芝诺悖论的析与释——“芝诺龟”随笔之三
无限，常常为人们的思维设置了障碍或陷阱。
只要我们睁开眼，就处处都能看到运动和变化。
在我国古代灿烂的文化中，有无数描述运动变化的名句。宋人苏轼的“大江东去，浪淘尽，千古风流人物”，只短短13字，就以磅礴气势和雄浑境界，把物质世界与人类社会永恒的流动和变化、生长与殒灭描绘了出来。
一、试做一份答卷
自然界存在着运动，这似乎是一个不容争辩的事实。然而，古希腊的爱利亚派却说，世界只有不动的、静止的、唯一的那一个；不会由于运动和变化出现了另一个。因此，运动并不真实存在，运动只是一种假象。
客观地说，这个“静止”“唯一”的论点，在科学史上并没有特别重要的地位。但是，由于芝诺提出了几个悖论，为这个观点证明与辩护，却引起了人们的关注。
芝诺的悖论，命题简洁，叙述不繁，逻辑推理似乎也合理，而结论却出人意料，能对普遍存在的运动予以否定，说飞矢不动，阿喀琉斯追不上乌龟……
对于这样的命题，有些人会产生兴趣，深入进去，进行思考。
从历史上看，如何否定这些悖论，进而证明运动确实存在，证明阿喀琉斯能追上乌龟，竟然成了不少自然科学家、哲学家、数学家都思考过的题目。
有著作这样说：“从亚里士多德开始，大多数哲学家都力图指出芝诺的论证是错误的。可以令人奇怪的是，这个问题至今也未能彻底解决，许多前人指出的错误，后人发现其实并不是错误。”
还有著作这样说：“芝诺悖论涉及对时间、空间、无限、运动的看法，它至今还在困扰着哲学家和数学家，这个难题对于数学的发展有着重要的积极意义。”
又有著作这样说：“尽管芝诺的论证简单易懂，但是要找出其论证中的问题却并不容易。事实上，自从芝诺悖论提出以来，人们一直试图指出其中的谬误所在，然而直到今天，仍然没有一个完全令人满意的解答。”
看来要否定这些悖论似乎并不容易。
人们能看到的相关资料，也是对芝诺悖论介绍得多，而对这些悖论的分析与否定既简又少。尽管如此，我总觉得，数学、物理学经过近几百年来的发展，这已经不是一道难题了。
下面的文字，是我对芝诺关于运动的四个悖论进行的分析与解释。这倒像一个学生，读了些资料，思考了一阵，要对芝诺在2400年前提出的一份包含四个题目的试卷，提交一份答案，算是闲暇时试做的几道练习题吧。
但愿这份答卷让你看得明白，令你满意。
二、有限长度的无限分割
为了否定芝诺提出的悖论，指出其中的要害，要做一些关于时空分割问题的准备工作。
根据芝诺悖论的关于时空的论述，这里的时空是这样的：连绵不断、无限可分。这就是我们熟知的欧几里得空间和牛顿提出的时间概念，这也是与我们日常经验一致的空间与时间。
我们来分析对有限长度的对象进行无限分割的情况，这是解决芝诺悖论的关键。为讨论方便，只要对一维的一条有限长度的直线进行分割就可以了。
一条有限长度的直线，称作线段，无论其长短，都可以对它进行分割。为便于讨论，我们可以把分割理想化，认为对线段的分割可以一直进行下去，分割过程中被分割的对象只是被切断，本身不会有丝毫的损耗。
若按这种理想化的分割方式，逻辑上就一定可以得到以下几个结论：
首先，会出现“趋于零”和“无穷大”。
对一线段进行分割，分割无限进行下去，间隔的长度就趋于零，间隔的个数趋于无穷大。这两个结论与被分割的线段的长短无关。
其次，“趋于零”不等于零。
当分隔的间隔越来越小，间隔的长度趋于零时，每个间隔的长度都不会等于零，因为分割的过程无损耗，若把这无限多个间隔黏结起来，就一定能复原到原来的长度；若等于零了，这条线就消失了；若考虑这条线的质量，等于零了，质量也就消失了。这显然是不合理的。
