1.2.1　有限单元法、有限体积法概述

本书中涉及的仿真以有限单元法为主，仅流体部分采用的是有限体积法，故此处仅对有限体积法进行简单概述，而重点对有限单元法进行说明。

有限单元法、有限体积法都是偏微分方程的数值解法。有限单元法的基础是变分原理和加权余量法，其基本思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。

采用不同的权函数和插值函数形式，便构成了不同的单元。在有限单元法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线性组合来逼近单元中的真值，整个计算域上总体的基函数可以看作由每个单元基函数组成，而整个计算域内的解可以看作由所有单元上的近似解构成。

有限单元法的基本求解步骤如下。

（1）建立积分方程：根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理，建立与微分方程初值问题等价的积分表达式。

（2）区域单元剖分：根据求解区域的形状及实际问题的物理特点，将区域剖分为若干相互连接、不重叠的单元。区域剖分是求解的前期准备工作，剖分的合理性直接影响求解精度和求解时间，这部分工作量较大，除了给计算单元和节点编号和确定相互关系外，还要表示节点坐标，并列出自然边界和本质边界的节点和相应边界值，目前大部分商业软件已经提供了自适应网格剖分功能，而节点编号和确定节点坐标等工作已经完全由程序实现。

（3）单元基函数：根据单元中节点数目及对近似解精度的要求，选择满足一定插值条件的插值函数作为单元基函数。有限单元法中的基函数是在单元中选取的，由于单元具有规则的几何形状，所以在选择基函数时可以遵循一定的规则。

（4）单元分析：将各个单元中的求解函数用单元基函数的线性组合表达式进行逼近，再将近似函数代入积分方程，并对单元区域进行积分，可以获得含有待定系数的代数方程组，称为单元有限元方程。

（5）总体合成：在得出单元有限元方程后，将区域中所有单元有限元方程按一定法则进行累加，形成总体有限元方程。

（6）边界条件的处理：一般边界条件有三类，分别为狄利克雷边界条件、黎曼边界条件、柯西边界条件。对于黎曼边界条件一般在积分表达式中可自动得到满足，其他两种则需要按一定规则对总体有限元方程进行修正。

（7）解有限元方程：根据边界条件修正的总体有限元方程组是含有所有待求解未知量的封闭方程，选择适当的计算法即可求得各节点的函数值。

有限体积法的特点是将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，利用控制体积包围网格节点，在每个控制体积内对待求解微分方程进行积分，得出一组离散方程。有限体积法属于加权剩余法中的子区域法，它的求解思路直观且易于理解，在无限小控制体积内因变量都能满足守恒条件，这也是大多数流体求解器使用有限体积法的原因。