对真实世界的摹写——“拉普拉斯妖”随笔之四

建立在理想模型之上的理论，

只能是对真实世界做近似的描绘。

一、物理学是从建立理想模型开始的

物理学走过的路，大多是从一个理想模型开始的。

可以将牛顿力学看作近代物理学的肇端，它的研究就是从一个有质量，但是维度为零的最简单的理想模型——质点开始的。因此，从这个意义上可以说，近代物理的研究对象起源于一个点。

这一事实蕴含着物理学一贯就有的重要研究方法，即对一个真实的系统建立一个与之相对应的理想模型，物理学家先通过对可以简化为理想模型的对象进行研究，寻找规律，建立理论，然后再去阐释真实世界中较为复杂的情况。

这种研究方法是从伽利略开始的。他在研究落体运动时，起初考虑了下落物体的成分、空气密度、阻力等诸多因素，发现这样做不可能得到一个普遍的结论。后来，忽略掉这些次要因素，才得出了轻重不同物体同时落地的正确结论。

他的著名的斜面实验也要求是坚硬光滑的理想斜面。正是用了这些理想模型，再通过大量的实验、理性的逻辑推理，才找到了“重力加速度”“惯性”这些科学概念，奠定经典力学的基础。

这种建立理想模型寻找自然界规律的方法，在物理学中几乎到处都起着作用。为研究在低压高温下的实际气体，建立了理想气体模型；为研究较难压缩，黏滞性较小的实际液体的流动，建立了理想流体模型。物理学中出现了诸如理想约束、理想光学系统、理想变压器等各种理想模型。

物理学的发展还告诉我们，如果在建立理论之前，就把要探索的问题所涉及的各种因素全都考虑进去，反而会使研究走进死胡同，找不到出口，也就找不到正确的结论。

然而，也应当看到，由于理想模型与真实系统之间存在着差异，理想模型的面貌只能是真实世界的近似、模糊的图像，从该模型中得出的结论也只能对相应的真实系统做近似的阐释，有时可能与真实还存在很大的差距。

下面要说的哈密顿的工作，实际上是先对经典力学的多粒子系统找到一个理想的模型，然后，用他建立的方程和恰当的数学手段，来寻找这类系统的运动法则。

他找到的这个多粒子系统的理想化模型是这样的：能量守恒，只有保守力（无摩擦之类的耗散力）受到环境的约束是理想的，系统的运动情况只要用时间一个自变量构成的函数来表示，数学上称之为可积系统。简单地说，多粒子系统的理想模型是只有保守力、能量守恒、理想约束的可积系统。

他用的数学方法是构建一个高维、虚拟的空间，让这个理想模型在这个世界里运动。

上面的叙述，涉及理论力学中的一些概念，若你对它们不了解，尽可以不用管它，只要知道这是一种简单的理想化模型，只需关注这个解决问题的思路和方法就可以了。

我们先来看一下，哈密顿构造的空间。

二、一个多维的理想空间

哈密顿构造的是一个多维的、虚拟的数学空间。

这个空间里居住着n个“居民”，而每位“居民”一般都有自己独占的6维空间的“一个小院”，n个“居民”就有6n维空间。这些空间的总和就是这个虚拟世界的大小，也是这“一个个小院的集合”。其实，因为这是一个理想化的保守、可积系统，空间的维度是可以简化的，并没有这么多，但为了能更好地阐明这里的思想，以这个6n维空间进行讨论反而显得方便，因此，这里就以6n维空间——相空间进行讨论。

这些“居民”们互不“串门”，各自在自己的“小院里”运动，这些运动的总和就是这个虚拟世界里的全部运动。n个“居民”有它们的代表，这位代表就是前文说过的Q点。“居民”们的运动制约着并决定着Q点的运动，反过来，Q点的运动，也对应着“居民”们各自的运动情形。

因为这个系统总能量是守恒的。根据理论的分析，“守恒”实际上是对Q点运动范围的一种限制。从几何上看，这种限制意味着在由位置和动量构成的相空间中，对应存在一个确定的高维曲面。这个曲面的维度与系统独立的能量守恒的方程数有关：如果系统只有一个能量守恒方程，曲面的维度就是（6n-1）；如果有两个独立的能量守恒方程，那曲面的维度就是（6n-2），等等。这些高维度的曲面，就是Q点所在相空间中的“活动”范围，Q点的运动不能逾越这个能量，就是说，Q点只能在这个高维的曲面上游走。

