芝诺悖论的提出——“芝诺龟”随笔之二

在人类的精神旷野里，

有一只爬行了20多个世纪的老乌龟。

古希腊爱利亚派的芝诺，认真地提出了四个悖论，来论证其老师巴门尼德的观点。

在这四个悖论中，广为人知、最为精彩的是关于乌龟与阿喀琉斯的一场田径比赛。这就有必要先介绍一下参加这场比赛的两位运动员——乌龟和阿喀琉斯。

一、龟之轶事

先介绍运动员乌龟。

龟，是现存的最古老的爬行动物。从恐龙时代（前2.5亿年—前6500万年）就出现在地球上，而且几乎一直没有什么变化。龟的最大特征是腹背均有沉且坚的甲壳，当受到外敌袭击时，头尾四肢都能缩于甲壳内。这甲壳就相当于一块能护住全身的奇妙的盾。

龟，我国古人称之为四灵之一。四灵是指麟、凤、龙、龟。前三物在现实世界中并不存在，只是在传说中才显现的神灵之物，这说明古人非但认为龟有灵性，而且规格极高，能入神灵之伍。

在《庄子·外物》篇中，就记述着乌龟具有灵性的故事。说一只背围五尺有余的大神龟，被一渔夫逮住了。龟托梦给国王，国王找到了渔夫，得到了这只神龟。后宰杀此龟，用壳占卜，占72次，竟次次灵验。

在《本草纲目》中，称龟灵且寿。

说到“灵”，海龟在旅行遥遥几千千米后能返回它下蛋的那片海滩；陆龟曾有与主人因故分离十几年后又能千里迢迢返回主人家的报道；说到“寿”，古人说它与鹤都有千年之寿。庄子《庄子集释》（内篇·逍遥游）中说，楚国南边有个叫冥灵的大龟，它把五百年当作春，把五百年当作秋。距今约1500年前南朝梁代文学家任昉编写的《述异记》中，就有“龟一千年生毛，寿五千年谓之神龟，寿一万年谓之灵龟”之说。

说到“神龟”，距今1800多年前，三国曹操在53岁时作《步出夏门行·龟虽寿》一词，开头就用了“神龟”一词。词首两句就发出了“神龟虽寿，犹有竟时”的人生感慨，接着有“老骥伏枥，志在千里。烈士暮年，壮心不已”的名句。这是说即便像“神龟”这样长寿的灵物，也有“竟时”。因此，无论一个人多么长寿，也会离开这个世界。曹操认为若是有为之士，在世时要做点大事，虽入暮年，也要“志在千里”“壮心不已”。这首词不仅展现了曹操垂暮之年积极进取的壮志雄风，也反映了他对生与死的旷达胸襟。

清光绪年间，金石学家王懿荣偶然在中药材的龙骨片（龟之甲骨）上发现了刻辞，断定为中国最早的古文字，后称为甲骨文。这一断言惊动了整个学术界，所谓“一片甲骨惊天下”。这是汉字雏形，古典文献的珍贵遗产，更是世界文化宝库中的瑰宝。

龟在《山海经》《诗经》中均有论涉。世界很多地方的民间传说、文字记载中都有龟的地位，它在人类文化中是不可缺席的成员。

龟要当运动员，参与田径比赛，就有必要介绍一下它的爬行速度，并与其他的运动物体做一个比较。陆地上运动最慢的两个动物是乌龟与蜗牛。乌龟每秒爬行约5厘米，蜗牛每秒爬行约0.5厘米。兔子的速度约为每秒2米，人的速度约为每秒5米。跑得最快的是猎豹，每秒可达27米，可与赛车一比。如果把这些“运动员”都召集起来，来一个百米竞赛，那毫无疑问，乌龟是倒数第二位，只有蜗牛落在它后面。

然而，古希腊的哲学家芝诺却能严密地做出这样离奇的证明：如果比赛开始时，让乌龟在猎豹、赛车前面一段距离，那么，猎豹和赛车就再也不能超过这只乌龟。非但是猎豹、赛车，就是跑得更快的东西，像下面我们要介绍的那位跑得最快的飞毛腿阿喀琉斯，也追不上这只乌龟。

