2.3.1　有限差分法

顾名思义，有限差分法计算两个相差有限步长的值之间的差。它利用小差分近似方程（2.4）中的导数定义：

在数学上，步长h越小，导数估计就越准确。实际上，h值太小会导致数值误差相消。这种效果将在图2.4中展示。算法2.1提供了这些方法的实现。

算法2.1　有限差分h估计函数f在x处的导数的有限差分方法

默认步长是浮点值的机器精度的平方根或立方根。这些步长平衡了机器舍入误差和步长误差。

eps函数提供了1.0和下一个较大的浮点值之间的步长。

有限差分法可以由泰勒展开式导出。我们利用f关于x的泰勒展开式，得到前向差分导数估计：

整理并求解一阶导数：

前向差分近似于小h的真正导数，其误差取决于。误差项是O（h），意味着当h接近零时，前向差分是线性误差[1]。

中心差分法的误差项为O（h2）[2]。我们可以用泰勒展开式导出这个误差项。f（x+h/2）和f（x-h/2）关于x的泰勒展开式为：

它们相减得到：

重新整理可以得到：

这表明近似值有二次误差。

[1] 附录C讨论了渐近表示法。

[2] J. H. Mathews and K. D. Fink，Numerical Methods Using MATLAB，4th ed.Pearson，2004.