三、矢量场决定着系统的变化

我们已经知道，如果系统在某一时刻，已知各个粒子的位置和动量的确定值，就能通过哈密顿方程，得到n个粒子的位置和动量的变化率是多少，也就能决定下一时刻每个粒子的状态。把这一思想用相空间的语言来表述就是，Q点在相空间某时刻的位置A一旦确定，根据哈密顿方程，则下一时刻在相空间的位置B也就能确定下来。若把A、B两点连起来，始为箭之尾，末为箭之头，就画出了一个矢量。如此，在相空间中，只要Q点能去的点，由哈密顿方程，都会存在一个矢量。这无数个矢量就构成了一个矢量场，Q点如何运动均应由这个场来完全决定。

原本由哈密顿方程来决定的系统变化，在这里就转化为由相空间中的矢量场来决定的Q点的运动。一旦系统初始的状态确定了，Q点就在相空间的某处出现了，则后续的运动——连续出现的状态，就会由这个矢量场来确定。

这一事实表明，系统运动状态的变化是由因果决定的，只要系统的初始状态确定，则系统在以后时刻的全部运动就完全确定了，其中任一状态的出现都有着前因后果的联系，有着决定性的顺序。这一结论在我们生活的真实世界里似乎处处都能找到对应，因果律是大自然展现在人类面前的一个重要规律。

因为有这种因果联系，人们习惯从原因展现的可能性，来推断、预言事情的结果；反过来，人们又从结果提供的线索，来分析、追溯事情的原因。这就是人们心中的因果律，这也是人们分析自然界和社会现象的一种通用的逻辑法则。

四、两个简单的例子

从上面的阐述可以看到，相空间Q点的运动与系统的真实运动是一一对应的，那么，用相空间描述系统的运动能够给予人们怎样的启示呢？

介绍两个简单的例子，通过这两个例子来了解一下，在哈密顿相空间中代表点Q是如何运动的，它的运动又是如何与真实世界的运动相对应的，从而来推测一些复杂系统的运动情况。

在一光滑的平面上，有一弹簧，一端固定，另一端连一个振子（可当作粒子），振子在弹力的作用下做简谐运动，这是大家在中学就遇到过的理想物理模型。振子受到的弹力是保守力，系统能量守恒，可解得振子的动量和坐标均可用时间作自变量的正弦或余弦函数来表示，因此是一个可积系统。

从振子的哈密顿函数可看出，这个函数在坐标和动量构成的2维相空间中图像是一个椭圆。这里Q点在相空间的运动与振子的运动相对应。虽然Q点的相迹是椭圆，而振子的轨迹是一段直线，“两迹”不同，但相迹上的任一点都对应于振子的实际运动的一个态，相迹上的全部点，对应于振子运动全部状态。这是一个周期性的永恒往复运动，这虽是一个最简单例子，实际上有不少复杂的系统也会出现这种周期性的运动。

再来讨论复杂一点的例子。一个振子（也当作粒子）分别在x、y两个方向上与一对弹簧连接，在两个方向上均做简谐运动。振子在x方向和y方向有两个解析解，也都是含时间变量的正弦或余弦函数，也是可积系统。相空间是x、y、px、py构成的4维空间。由于振子是在两个方向的运动能量守恒，所以Q的运动受到了两个能量守恒方程的限制，只能在4维相空间中的2维曲面上漫游。这个曲面可以想象为一个面包圈，或者说像自行车的内胎，振子就在这个圈面或胎面上游走。

理论的结论表明，在相空间中，Q的相迹与两个方向的振动的频率相关，可分为两种情况：

如果两个方向的振动频率之比可以通约为两个整数比，则Q点在圈面上漫游线路将是周期性的闭合曲线，系统的运动是周期性的；如果两频率之比不能通约为两个整数之比，而通约为像π、之类的无理数，则Q点的漫游路线将是不稳定的非周期的曲线，它会不断地绕着面包圈面打转，只要时间足够长，就能覆盖整个圈的表面，或者说Q点的相迹将或迟或早地遍历能量允许的曲面上任意靠近的各个点。在经典力学中称这种情况是遍历性的，将具有这种性质的系统称作遍历系统。