这真是一只神奇的乌龟。

我把它叫作“芝诺龟”，是这篇随笔的主角。

二、阿喀琉斯

再介绍这场比赛的第二位“运动员”——阿喀琉斯。

阿喀琉斯来自古希腊的一部伟大著作《荷马史诗》。

这部史诗中说，阿喀琉斯是美貌的海洋女神忒提丝和凡人英雄珀琉斯生育的宝贝儿子。母亲想让她的儿子炼成刀枪不入的神躯，在他刚出生时就将他倒提着浸入冥河（古希腊神话中地狱中的一条河流），但脚踵却不慎露在水外，于是全身留下了一个致命之处。后来，在一次战斗中他被一支箭射中了脚踵而身亡。现代英语成语中有“阿喀琉斯的脚踵”之说，意思是说即便是一位最强大的人，也会有致命的弱点。

《荷马史诗》相传是古希腊的一位行吟诗人荷马完成的。他出生于公元前9世纪到公元前8世纪之间。这部史诗可以看作古希腊文学的源头，而古希腊文学又是欧洲文学的源头。因此这部伟大的著作，成为后世文学家创作题材的来源和灵感的源泉。

它犹如一泓取之不尽、用之不竭的甘泉，哺育了后世无数文人的创作。“悲剧之父”埃斯库罗斯把自己的作品称作“荷马盛宴的残渣”，伟大的诗人但丁、莎士比亚、歌德都从中汲取了丰富的营养。

芝诺生活的时代与《荷马史诗》问世已相距近四个世纪，他还是选用这部史诗中的大英雄阿喀琉斯来构思他的一个重要悖论。公元前约6世纪出现的《伊索寓言》，也受到这部史诗的影响。歌德是18、19世纪德国乃至欧洲最著名的文学家之一，他距《荷马诗史》出现的年代已有20多个世纪，他的史诗性巨著《浮士德》中也多次提到了《荷马史诗》中美貌无比的海伦。由此可见，这部史诗对后世人类文化进程的深远影响。马克思评价说，它有“永久的魅力”，是一部“既规范又高不可攀的范本”。

《荷马史诗》是由《伊利亚特》和《奥德赛》两部分构成的。《伊利亚特》中讲述了阿喀琉斯的事迹。

《伊利亚特》取材于特洛伊战争的传说。这场战争规模宏大、气势磅礴，历时近10年。这部史诗的第一句就提到了阿喀琉斯。这一句是这样写的：“阿喀琉斯的愤怒是我的主题”。

下面介绍一下这场战争与阿喀琉斯的愤怒。

说古希腊某城邦国王的美丽绝伦的妻子海伦，某一天被特洛伊王子掳走，激起了古希腊各部落的愤怒。大家决定推举阿伽门农为统帅，组成联军，共讨特洛伊。在这支大军中，有一位大英雄，非但勇猛善战，而且还是腿快足捷的飞毛腿，他就是阿喀琉斯。

战争打了9年，仍没有攻下特洛伊城，进入第10个年头，统帅阿伽门农夺走了阿喀琉斯喜爱的一名女俘，让阿喀琉斯感到自己的荣誉和自尊受到了损害，与阿伽门农发生了争吵，愤怒的阿喀琉斯离开了军营，退出了战斗。古希腊军队由于失去了最勇猛的将领而一路溃败。

阿喀琉斯有一位叫帕特洛克罗斯的好友，来劝说阿喀琉斯回到军营，为古希腊出战，然而，劝说未果。无奈之下，好友借了阿喀琉斯的铠甲出战。特洛伊人误以为是阿喀琉斯打了过来而失去了斗志，落荒而逃。阿喀琉斯的好友穷追不舍，中了伏击，被特洛伊王子的哥哥赫克托尔杀死。

好友的死激怒了阿喀琉斯，这是他的第二次愤怒。他重返军营，决意出战。经过激战杀死了特洛伊王子的哥哥赫克托尔，取得了决定性的胜利，也为朋友报了仇。过了几天，特洛伊的老国王找到了阿喀琉斯，哀求他归还儿子的尸体。阿喀琉斯被老国王深深的父爱所打动，将尸体交还。故事在赫克托尔的葬礼中结束。

