6.2　提出不确定性原理

海森堡将他的著名论文寄给杂志的同时，也寄了一份给玻恩，并评论说他写了一篇疯狂的论文，请玻恩阅读并提出建议。玻恩对海森堡论文中提出的计算方法感到十分惊讶，但随后他意识到这种方法与数学家很久以前发明的矩阵计算是完全对应的。海森堡的“表格”，就是矩阵！因此，玻恩与他的一个学生约尔当一起，用矩阵语言重建了海森堡的结果。再后来，海森堡、玻恩、约尔当三人又共同发表了一篇论文，所以最终，这“一人、二人、三人”三篇论文，为量子力学的第一种形式——矩阵力学，奠定了基础。这里边还有狄拉克的工作，将矩阵与泊松括号相联系。

新量子论的发展还有另外一条线，完全独立于海森堡的矩阵力学。那是爱因斯坦注意到德布罗意的物质波理论之后，推荐给薛定谔引起的。薛定谔从波动的角度，用微分方程建立了量子力学。

微分方程是物理学家们喜欢的表述形式，牛顿力学、麦克斯韦方程都用它。薛定谔方程描述的波动图像也使物理学家们感觉亲切直观、赏心悦目，虽然后来不知如何解释波函数而颇感困惑，但还是喜欢它，而讨厌海森堡的枯燥和缺乏直观图景的矩阵。

因此，薛定谔方程名噪一时，大家几乎忘掉了海森堡的矩阵。这使得年轻气盛、好胜心极强的海森堡很不以为然。即使薛定谔等人后来证明了，薛定谔方程与矩阵力学在数学上是完全等效的，海森堡仍然耿耿于怀。天才终归是天才，不久后（1927年），海森堡便抛出了一个“不确定性原理”，震惊了物理界。

如前所述，海森堡将原子中电子的位置x（t）及动量p（t）用“表格”，也就是用矩阵来描述，但矩阵的乘法不同于一般两个“数”的乘法。具体来说，就是不对易：x（t）×p（t）不等于p（t）×x（t）。

或简单地写成：xp≠px。将这种不相等的特性用它们（x和p）之差表示出来，叫作对易关系：

后来又从对易关系再进一步，可写成如图6-3（a）那种不等式的形式，称之为不确定性原理。

图6-3　海森堡的不确定性原理

（a）不确定性原理；（b）不同频率光波测量粒子位置；（c）直观解释

根据海森堡的不确定性原理，对于一个微观粒子，不可能同时精确地测量出其位置和动量。将一个值测量得越精确，另一个值的测量就会越粗略。如图6-3（a）所示，如果位置被测量的精确度是Δx，动量被测量的精确度是Δp的话，两个精确度之乘积将不会小于，即，这儿的是约化普朗克常数。精确度是什么意思？精确度越小，表明测量越精确。如果Δx等于0，说明位置测量是百分之百的准确。但是因为不确定原理，Δp就会变成无穷大，也就是说，测定的动量将在无穷大范围内变化，亦即完全不能被确定。

海森堡讨厌波动力学，但也想要给自己的理论配上一幅直观的图像，他用了一个直观的例子来解释不确定性原理，以回应薛定谔的波动力学。

如何测量粒子的位置？我们需要一定的实验手段，例如，可以借助于光波。如果要想准确地测量粒子的位置，必须使用波长更短、频率更高的光波。在图6-3（b）中，画出了用两种不同频率的光波测量粒子位置的示意图。图6-3（b）上面的图中使用波长比较长的光波，几乎探测不到粒子的存在，只有光波的波长可以与粒子的大小相比较[如图6-3（b）的下图所示]的时候，才能进行测量。光的波长越短，便可以将粒子的位置测量得越准确。于是，海森堡认为，要想精确测量粒子的位置，必须提高光的频率，也就是增加光子的能量，这个能量将作用在被测量的粒子上，使其动量发生一个巨大的改变，因而，便不可能同时准确地测量粒子的动量，见图6-3（c）。

如上所述的当时海森堡对不确定原理的解释，是基于测量的准确度，似乎是因为测量干预了系统而造成两者不能同时被精确测量。后来，大多数的物理学家对此持有不同的看法，认为不确定性原理是类波系统的内秉性质。微观粒子的不确定性原理，是由其波粒二象性决定的，与测量具体过程无关。

事实上，从现代数学的观念，位置与动量之间存在不确定性原理，是因为它们是一对共轭对偶变量，在位置空间和动量空间，动量与位置分别是彼此的傅里叶变换。因此，除了位置和动量之外，不确定关系也存在于其他成对的共轭对偶变量之间。例如，能量和时间、角动量和角度之间，都存在类似的关系。