如果把“趋于零”认为是等于零，就掉入了“无限”设置的第一个陷阱。
最后，“无穷大”不等于无限长。
当分割到间隔的长度趋于零时，间隔的个数会变成无穷多个，用数学表示是无穷大。把这无穷多个间隔黏结在一起，是一个有限的长度，即原来的线段长。这就是说，在这里，无限之和是一个有限量。
如果把“无穷多”个间隔黏结起来就是无限长，这又掉入了“无限”设置的第二个陷阱。
《庄子·天下篇》中说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”就是说一尺长的杆子，每天砍半截，能永远地砍下去。这里也是说“一尺之棰”可以被无限次地分割，分割为无限多个小棰，如果把这些小棰一节不落地黏结起来，也只能有一尺之长，是一个有限的值。这在数学上就是无穷多项相加，得到一个极限值。它的数学表述是：
这个多项式，可以一直加下去，直到无穷，但总和是1。
上面是对一维空间进行无限分割后得到的结论。
这里所说的“维”，是指时空的一个独立的方向，数学上用坐标轴表示。
时间的流逝只有一个方向，就是从过去流向未来，因此是一维的。时间的流逝也可以看作时间是在一维时间坐标轴上向无限远处的流动，一个时间段就相当于这个坐标上的一条线段。若对其进行无限分割，则与上述对一条线段的分割是一样的。因此，对一维空间内有限长度的无限分割的分析，对于有限时间的无限分割也同样适用，有同样的结论。
好了，做了这些准备，就可以对芝诺的悖论进行清晰的分析，得到可靠的结论。
三、有限的时间可以通过无限个空间间隔
芝诺的第一个悖论是“二分法”。
他认为一个物体不可能从A点运动到B点。因为A点到B点之间可以不断地进行二分，不断出现二分后的线段中点C、D、E、F等，这些中点有无限多个，形成了无限多个间隔，一个物体要通过无限多个间隔，这显然是无法实现的。
为什么无法实现呢？
人们通常会认为，要通过无限多个间隔，通过每一个间隔都需要一些时间——无论这个间隔多窄，通过无限多个，就必然要用无限长的时间，这显然是无法完成的，因此物体也就无法从A点运动到B点。由此，芝诺认为人们能够观察到物体从A点跑到B点，那不是真实的运动，只能是一种假象。
如此看来，否定芝诺看法的关键是：一个运动的物体通过有限长度（AB线段）分割的无限个间隔，是否需要用无限长的时间？
其实，一段有限的时间，如设定为t，按上面的分析，也是可以分割为无限个时间间隔。这样就可以与AB线段分割的无限个空间间隔一一对应起来。只要在一个细分的时间间隔内，对应通过一个细分的空间间隔就可以了。总之，把空间和时间进行一一对应的细分，物体就能实现通过无限个空间间隔的运动，在有限的时间t内，完成从A点到B点的运动。
这个运动也可以认为是这样完成的，它是在一个很小时间间隔内通过了一个很小的空间间隔，有限时长的无限分割就可以通过无限多个空间间隔。因此，通过有限长度的AB线段，完全不用无限长的时间。
对芝诺的“二分法”不能否定的原因，是因为人们认为通过无限个空间间隔，就要用无限长的时间，这显然是一个错误的看法，这也是芝诺悖论成立的一个支点——“无限”是无法跨越的。上面的分析告诉人们，只需一个有限长的时间就可以完成从A到B的运动，这是完全可以实现的一个真实运动过程。真实世界中的运动都是这样完成的。
四、在无限小的时间里飞矢也有移动
再来分析“飞矢不动”这个悖论。
芝诺说，一支箭在空间飞行，任意“瞬间”它只占有空间一个与自身等长的位置，只能在这个位置待着，因此是没有运动的，看到的飞矢的运动只是假象而已。