以上就是《伊利亚特》故事的梗概。

《荷马史诗》选取了阿喀琉斯作为其古希腊民族精神的代表，丰富而完整地体现了古希腊民族的性格特征。英雄阿喀琉斯忘我地战斗，表现了古希腊人的勇敢精神；他的自尊和荣誉不能受到诋毁，表现了他重视个人价值观；他为朋友出战，友情高于一切，表现了古希腊人重感情、讲友谊的品德；当敌人的父亲泪流满面地哀求能否归还其儿子的尸体时，他推己及人，归还了尸体，表现了他的敦厚善良。

因此，阿喀琉斯成了《荷马史诗》中永远不会被人们遗忘的一位大英雄！

三、古希腊文明中的两只龟

在古希腊的文明中，有两只乌龟。除哲学家芝诺构造的这只乌龟外，还有文学家伊索构造的一只乌龟，可作为芝诺龟的兄弟，作为插曲，也讲一下。

伊索是公元前6世纪的一个希腊奴隶，他讲过许多寓言，后人把这些寓言收集起来，就有了流传至今《伊索寓言》。这本寓言长期以来被人们视为智慧的结晶。

这些寓言结构短小精悍，内容却博大丰满。寓大真理于小故事中，是一部既轻松又充满哲理的佳作。寓言的主角通常是动物，其中一个聪明，一个愚蠢，二者能像人类一样对话，展示寓言的内容。其实，寓言描写的就是我们人类，是我们生活中碰到的那些聪明的、精明的、贪心的和狡猾的人。

古希腊的几位哲学家对这本寓言也情有独钟。据说被判了死刑的苏格拉底，在狱中服刑期间，曾用诗体改写《伊索寓言》；柏拉图在他的对话录中数次提到伊索的名字；亚里士多德则是伊索寓言的热心搜集者。

在这些脍炙人口的寓言故事中，有一则家喻户晓的关于“龟兔赛跑”的故事。故事大致是这样的。

一天，兔子见到了一只乌龟在慢腾腾地爬行，便取笑道：“看你爬得多慢啊，你若跟我赛跑，永远也胜不了我！”乌龟却说：“那可不见得，说不定我还跑得比你快呢！”

兔子说：“那咱俩就比试一下，看谁先跑到这块地的那一头。”乌龟道：“我跟你打赌，我一定先比你跑到这块地的那一头儿！”

于是，这场龟兔比赛开始了。

兔子以为自己跑起来要比乌龟快多了，肯定是稳操胜券，因此它边走边玩，到中途索性停了下来，在暖暖的阳光下，蜷缩着身子睡着了。乌龟却始终以几乎均匀的速度爬行，不气馁，不松懈，不到终点决不罢休。

乌龟快到终点了，兔子才睡眼惺忪地赶过来，结果，乌龟赢了。

这则寓言旨在提醒我们，喜欢炫耀的人哪怕有很大的优势，但往往会由于他骄矜自负、高傲自大而被能循序渐进、坚忍不拔的人打败。

在《伊索寓言》中，也有关于第二位“运动员”阿喀琉斯的故事。故事的题目叫“阿喀琉斯与马车夫”。在这里也顺便提一下。

一个马车夫，驾着他的马车，在泥泞的小道上前进。忽然，马车的轮子死死地陷在泥淖中，怎么也走不动了。马车夫跪在地上，哭着哀求阿喀琉斯帮帮他。

“起来，自己想想办法，你这个懒家伙！”阿喀琉斯回答道，“用鞭子抽你的马，用肩膀使劲顶车轮。你自己努力之后还是没有办法的话，再来求我。”

这则寓言旨在告诉我们，一个人遇到了困难，首先是自己要竭尽全力。

四、节日盛会师生相逢

相传，芝诺与他的老师巴门尼德是在一次雅典盛大的节日见面时，提出了这场乌龟与阿喀琉斯的比赛的。

这个盛大的节日称作雅典娜节，是为了纪念古希腊的护城女神雅典娜而设立的大型宗教节日。雅典娜节作为本文的一个插曲，让读者了解一点芝诺那个时代古希腊的大型文化活动。下面对这个盛会做简要介绍。

