”游戏来自卡通《小熊维尼》系列，其规则是，所有人同时在一座桥上把自己的棍子扔进水流中，谁的棍子先沿着水流到达下游的指定地点，谁就获胜。——编者注