1.2 薛定谔的氢原子
我们说方程（1.1）的解是n=84，意思是把n替换成84代入式子的两边，等式成立。同样，说方程（1.2）的解是a=23，b=12，意思是将它们代入式子后，两个等式均成立。于是，我们可以将方程的解归纳为如下概念。
概念1.3 方程的解（solution）是使得方程所述等式成立的对未知量的赋值。
无论是从问题1.1还是概念1.3的表述，我们都不难意识到：这样的赋值可能找不到，方程可能无解！比如下面这个方程：
x+1=0
一个小学一年级的学生肯定会说它无解，因为0已经是最小的数了，怎么可能有一个数加上1才等于它？然而，等到二年级老师教了负数后，他便会意识到，这个方程可以有解x=−1。不久，他又遇到了一个新的方程：
2x=−1
一个数的两倍肯定是个偶数呀，怎么可能等于−1呢？不急，到了三年级学了分数后，解就又有了，即
。可惜好景不长，很快又一个方程冒了出来：
x2=−1
好的，我读书再少，可任何数的平方都是非负的，这不会有错吧？！这个方程肯定没解！谁料，若他上到高中读了理科，便会学到一种叫“复数”的数。你说解不存在？好，我们引入一个符号i，规定它满足性质i2=−1。于是，现在i就是这个方程的解了！有点赖皮？别急，在后文我们将会看到，这个小小的i背后可是隐藏着非常深刻的抽象！
这还没完，前面方程的解都是一个个看得见摸得着直截了当的数，那下面这个方程呢？
我可以告诉你它的一个解是(5)
x=sin6◦
没错，是一个用所谓三角函数表示的值。没人规定方程的解一定要是“数”呀，它完全可以是一个表达式，而且可能超级复杂。就再拿我们的氢原子薛定谔方程（1.3）来说吧，它的解是（再强调一遍，这个例子超纲了，看得头疼就跳过！）：
其中，等号左边就是我们要求的未知函数ψ（r,θ,ϕ），但是你注意到没有，它有三个下标n,l,m，这表示我们不仅有一个解，而是有一堆解，每一个合法的（n,l,m）就标识了一个解。物理上，这三个数叫量子数（quantum number），它们的取值为
· n=1,2,3…
· l=0,1,2,…,n−1
· m=−l,…,l
所以，ψ1,0,0、ψ3,2,−2、ψ100,99,−99等都是解，它们描述了特定状态下的氢原子。等号右边自然给出了解的具体表达式，显然它不是一个简单的数。根号下是一些常数，e−ρ/2ρl是参量ρ的简单函数，也还好，而L和Y这两个人畜无害的字母可就复杂了。
是所谓广义拉盖尔多项式（generalized Laguerre polynomials）的一项，由上标2l+1与下标n−l−1标识。这个多项式的一般项还不是直接写出的，而是递归定义出来的：
所谓递归定义，就是说我们若想知道
，此时下标3不等于0或1，于是我们套用定义中的第三个式子，令α=3、k=2，发现
是由
和
算出来的。进而，我们去计算
和
，会发现它们又依赖于
和
。至此，我们不需要再循环重复了，因为这两项是由第一行和第二行显式定义出来的。很复杂了是不是？更复杂的来了。
是所谓的球谐函数（spherical harmonics），其一种表达式为
除了又一堆复杂的系数外，还冒出了一个东西Plm。它叫伴随勒让德多项式（associated Legendre polynomials）。它是怎么被定义的呢？既不是显式写出来，也不是递归定义的，而是用了一个取巧的办法——定义为另一个多项式的高阶导数(6)：
右边那个新的东西Pl（x）叫勒让德多项式（Legendre polynomials），是一个微分方程的解，显式写出来的话长成这个样子：
终于，到此为止，我们解释完了氢原子薛定谔方程的解（1.5）中的全部记号！我们用满足一定规则的数组标识无穷多组解，用到了加减乘除、根号、乘方、阶乘等复杂的代数计算，用到了递归定义与间接定义的多项式，用到了微积分中的求导……千言万语，汇成一句话(7)：
洞察1.4 方程的解可以非常复杂。
哦对了，说了半天“解”，那方程的“根”是啥？没啥，它就是解，二者是一回事，同义词。