2.3　你说得好有道理

如果“形式”这个概念对你来说是陌生的，那“逻辑”一词想必你再熟悉不过了。吵架的时候，我们经常会骂对方“你这个人怎么这么不讲逻辑！”一个人数学好似乎也天然与逻辑思维强联系在一起。真是这样吗？这张口闭口的“逻辑”到底是个啥呢？

为了回答这个问题，我们来仔细审视一下断言2.4即“没有分数的平方等于2”的证明。显然，我们都认同这段证明是成立的，是符合逻辑的。可是真的每一句话都经得住推敲吗？比如证明中有这么一句话：“m的平方是一个偶数，那么m必然也是一个偶数。”这是为什么呢？你可能会说这不是显然吗！但咱得以理服人呀。好在要证明这个结论并不困难。

断言2.15　如果一个数的平方是偶数，那么这个数肯定也是偶数。

证明　记这个数为p。若p是奇数，那么可设p=2t+1，其中t为一个自然数。于是p²=（2t+1）²=4t²+4t+1显然是奇数，与题设矛盾。故假设不成立，p一定是偶数。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　□

看起来没毛病吧，这是典型的高中证明题嘛。然而我又要问了，为什么我们可以设p=2t+1呢？你可能会立刻回答说：因为p是奇数，这正是奇数与偶数的定义呀！没错。可你想过没有，为什么这样子的定义是可行的呢？为什么我定义偶数形如2t，奇数形如3t²不可以呢？所以，p是奇数是可设p=2t+1的结果，而不是原因。我们之所以能够谈论奇偶，是因为自然数具有一种特殊的性质，使得我们能够将其一分为二并分别命名为奇数与偶数。

断言2.16　对任何自然数⁽⁶⁾a，存在一个自然数t，使得要么a=2t，要么a=2t+1。

证明　显然，0=2×0，故断言对a=0成立。假设断言对a=n成立。若n=2t，则n+1=2t+1；若n=2t+1，那么n+1=2t+1+1=2（t+1），这表明断言对a=n+1亦成立。由数学归纳法可知该断言对一切自然数成立。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　□

好的，这里用到了所谓数学归纳法（mathematical induction）。如果你没听过它也无妨，直观上来看，一个断言对0成立，且对n成立能够推出对n+1成立，那我们一个一个地推，终将推及对任何一个自然数都成立，直觉上没问题吧？可是，这又是为什么呢？诚然，对任何一个再大的有限数，我们都能在有限的步骤与时间内推导出断言对它成立，但凭什么我们能直接说这个断言对所有无穷个自然数都同时成立呢？

问题2.17　为什么可以使用数学归纳法？即为何若一个性质对0成立且其对n成立可推出其对n+1亦成立，那么该性质对所有无穷个自然数成立？

先按下不表，我们再来看一下断言2.4的证明。证明的最后我们说道“……矛盾，故假设错误，不存在这样的分数”，这是典型的通过反证法（proof by contradiction）来证明。可问题来了，这又是为什么可行呢？

问题2.18　为什么可以使用反证法？即为何若一个断言的否定导出矛盾，则原断言成立？

进而，什么又是“矛盾”呢？在断言2.4的证明中，我们先假设了“m和n不全都是偶数”，但是推理到最后推出了“m和n都是偶数”，便说这是一个“矛盾”。

概念2.19　若一个断言与其否定同时成立，则为一个矛盾（contradiction）。

我们都知道，“矛盾”一词来源于一个典故。说有个楚国人在卖兵器，吹嘘其盾曰“吾盾之坚，物莫能陷”，后又吹嘘其矛曰“吾矛之利，物无不陷”。围观群众中有多事者，问了一句“以予之矛，陷予之盾，何如？”瞬间场面就尴尬了。现在人们用“矛盾”来形容这种不可能同时成立的事情。那么问题来了，凭什么呢？

问题2.20　为什么一个断言与其否定不能同时成立？即为什么不能有矛盾？

还可以继续深究。我们一直只在谈论断言和它的否定，一个断言要么成立要么不成立，非黑即白，没有第三种可能吗？

问题2.21　为什么一个断言要么为真，要么为假，不可能有第三种情况？

你可能会说，这些都是显然的啊！不然呢？这不抬杠吗？！没错，上述问题与概念都是不言自明的，都是我们生而为人与生俱来的，去怀疑它们似乎毫无意义。我们不停地问为什么与凭什么，目的当然不是想去质疑并推翻我们天然的理性与直觉，恰恰相反，我们是想通过参透这些“为什么”来建立一套理论，以把握这些我们天然具有的推理能力，使得我们能够分析、理解甚至计算我们的思维，并用这个理论来回答上面的问题，以及解释更多我们太过习以为常以至毫不自知的与生俱来的能力。我们如此刨根问底吹毛求疵，只是为了找寻深藏于表象背后的那驱动着其运作的机制，以作为这套理论的基石。而这套理论，便是数学中所谓的逻辑。

概念2.22　数学中，逻辑（logic）是对人类演绎推理的形式化。

可这是何必呢？为什么我们要把握、解释、计算我们的思维呢？目的可能有很多，比如从实用的角度来说，对我们思维的抽象与形式化正是现代计算机的理论基础。但我想这还不是最主要的目的，也并非原动力，而是逻辑理论收获的伟大成果。我们试图把握我们的思维，其最主要的目的，是为了确保我们推理得到的结论是有效、可靠且永恒的。为什么两千多年前的毕达哥拉斯定理至今仍然成立？并不是因为毕达哥拉斯是名人、是伟人，而是因为那段两千多年前对它的证明如今依旧有效。两千年后它还会有效吗？我不知道，但我相信会的，数学家们也相信会的。我们相信有一种永恒的东西隐藏在那段推理的背后，使得其能够穿越历史的尘埃，免疫时空的混沌，自诞生起便永不失效。那个永恒的东西便是我们正在试图构建的逻辑。它是毫无意义的纯粹形式，基于它得到的结论无关乎任何个体的经验，无关乎时间，无关乎空间，一经存在，永不湮灭⁽⁷⁾。

接下来，就让我们怀揣上面那些问题，开始形式化我们的演绎推理！不过这里冒出了两个新短语：“形式化”与“演绎推理”，我们先来简单聊聊它们。