古希腊人想象在北方奥林匹斯山上居住着许多神。主神是宙斯，他周围有男女诸神。这些神具有人的形体、性别、性格、欲望等，从而编造了不少错综虚幻、丰富多彩的神话故事。这些故事反映了古希腊人对千姿百态的自然界和纷繁复杂的人类社会的朦胧认识。

雅典，是古希腊的城邦，位于希腊的阿提卡半岛，是古希腊文明的发源地，在公元前5世纪达到鼎盛。那些雄伟的大理石神殿曾令无数人们神往和膜拜，这里主要的历史遗迹有闻名于世的卫城遗址、巴台农神庙、胜利女神庙等古迹。

巴台农神庙是古希腊最著名的建筑物之一，是雅典建筑最杰出的典范，是闻名于世的古代七大奇观之一。这座雄伟的神庙，始建于公元前480年，就是为了祭祀一位叫雅典娜的智慧女神而建造的。

神庙的正厅内就供奉着雅典娜的神像，据说巨大的雅典娜神像高12米，由黄金、象牙雕刻而成，眼睛的瞳孔用宝石镶嵌。两千多年的战火兵燹、风雨侵蚀，雅典娜神像已不知去向。这一艺术殿堂只剩下耸立的石柱和断垣残壁。

用这么雄伟的神庙来祭祀这位女神，当然有必要介绍一下这位女神。

相传，主神宙斯害怕生下的儿子比自己强大，就把他的妻子墨提斯吞入自己腹中，吞腹后不久，头痛欲裂，不堪忍受，急令火神劈开自己的脑袋，却有一女婴从中跃出，全身披铠挂甲，这就是女神雅典娜，后来，她将纺织、缝衣、油漆、雕刻、制陶等技艺传授给人类。她还曾与海神相争而获胜，遂成为雅典城邦的保护神。在古代，这个城市最盛大的节日就是雅典娜节。

起初，雅典娜节每年在雅典城举办一次，后改为每四年举办一次。节日期间，雅典所属地的代表都要来赴会，会上除举行盛大的宗教活动外，还有体育竞技和音乐比赛，其规模堪与奥林匹克竞技媲美。

五、提出悖论

芝诺好长时间都没与他的老师巴门尼德见面了，约公元前465年，他们在一次雅典娜节的盛会上见面了。俩人一见面，老规矩，总是持续不断地讨论他们最为关心的哲学问题。

巴门尼德问芝诺：“最近，你在哲学研究方面有什么新的进展？”

芝诺回答说：“我非常认同你的看法，世界是唯一的存在。既然是唯一的，它就不可能有运动。因为一旦出现运动，世界就不会是唯一的，而是‘多样’的。世界既然是唯一的存在，那其余‘多样’只能是‘非存在’，无论我们看到的‘多样’是多么‘真实’，那也只能是一种‘非存在’，而不可能转移到‘存在’里面去。”

巴门尼德说：“你已经把我的思想表述得非常准确和深刻了。”

芝诺又说：“仰仗老师的教诲，我想出了许多论点，可以证明你的看法。”

巴门尼德说：“你先说一个我听听。”

芝诺说：“第一个论点我把它叫作‘二分说’。任何一个物体要从A点运动到B点，必须先通过A、B的中点C，而要到达C点，又必须先通过A、C的中点D，要想到达D点，又必须先通过A、D的中点E……这个二分的过程可以无限地进行下去，这样，在A点的一个物体，要从A点到达B点，就要通过无数的点，而通过每一个点都必定需要时间——哪怕这个时间极短。那么通过无限多个点，显然就要用无限长的时间，才能完成从A点到B点的运动。这当然就不可能完成。

“其实，从A点出发，到B点之间的任意一个间隔都可以分割为无限多个点，同样的道理，通过这一小段间隔的运动也同样不可能完成。这就是说，物体就根本不可能离开A点而出现哪怕是一小段距离的运动。由此可见，离开A点的运动并不存在，只能是一种假象。”