前面说到了有限长度的无限分割中，分割的无限个间隔，虽然其长度不断缩小，间隔的长度在趋于零，但不会等于零。
芝诺引导人们认为，把一段时间进行无限分割，当分割的间隔越来越小时，这些间隔就成了瞬间，而且认为已没有了时间广延，占有的时间只能等于零！而任何事物的运动都是要在时间中展开的，没有了时间就没有了运动——这又是芝诺悖论的支点。飞矢只能在与它等长的空间里待着，当然就不会动，所以“飞矢不动”。
其实，正如有限长度的无限分割的第二个特点所说的，趋于零的时间间隔并不等于零。它总含有一定的时间宽度，因此在这个不等于零的极小时间间隔里，飞矢因为拥有这一丁点儿时间，在空间就可以有一个小小的移动。这就像用时间间隔极小的快门，拍摄一个运动的物体，可以看到拍摄的对象会沿着运动方向拉开一个模糊“身影”，这就是物体在瞬间移动的证明。因此，飞矢不是没有运动，它仍在运动中，在一个哪怕是非常小的瞬间，它也会占有一个比自身长度稍长一些的空间。
这就否定了“飞矢不动”的悖论。
下面分析“运动场”悖论。
芝诺否定了一个物体的运动，显然就否定了运动的相对性，更不问运动的方向性，对于运动场中三行物体的相对运动，就得出了如果存在这样的运动，就可以得到“一等于二分之一”，或者说“二可以等于一”的荒谬结论。
在这里，运动非但存在，而且还必须考虑运动的相对性和方向性。
要描述一个物体的运动，就必须用一个参照物，而且依照不同的参照物描述物体的运动情况是不一样的。在运动场的悖论中，三行物体的运动情况是这样的：A行不动；B行向左用一个时间单位移动一个空间单位；C行向右用一个时间单位移动一个空间单位。上面描述的运动，是用A行物体为参照物描述的运动。
对于这样的参照系：A行不动，速度为零；B行有一个向左的运动，速率为1；C行有一个向右的运动，速率也为1。这里是一等于一。
若把B行当作参照物，来分析这个运动：B行静止不动；A行用一个时间单元，向右移动一个空间单元；C行用一个时间单元，向右移动了两个空间单元。这里的所谓“一等于二”，是由于A行与C行相对于B行的速度不同而造成的。只要计入运动的方向性与相对性，就不是什么悖论，而是一个正常的不同物体之间相对运动的可理解的结果。
我们在日常生活中也会遇到这样的情形。你坐在向前飞驰的列车上，对于右边静止在铁轨上的列车，你会觉得它是向后运动的，对于左边迎面开来的列车，你会觉得它的速度非常快。这就是运动的相对性和运动的方向性使你感知的结果，这都是真实的运动，不存在“一等于二”的荒谬说法。
如果把B行看作不动的，B行上的观察者看到A行向右移动了一个单位，用了一个单位时间，速度是1，方向向右；同时，B行上的观察者看到C行向右移动了两个单位，用了一个单位时间，速度是2，方向也向右。这是由于运动的相对性，出现了A行、C行对于B行的速度不一样，有了所谓“二等于一”的结果，并不是出现了“二等于一”的谬误。
五、芝诺龟陈述的理由
芝诺提出的最有名的悖论是“阿喀琉斯追不上乌龟”。
可以构想一下当时的比赛场景。
某天，大英雄阿喀琉斯遇到了一只聪明的乌龟，乌龟从甲壳中伸长了尖尖的小脑袋，上下、左右晃动着，绿豆般的小眼中闪烁着狡黠的眼光，得意而自信地对他说，别人都说你是飞毛腿，跑得快，但如要跟我赛跑，只要在起跑时我在你的前面一段距离，我就敢保证，你永远追不上我。
阿喀琉斯大笑：“这是不可能的，就算我跑得再慢，速度也会比你快几十倍，哪里会追不上你呢？”
