1.2.2　有领航者的一致性

与无领航者一致性不同，有领航者（leader-following）一致性假设存在一个或者多个领航者（leader），其控制目标是实现所有个体与领航者一致。如果领航者为静态，则称为Regulation问题。如果领航者的状态是动态变化的，则称之为动态跟踪（dynamic tracking）问题。

regulation问题的控制目标为：

式中，c为常向量，动态跟踪问题的控制目标为：

式中，v₀（t）为时变信号。

当MAS系统中有多个领航者存在时，有领航者的一致性问题常被称为包含控制（containment control），其控制目标为：所有个体收敛到由领航者状态组成的闭包中［41］。

文献［1］基于Vicsek模型，利用“邻近原则”对一阶积分器系统的leader-following一致性问题进行了研究［42］，得到了分布式跟踪算法。Hong等［43］对切换网络拓扑下一阶积分器MAS系统，提出了一种用观测器来对领航者的速度进行估计的方法，并设计控制器如下：

　　（1-12）

式中，v_i通过相邻个体的信息进行更新，更新律为：

　　（1-13）

式中，γ<1，a₀为领航者的已知加速度信息。研究表明，在控制协议式（1-12）的作用下，系统式（1-1）可实现对领航者的动态跟踪。文献［44］针对离散一阶积分器的leader-following问题，给出了系统可控的充分条件，设计了如下分布式控制律：

　　（1-14）

同时，该文献得到了一个很有意思的结论：对于静态通信拓扑，如果领航者对每个个体施加相同的通信铰链增益（coupling weights），那么即使通信网络处于连通状态，系统一致性也无法实现［44］。而文献［45］和［46］也从图论的角度对该问题进行了研究。

一阶积分器系统的leader-following研究成果也被推广到了更为一般的线性系统=Ax_i+Bu_i中，例如文献［47］分别对静态通信拓扑和联合连通拓扑网络下的跟踪问题（其中leader的方程为=Ax₀）进行了研究，文中基于代数图论、Riccati不等式和LMI不等式等方法，对系统的收敛性进行了分析。另外，对于非线性一阶系统，文献［48］根据领航者在通信拓扑中位置的不同，将领航者分为两种不同的类型：“power”领航者和“knowledge”领航者，并对这两种领航者对MAS系统的影响进行了分析。文中对两种领航者的作用也进行了生动形象的解释：“power”领航者负责告诉其他个体“往哪儿去？”，而“knowledge”领航者负责告诉其他个体“怎么走？”。

对于二阶积分器系统的regulatioin问题，文献［49］基于空间剖分（sapce decomposition）技术，通过构造共同Lyapunov函数的方法，得到了联合连通（jointly-connected）网络拓扑下的一致性充分条件，并设计如下控制算法：

　　（1-15）

式中，。文献［50］首先将LaSalle定理进行了推广，基于此推广，对二阶积分器系统的动态跟踪问题进行了研究，设计了分布式控制器，但该控制器需要每个个体都知道领航者的速度信息，这对于分布式控制器的设计提出了较为苛刻的条件。为了克服这个问题，文献［51］利用类似文献［43］的方法，将一阶积分器系统动态跟踪问题的处理方法推广到了二阶积分器系统，设计控制器如下：

　　（1-16）

式中，k，l>0，a₀∈ℝp为领航者的加速度，观测量的更新律为：

　　（1-17）

不难发现，算法式（1-16）尽管不要求每个个体都知道领航者的速度信息，但要求各个体都知道领航者的加速度信息。文献［52］提出了一种基于有限时间滑模观测器的跟踪算法，该算法不要求每个个体都知道领航者的速度和加速度信息。针对二阶积分器系统，存在虚拟领航者时，其编队控制协议为：

　　（1-18）

式中，，δ_i为常向量，和分别为速度和加速度观测量，更新律分别为：

　　（1-19）

　　（1-20）

式中，α和β为正常数，虚拟领航者的位置和速度状态分别为x₀和v₀，，。如果个体i和领航者可以通信，a_i0>0，否则a_i0=0。

针对更为一般的非线性二阶系统［53］，如式（1-21）所示：

　　（1-21）

其领航者的动态方程为（t）=v₀（t），（t）=f［x₀（t），v₀（t），t］，f：ℝn×ℝn×ℝ+→ℝn为连续可微的非线性函数，c_i（t）为时变的控制增益，在领航者满足‖f（x₀（t），v₀（t），t）‖_∞≤ρ₃，∀t>0时，文献［53］利用自适应方法和变结构方法，对系统的跟踪问题进行了研究。在领航者满足‖f（x₀（t），v₀（t），t）‖_∞≤ρ₃，∀t>0时，MAS系统可实现动态跟踪。

针对MAS中存在多个领航者时，文献［54］首先提出一种基于“停-和-走”策略的控制协议，使得所有个体收敛到由领航者构成的凸多包形（converx polytope）中。接下来，文献［55-59］和［38］等分别针对线性一阶积分器、离散一阶积分器、连续二阶积分器系统和EL系统的包含控制问题进行了研究，得到了相关的结论。分析发现，包含控制问题实质上和单个leader的一致性问题是一样的，不同的是包含控制的目标是所有个体收敛到由领航者形成的凸包中，而后者要求收敛到领航者的状态。