第3章 透视投影
透视投影是投影几何里面的概念，是一种将三维物体投影在二维平面的方法。
整个图形系统3D的概念，以及从3D到2D的投影，都是基于透视投影和正交投影的（光线追踪除外）。从开发者的角度看，用户最终获得的图像，和创建3D场景时输入的顶点坐标、模型视图变换矩阵、投影矩阵紧密相关。所以理解投影背后的设计原理，有助于开发者理解给定输入顶点坐标和投影矩阵，将会获得怎样的输出。理解输入和输出，对3D应用的开发者而言，是非常必要的。另外，如果要进行GPU设计，或者软件模拟GPU的行为，也需要深入理解投影背后的设计。本章介绍3D编程中最常用的透视投影，后续章节会介绍正交投影。
虽然本章都是公式推导，但是数学难度并不高。对读者数学上的要求有两点：①高中的立体几何知识；②矩阵运算的基本知识（甚至都不需要了解矩阵的逆）。本章使用的矩阵运算，一定程度上可以映射到高中的多元一次函数方程组的求解问题。从这个角度看，理解本章的内容，有高中的数学基础就可以了。
前面提到，3D流水线抽象出了多种坐标空间。透视投影实现的是从眼睛坐标到NDC坐标的变换，而眼睛坐标依赖于输入的物体坐标、模型视图矩阵等。所以要分析透视投影，还要考虑模型视图等的影响。模型视图矩阵让问题的分析变得复杂，测试起来也很不方便。针对本章分析透视投影矩阵，一种简化方法是，将模型视图变换设置为单位矩阵，这样的话，物体坐标、世界坐标、眼睛坐标就重合了。但是透视投影的几何模型不受这个简化的影响。
本章讨论的透视投影模型，就是在没有模型变换和视图变换的前提下，如何将眼睛坐标系的点，变换到归一化的NDC坐标系。没有模型变换，物体坐标系就是世界坐标系，这一点比较直接。没有视图变换的意思是，使用系统默认的视图变换。视图代表了用户的眼睛（或摄像头）观察3D场景的位置和方向。在GL或者Vulkan里面，眼睛默认在世界坐标系的原点。但是GL/Vulkan都可以通过观察函数（一般都叫lookAt）来修改眼睛的位置和观察方向。使用默认的眼睛位置和观察方向（有些应用程序，例如Chromium的合成器，Android的SurfaceFlinger都没有额外设置观察函数），带来的一个好处是，视图变换就是没有位移旋转的变换，也就是单位矩阵。因而视图变换后形成的眼睛坐标系和世界坐标重合了。
这个从眼睛坐标系变换到NDC坐标系的变换，需要具有将3D内容以合适的方式呈现在2D平面上的能力。所谓合适的方式，是指：
（1）保持立体感，立体感的本质就是远的物体显得较小，近的物体显得较大。
（2）和人眼距离一样的物体，投影后物体间的相对位置不变。
透视投影，就正好满足了这两个条件。
那么，如何求解得到这个透视投影的变换矩阵？
求解一个矩阵，要先理解这个矩阵的输入和输出是什么。透视投影的输入是眼睛坐标（如前述，因为眼睛坐标和物体坐标重合，所以也就是物体坐标）。输出呢？有两种比较直接的选择，一种是输出窗口（本书讨论窗口和视口重合的情况）坐标，这样的坐标是非归一化的。这个选择的缺点是，投影矩阵和窗口系统耦合到了一起。也就是窗口变换了（放大、缩小甚至移动），投影矩阵要重新计算。如果选择输出归一化的坐标呢？那就需要一次额外的窗口变换来将归一化的坐标映射到窗口坐标。GL和Vulkan都选择了归一化的窗口坐标方式。这个归一化的窗口坐标系叫作NDC坐标系（normalized device coordinates）。
现在问题变成了：给出眼睛坐标，如何求解出相应的NDC坐标？这里的眼睛坐标位于眼睛坐标系（等同于物体坐标系，世界坐标系），NDC坐标位于NDC坐标系（归一化的坐标系）。
但是通过分析发现，透视投影，也就是从眼睛坐标系到NDC坐标系的变换，不是一次矩阵运算就能解决的（所谓一次矩阵运算，里面涉及的矩阵可以是多个矩阵的乘积），其中有一个过程甚至引入了非线性部分。这个非线性部分，让整个透视投影变得没那么直观，让3D流水线变得更加复杂。
另外，公开的文献在分析透视投影的时候，或者直接给出结论，或者将几何模型和数学算法上的优化混合到了一起，这也让透视投影变得难以理解。
针对透视投影理解上的难点，本章将透视投影的几何模型和数学算法上的优化分开，因而得到了两个模型：透视投影的几何模型、透视投影的透视除法模型。前一个几何模型完全使用初等几何知识推导，重在理解物体和空间的几何关系，因此比较直观。后一个透视除法模型则侧重于数学算法优化。这两个模型降低了学习曲线，能够帮助读者理解透视投影的本质。
本章内容安排如下。
（1）左右手坐标系。介绍左右手坐标系的区别。
（2）3D坐标和坐标系。介绍了3D坐标的特点及所在的坐标系、坐标系之间的变换。
（3）3D流水线的基本概念。
（4）小孔成像。介绍了小孔成像的原理，并根据小孔成像推导出透视投影的模型。
（5）透视投影的几何模型。
（6）透视投影的透视除法模型。
本章要讨论非常多的坐标，对这些坐标约定如下。
物体坐标：xo，yo，zo。齐次坐标形式：xo，yo，zo，1。
世界坐标：xworld，yworld，zworld。齐次坐标形式：xworld，yworld，zworld，1。
眼睛坐标：xe，ye，ze。齐次坐标形式：xe，ye，ze，1。
裁剪坐标：xc，yc，zc。齐次坐标形式：xc，yc，zc，wc。
归一化的NDC坐标：xn，yn，zn。齐次坐标形式：xn，yn，zn，1。
窗口（视口）坐标：xw，yw。