乌龟说：“其实，我们都不用比，我给你细细地说一下，你就会知道为什么你永远追不上我了。请你听仔细了，假设比赛开始时你在我的后面100米，我知道你的速度可以很快，为便于你能听懂我的陈述，设定你的速度是我的10倍，我的速度是每秒5厘米，你的速度就是每秒50厘米。
“比赛开始，我向前爬，你来追我。当你跑到我起跑的位置，也就是跑了100米，用时200秒，我在这段时间里已经向前爬了10米，当你再跑到我第二次起跑的位置时，我又向前爬了1米，你再追1米，我又向前爬了0.1米，你再追0.1米，我又向前爬了0.01米……总之，这个过程可以无限地继续下去，你的追赶只是在不断地接近我，而在这个可以无限延续、不能完结的过程中，你永远也追不上我。”
阿喀琉斯怎么听都觉得乌龟讲得没有漏洞，很有道理。
他低头沉思，是呀，当我追上它起跑所在的位置1时，在这段时间里它又向前爬了一段，到了位置2，当我追到位置2时，它一定会又向前爬了一段，到了位置3，我追到位置3，它又爬到位置4，我到位置4，它爬到位置5……在这个过程中，它总是在我的前面，而且这个过程，不会完结，没完没了，我的确总也追不上它。但阿喀琉斯心里怎么也想不通，我这双能跨山越海的飞毛腿，怎么会赶不上只能挪动四只小爪的乌龟呢？
我们前面曾提到过的古希腊最博学的哲学家亚里士多德。在他的著作《物理学》中，就有这样论述：“在赛跑的时候，跑得最快的，永远追不上跑得最慢的，因为追赶者首先必须到达被追者的出发点，这样那个跑得慢的必须总会领先一段路程。”看来，这只“乌龟”也纠缠过亚里士多德，而且从他开始，多少哲学家和数学家都可能被纠缠过，被这口“阱”陷过。
六、龟很快就落后了
在阿喀琉斯追乌龟的过程中，聪明的乌龟构造了一只特殊的钟，用在这场“阿”与“龟”的比赛中，如果从这只钟盘面上显示他俩比赛的结果，乌龟永远是胜利者。
这只钟的指针是这样来运转的：每当“阿”追到“龟”原先所在的起跑位置时，这只钟的指针就沿盘面转一圈，完成一次循环，也完成了一次“阿”与“龟”比赛的测量。正如上面所说的，从比赛开始，当“阿”跑到位置1时，“龟”爬到了位置2，指针转了第一圈；当“阿”跑到位置2时，“龟”爬到位置3，指针转了两圈……根据“阿”追“龟”的过程，这只特殊钟的表盘上的指针将是越转越快，但永远不会完结，这就表明阿喀琉斯永远也追不上乌龟。
可以用具体的数据来说明这只钟是如何运转的。
开始时，“龟”在位置1，在“阿”前方100米，“龟”的速度是每秒5厘米，“阿”的速度是龟的10倍，是每秒50厘米。阿喀琉斯追乌龟，两位都是沿一条直线、一个方向的一维运动。比赛开始，摁动这只特殊的钟上的开关，指针开始运转。
阿喀琉斯跑到位置1，用时200秒，在这200秒里，乌龟又向前爬了10米，到了位置2，钟面上的指针在200秒里转了一圈；当“阿”跑到位置2，用时20秒，“龟”爬行了1米，到了位置3，钟面上的指针在20秒里又转了一圈；当阿跑到位置3，用时2秒，在这段时间里龟爬行了0.1米，到了位置4，钟指针在2秒内转完第三圈；当阿跑到位置4时，用时0.2秒，在这段时间里龟爬行了0.01米，到了位置5，钟的指针在0.2秒里又转了一圈……
在这场比赛中，这只特殊钟的指针每转一圈，阿喀琉斯与乌龟之间的距离就接近一次，转的圈数越多，阿喀琉斯就越接近前面的乌龟。这个循环可以无限地进行下去，这只钟盘面上的指针，会一圈一圈地转下去，转一圈的用时越来越少，每转一次是前一次的十分之一；转速越来越大，每转一次比前一次的速度要大10倍。这只钟可以一圈一圈地一直转下去，可以转到疯狂，理论上这只钟可以永不停下来。