如果与振子的实际振动图像进行比较，就可以看到它们有一种对应的关系。

这个振子在x、y构成的平面上的运动轨迹也可以分为两种情况：如两方向振动频率之比是简单的整数比，且有稳定的相位差，则振子的运动轨迹或是一条直线，或是一个椭圆（包括圆），或是形成复杂的李萨如图形，都做来回往复的周期性运动；如两方向振动频率之比不成整数比，而通约为像π、之类的无理数，那么振子的运动轨迹不能形成周期性的稳定的图像，而是遍历性的。

上面的系统也可以看作两个在互相垂直方向运动的单摆，它们的Q点在相空间中的运动与上述情况类似，都是在2维的圈面上游弋，或是画出周期性的相轨迹，或是在圈面上打转，逐步地遍历整个2维的圈面。

从上面简单的情形分析，可以看到这里出现两种运动形态：或者是周期的；或者是遍历的。这就使我们容易联想到，我们生活的世界是不是也有这样两种类似的情形呢？

五、周期性与遍历性刍议

从上面两个简单的例子可以看到两类系统的运动。例子虽显简单，但对照真实世界中的机械运动，会给予我们一些启示。

在我们生存的环境中，可以看到许多周期性变化的自然现象，使得许多人早就相信世界的变化是周期性的。春夏秋冬的周而复始，日出月落的往复循环，就使得中美洲的玛雅人相信历史每260年会重复一次。由亚里士多德为人类写的第一部《物理学》中也这样说：凡是具有天然运动和生死的事物，都会有一个循环。希腊晚期的斯多葛学派也相信，每当行星回到它初始位置，宇宙就会重新开始。即便是鲁迅笔下浑浑噩噩的阿Q，也相信人生的轮回和循环，他走在砍头的路上，还嚷嚷着：“二十年后又是一条……”

人们曾经有过这样的设想，台球框子里的一只光滑小球，它的运动应当是周期性的。这是因为，小球被限制在无摩擦台面上，从一个初速度开始运动，它与四框之间发生的都是完全弹性的理想碰撞，由于没有能量的耗散，人们会想到在这种理想状态下的运动，经过一段时间后，也可能这个时间很长，一定会回到初态，继而又重复开始新一轮的运动。

据此，法国大数学家彭加勒在1890年提出了他的回归论：任何一个孤立系统（包括宇宙），在一个足够长的时间里，又会回到任意接近初始的那个状态，重新开始新一轮的运动，而这种无限多次的重复运动，就构成了它单调而又无限漫长的历史。

有些科学家，根据人们在地球上发现的史前文明遗迹及人类已有的生活经历，提出了地球文明是短暂的，也是周期性的循环和轮回。

他们认为，人们普遍地乐意享受科技带来的成果，且不愿意为这种享受给予应有的支出。例如，交通的飞速发展，使得人们的出行更加便捷，然而不可再生的能源的大量消耗、环境污染的日益严重，总是被人们忽视。

他们还认为，先进技术发展与人类原始的本能也发生了严重的冲突。例如，人们一方面利用各种先进的技术来尽力控制疾病以延长寿命，另一方面又想多生子女，繁衍自己的后代，家族兴旺。这就造成了“人口爆炸”。这种无节制的人口增长必然会使我们赖以生存的这颗星球难以承受重荷，使得实现社会持续发展的任何努力都将前功尽弃，地球上现有的文明只能消亡。

他们指出，地球上早年曾经有过的文明的散落和消失，就是这些原因造成的。由此可见，人类每一次文明都只能是短暂的，然而可以周期性地轮回出现。在新一轮文明的开端，人类又重新栖息在原始森林洞穴中，摘食野果、茹毛饮血，新一轮的文明再从零开始。

关于遍历系统，有人曾经做过这样的设想，先在一个装有亿万个分子的容器中，让其中一个分子染上鲜艳的红色，与其他分子区别开来。然后，始终“盯”着它，追踪它的径迹，由于这个分子会不断地、频繁地与其他分子和器壁发生碰撞，因此不可能始终待在一个地方不动，只要时间足够长，此“红分子”就会遍历容器的每一个地方，到达容器内的每一个点。

