第二节 离散傅里叶变换及频域采样定理

为了对离散时间信号x（n）进行频域分析，要将时域序列转换成等价的频域表达式。本章第一节介绍了离散时间信号x（n）的傅里叶变换用X（e^jω）表示，而X（e^jω）是关于自变量ω的连续函数，不能直接用于数字设备。本节将研究X（e^jω）的离散表现形式，从而引入离散傅里叶变换（DFT）。DFT是一种对离散时间信号进行频域分析的有力计算工具。

一、频域采样：离散傅里叶变换

由本章第一节内容可知，长度为M（N＞M）的序列x（n），它的傅里叶变换可定义为

由于X（e^jω）是周期为2π的函数，在一个周期0≤ω≤2π内，对X（e^jω）以等间隔ω=2π/N均匀抽样，第k个频率为ω_k=2πk/N（0≤k≤N-1），于是

X（k）（0≤k≤N-1）表示在X（e^jω）的一个周期内等间隔取出N个样本，这个过程称为频域采样。X（k）称作x（n）的离散傅里叶变换（DFT）。

设W_N=e^-j2π/N，称为旋转因子。则式（3-32）可简化为

其中，N也称作DFT的变换区间长度，且N＞M，它的逆变换（IDFT）为

下面证明式（3-34）：

由于

因此

值得注意的是，上述证明过程是在满足条件N＞M的前提下进行的。

例3-8 计算一个有限长正弦序列的DFT。已知x（n）=cos（2πrn/N），0≤n≤N-1，r是区间0≤r≤N-1内的一个整数，求x（n）的DFT。

解：

将上式代入式（3-33）中，得

由于

所以

有时候X（e^jω）的频谱直接以它的样本X（k）的形式给出。要想从X（k）恢复X（e^jω），需要求出X（k）的内插公式，这里依然假设N＞M，求解过程如下：

由式（3-1）和式（3-33）可得

式（3-35）中

令

因此，式（3-35）可表示成

式（3-37）称为X（k）恢复出X（e^jω）的内插公式，其中ϕ（ω）必须满足下面关系式：

二、频域采样定理

上述内容已证明由X（k）经过傅里叶逆变换完全恢复出原信号x（n），但它是有前提条件的，即变换区间的长度N不小于原来信号的长度M。如果信号无限长或变换区间的长度与信号的长度不满足N＞M这个条件，是否还可以完全恢复出原来的信号呢？

设原信号为x（n），它的离散傅里叶变换为X（e^jω），对X（e^jω）以ω=2π/N等间隔取样，第k个样本的频率为ω_k=2πk/N，0≤k≤N-1。这N个样本可以看作N点的离散傅里叶变换，用Y（k）表示。Y（k）的N点IDFT是长度为N的序列y（n），0≤n≤N-1。现在讨论y（n）与x（n）之间的关系。

由式（3-1）可知

Y（k）的N点IDFT为

将式（3-40）代入式（3-41）中，得到

式中

因此，式（3-42）可写成

式（3-42）表示，y（n）是由原序列x（n）以N为周期进行延拓的结果。试想，如果原序列长度为M，且N＞M，则x（n）的一个周期内的样本与相邻周期的样本之间不会发生重叠，对于0≤n≤N-1，有y（n）=x（n）。但是，如果N≤M，x（n）的相邻周期的样本之间会重叠，这时，在一个周期内y（n）≠x（n），从而y（n）无法恢复出x（n），这就是频域采样定理。

下面用一个MATLAB的例子说明上述问题。

例3-9 设x（n）是长度为10的序列，在区间0≤n≤9内定义为

x（n）={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10|n=0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}

现在对x（n）进行16点DFT和4点DFT，绘出两种情况下的频谱图X₁（k）和X₂（k）。然后求X₁（k）和X₂（k）的IDFT，分别用y₁（n）和y₂（n）表示。比较y₁（n）和y₂（n）与原信号x（n）之间的关系，以此验证频域采样定理。

解：MATLAB参考程序如下：

运行结果如图3-3所示。

由图3-3可以看出，16点的DFT恢复出来的信号与原信号一样，只是后面补充了6个零，而4点的DFT恢复出来的信号与原信号不同，从而验证了频域采样定理。即当频域采样的点数N大于信号的长度时，其恢复出来的信号才与原信号相同。