还可以配置一架与之相匹配的特殊相机，做一形象的说明。每当这只钟走到一圈时，相机就对着这两个追逐的对象照一张相，从理论上可以抓拍到无限张照片，再把这些相片按时间顺序排放好，可以看到，阿喀琉斯是越来越靠近这只乌龟，但是这无限张照片，总也没有一张阿喀琉斯跑到了乌龟的前面的照片。
以上就是这只乌龟言之凿凿地讲述的阿喀琉斯与乌龟比赛状况与结果。
用乌龟构造的那只钟，我们就会掉进无限设置的陷阱中，永远也无法看到阿喀琉斯能跑到乌龟的前面。但是如果用一只我们日常使用的普通的钟，来看这场比赛。阿基里斯很快就会追上、超过这只乌龟。这是一个简单的初等数学题。
来做一做这道题。
假定阿喀琉斯追上乌龟的时间为t，在这个时间段里乌龟爬的路程是5（厘米）×t，阿喀琉斯跑的路程是50（厘米）×t，二者相遇，就是都在同一个位置上，在开始时乌龟在阿喀琉斯前面10000厘米，因此有等式：5×t+10000=50×t，可以算得t=222.2（秒）。这就是说，只要222.2秒，在乌龟爬了11.1米时，阿喀琉斯跑了111.1米，就追上了乌龟，不到4分钟就跑到乌龟的前面了。
事实上，这仍然是一个有限时空的无限分割问题，不过这里不是均匀的分割，是按一定的规则进行的分割。在这里，无论是时间还是空间的分割，虽然可以分割为无限个间隔，但这无限个间隔之和是一个有限值。为了做进一步分析，我们可以把阿喀琉斯追上乌龟的有限的时间，与乌龟爬行的相应的空间，进行对应的无限分割。
开始时，“龟”在“阿”前面10000厘米，因此有，ΔL0=10000，Δt0=0；比赛开始后，“阿”第一次追上“龟”原在的位置，“龟”在“阿”前面1000厘米，运动的时间是200秒，因此有ΔL1=1000，Δt1=200；“阿”第二次追上“龟”原在的位置，“龟”在“阿”前面100厘米，运动时间是20秒，因此有ΔL2=100，Δt2=20；“阿”第三次追上“龟”原在的位置，“龟”在“阿”前面10厘米，运动时间是2秒，因此有ΔL3=10，Δt3=2；“阿”第四次追上“龟”原在的位置，“龟”在“阿”前面1厘米，运动时间是0.2秒，因此有ΔL4=1，Δt4=0.2；“阿”第五次追上“龟”原在的位置，“龟”在“阿”前面0.1厘米，运动时间是0.02秒，因此有ΔL5=0.1，Δt5=0.02；……比赛继续下去，“阿”是越来越接近“龟”，但“龟”总是在“阿”的前面。
这里是对有限长度（111.111米）的无限分割，通过它并不需要无限长时间，像上面那样只要把有限的时间（222.222秒）进行对应的分割，有限的无限分割的时间内就通过了有限的无限分割的空间，不到4分钟，就完成了超越，不会用无限长的时间，掉进那个空间无限分割的“陷阱”里。
赛前乌龟对阿喀琉斯振振有词地陈述，把阿喀琉斯忽悠了，误导了阿喀琉斯，让他以为，通过无限分割的间隔，就一定要用无限长的时间，即使自己跑得再快，也追不上爬在前面的乌龟。
七、结语
芝诺的悖论是设置了两个关于时空的陷阱：一是有限长度的无限细分，是一个无法跨越的空间；二是有限时间的无限细分，是一个无法展示任何运动的瞬间。由于这两个陷阱的存在，就伪证了一个没有运动、永恒不变的世界。揭示了这两个陷阱并不存在，我们就能理解为什么物体可以从A运动到B，飞矢为什么可以在空中画出一条漂亮的曲线，阿喀琉斯为什么很快就跑到了乌龟的前面。
世界如果没有运动，我们将看不到朝霞中冉冉升起的太阳，看不到蓝天上轻轻飘动的白云，看不到林间翩翩飞行的小鸟，也看不见山间潺潺的流水，世界像一座凝固的雕塑，一切生机消失，一切生命也不复存在。这绝对不是我们生活的世界，人类一直就生活在运动着的、变化着的、千姿百态的“永恒变动”世界中。