1.2 算子半群和非线性泛函基本理论

算子半群和非线性泛函基本理论是解决发展方程的有力工具，下面介绍本书用到的一些概念和引理。

设E、F是两个Banach空间，L（E，F）表示从E到F的所有有界线性算子构成的集合。当E=F时，记L（E）=L（E，E）。

定义1.2.1 [100]设T：[0，∞）—→L（E）是一个算子函数，若

（1）T（0）=I（I是E上的恒等算子），

（2）T（t+s）=T（t）T（s），t，s∈[0，+∞）（半群性质），

（3）对∀x∈E都有=x（强连续性），

则称T（x）（t≥0）是E上的一个强连续半群，也称为C₀半群。

定义1.2.2 [100]设T（t）是Banach空间E上的一个C₀半群，称线性算子A为T（t）的无穷小生成元，简称为生成元。

其中，x∈D（A），D（A）={x∈E：存在}。

定义1.2.3 [7]设A是Banach空间E上的稠定闭线性算子，称A是辐角为θ的扇形算子，记为A∈Sect（θ）。

（1）σ（A）⊆，其中

（2）对∀θ′∈（θ，π），sup{‖zR（z，A）‖：z∈ C\}＜∞，其中R（z，A）=（zI-A）-1。

下面给出紧半群和解析半群的定义。

定义1.2.4 [100]设T（t）（t≥0）是一个C₀半群，若t>t₀>0时T（t）是紧算子，则称T（t）是t>t₀的紧半群。若T（t）是t>0的紧半群，则称T（t）是紧半群。

定义1.2.5 [100]设D_δ={λ∈C：|argλ|＜δ，δ＞0}是复平面C中某个区域，当λ∈D_δ∪{0}时，T（λ）∈L（E）。如果T（λ）是D_δ上的算子解析函数且

（1）T（0）=I，

（2）T（λ₁+λ₂）=T（λ₁）T（λ₂），λ₁，λ₂∈D_δ，

（3）=x，

则称算子族T（λ）是D_δ上的解析半群。若T（t）（t≥0）是C₀半群，当它可以延拓为复平面中包含非负实轴的某个区域中的解析半群时，则称T（t）是解析半群。

定义1.2.6（Hölder不等式）设p＞1，，若f∈Lp（J，E），g∈Lq（J，E），则fg∈L1（J，E），且

成立。

为了后续章节中给出方程温和解的定义，现在先给出单边稳定概率密度函数M_q[57]，其中

且满足

定义Mittag-Leffler函数为

记。

下面给出广义Gronwall不等式。

引理1.2.1 [32,97]假设a₁：J→ℝ+是一个局部可积函数，a₂：J→ℝ+是一个非减连续函数，a₂（t）≤C（C是一个常数）。假设y：J→ℝ+是局部可积的且

则

进一步地，若a₁是一个非减函数，则y（t）≤a₁（t）E_q（a₂（t）Γ（q）tq）。