巴门尼德点点头，赞许道：“你这个论证不但精辟，还极具普遍性。你再说一说你的第二个论点。”

芝诺说：“最近，我一直在想一个问题，一支射出去的箭，它从天空划过，它真的在飞行、在运动吗？我可以证明这支箭其实没有在空中移动。这是我的第二个论点，我把它叫作‘飞矢不动’。”

巴门尼德点头示意，让学生继续往下讲。

芝诺说：“看似一支在空中飞行的箭，我们来考察它的飞行过程，这一过程的时间可以进行分割，比如等分为一个个小的间隔，每一个小的间隔，还可以再细分，细分后的间隔还可以再分……这种不断的细分，总可以使得每一个时间间隔为零，可称作时间为零的瞬间，在这个瞬间，这支飞行的箭，显然没有时间能展开自身的飞行空间，而没有飞行。

“一段时间是由一个个瞬间组成的，任一瞬间箭都没有运动，说明这支‘飞行’的箭，无论在哪一个瞬间，不‘飞’也不‘行’，根本不存在飞矢的运动，人们看到它的运动，只能是一种假象。

“老师，你看我分析得有道理吗？”

巴门尼德会意地笑笑，很满意学生的说法。

芝诺说：“我的第三个论点叫‘运动场’。设有A、B、C三组物体，每组有四个相同的方块，整齐地排成三行。A行不动，B行和C行以相同的速率同时沿左、右两个相反的方向运动。当B行向左运动一个方块（一个空间单元），需要一个时间单位；C行向右运动一个方块（也是一个空间单元），也需要一个时间单位。这时，B行与C行之间就出现了两个空间单元的间隔。B行与C行相对于A行都运动一个空间单元，用了一个单元的时间，而在这个单位时间里，B行与C行之间却出现了两个空间单元的间隔。

“若以B行来看这场运动：A行相对于B行右移一个空间单元，用了一个时间单元；C行相对于B行右移两个空间单元也是用了一个单位的时间。这样C行对于B行的移动，移动一个空间单元就只需要半个时间单元。如果这种运动真的存在，就表明半个单位时间可以等于一个单位时间。简单地说，一可以等于二分之一，或者说二可以等于一，这显然是个谬论，这表明像这样两个物体的相互之间的运动也是不能存在的。如果存在必然出现谬误。”

巴门尼德会意地点头认可。

芝诺又说：“我还有一个新的想法。这个想法更奇特，可以严密地证明‘阿喀琉斯追不上一只乌龟’。我把它称作‘阿喀琉斯追龟说’，这是我的第四个论点。阿喀琉斯是《荷马史诗》中跑得最快的英雄，而乌龟在陆地上差不多是爬得最慢的动物之一。根据我提出的论证方式，阿喀琉斯永远也追不上乌龟。”

“这是为什么呢？”巴门尼德侧头问芝诺。

“如果他们沿着一条直线前行，乌龟在前面B点处，阿喀琉斯是在后面A点处，他们同时开始起跑。阿喀琉斯要想追上乌龟，必须先跑完AB这段路程，到达B点处。而当阿喀琉斯跑到B点时，乌龟一定会奋力向前，爬到了一个新的位置C点。阿喀琉斯要追上乌龟，同样必须先跑完BC这段路程，而当他到达C点时，乌龟又爬到了D点，阿喀琉斯又要先跑完CD这段路程……如此追赶，这个过程可以永远延续下去。但是，尽管阿喀琉斯越来越接近乌龟，两个‘运动员’之间的距离也越来越小，而面对这无限多个追逐的过程，阿喀琉斯的有限生命怎么也不可能完成。这样阿喀琉斯永远也不会追上乌龟。”芝诺一边说，一边随便在地上画了一张追赶过程的示意图。

“好极了！真是一个绝妙的论证。这表明两物之间的追赶运动也是不可能存在的，这进一步证明了运动根本不可能存在的伟大结论。”

巴门尼德不禁拍手叫好。

从下午开始的讨论，一直持续到了深夜，师生俩仍然沉浸在他们热烈而兴奋的探讨之中。