由此，1871年，奥地利的物理学家玻尔兹曼（物理世界中的重量级人物，在我的这本随笔中多处提到）首先提出了动力学系统的遍历假设。他推想，容器内亿万个分子在相空间中的代表Q点的运动，只要时间足够长，就能“游遍”它的能量允许的曲面上的每一个点，造访它能到达的每一个犄角旮旯。

20世纪30年代，许多数学家对遍历系统进行了研究，建立了遍历理论，揭示了这类系统的多种情况，表明了这类动力学系统有不同层次的行为。前面的例子是关于遍历的最简单的情形。对于稍微复杂一点的系统，如两只台球在台面上的运动，20世纪60年代初就有人证明，这也是一种类型的遍历系统。若单位体积中有1023个分子在运动，这将是一个更复杂的遍历系统，它们的运动回复到初始状态的时间约为秒，要比宇宙年龄大很多个数量级，因此完成遍历的全过程是人类不可能观察到的。

一个系统如果具有遍历性，这能使我们想到这个系统会出现非常惊诧的事情。

举一例，1716年出版的《康熙字典》有四万七千多个汉字，据说，现已查得有出处的汉字近十万个。如果把每一个汉字都看作一个粒子，则近十万个不同的汉字就构成了一个系统。它的任意一种排列都是这个系统可呈现的一个状态。我国的文学名著《红楼梦》，开卷的第一首诗叫“石上偈”，前两句是“无材可去补苍天，枉入红尘若许年”。如果有一个或多个机器人在无休止地任意排列这些汉字，肯定会出现“无材”两个字排在一起的状态，等待若干年后，可能就出现了“无材可去补苍天”都排在一起的情形，再等待几千年，就可能出现“无材可去补苍天，枉入红尘若许年”的情形，再经过亿亿亿万年的排列后，在偶然一次排列中，出现了整部《红楼梦》的一个特定状态，因为这也是包含在汉字排列中的一个态，这就是遍历性带给我们的神奇。不过，这一神奇事实的出现可能会比宇宙的年龄还大，应该不会有人能看得到这部由汉字随机组合出来的《红楼梦》。

六、哈密顿工作的启示

经典力学从牛顿到哈密顿，可以看作理论发展最重要的一个阶段，可以总结以下几点：

第一，是一个阶段性的终点。

从科学史上看，哈密顿理论是自牛顿理论出现后，人们在百年的探索中通过对自己熟悉的宏观世界中机械运动简化为一个理想化的系统，获得的一种较为理性、完美的描述；从经典力学的发展来看，哈密顿的工作已经做到了极致，正如普里高津所说的，一个可积系统是经典力学前期发展的终点。

第二，是对局部世界运动的摹写。

虽然哈密顿把牛顿理论延伸到了它的终端，对后来物理学的发展产生了重要的影响。但是，理论也是在一种理想的情况下归纳出来的，因此也只能是对局部世界做一个近似的摹写。无论这些理论怎样完美与强大，“理论”永远不会比自然界更加“丰富”。也许在高度复杂的情况下，一个在理想情况下建立的理论就会变得“束手无策”。人类要从理论上获得对真实世界全面的、精准的、完整的表述，这条路也许不会有尽头！

第三，是对因果律的科学诠释。

哈密顿用严密的逻辑推理、用严谨的数学方法、用高维度空间构建的场给予清晰的说明，让你相信系统的任何一状态，是前一状态的结果，是后一个状态的原因，让你无法去怀疑这样的观点还会有什么不妥当的地方，由此，你就会觉得我们观察到的自然界中的一切运动，变化的前后有因果联系，是由因果律唯一决定的。

第四，是对两种运动形式进行的描述与分析。

由若干个物体构成的系统，若能有持续运动过程，其运动形式大致就是周期性的和遍历性的两种。大自然中大量的复杂系统的运动形式，也许主要是这两种类型。

这些看法可以说是奠定了几代人的世界观，为“拉普拉斯妖”的出现做好了准备。