1.4　稳定性理论

接下来，对本书需要用到的稳定性分析理论进行简要介绍。对于自治系统，通常会用到LaSalle不变集定理，首先对不变集的定义进行说明。

定义1.1：考虑自治系统

　　（1-24）

式中，f（x）在定义域ℝp上为光滑的、连续的和Lypschitz的。如果集合S满足：对于=f（x），x（0）∈S⇒x（0）∈S，∀t≥0，则称S为正不变集。

接下来，给出LaSalle定理［122］。

引理1.1：假设x=0为系统式（1-24）的平衡点，D∈ℝp为包含x=0的区域。令紧致集Ω∈D为系统式（1-24）的正不变集。设W（x）：D→ℝ为连续可微函数，当x∈Ω时，W（x）满足（x）≤0。令E为Ω中所有满足（x）=0的点的集合，假设S为E中的最大不变集，则当t→∞时，所有由Ω起始的解都收敛于S。

对于如下非自治系统

　　（1-25）

其中，f（t，x）在定义域ℝp上为光滑的、连续的和Lypschitz的。这里，引理1.1不再适用，对于非自治系统的稳定性分析要相对复杂一些，通常会用到Barbalat定理，接下来对其进行介绍。

引理1.2：如果函数Φ：ℝ→ℝ在定义域［0，∞）上一致连续。假设Φ（）d存在并且是有界的，于是可得当t→∞时，Φ（t）→0。

引理1.2的详细证明过程可参考文献［122］中的引理8.2。