第一节 离散信号的傅里叶变换
一、定义
连续时间非周期信号的频域分析，是对其进行傅里叶变换，同样，离散时间非周期信号（采样信号）的频域分析，也可进行傅里叶变换。
设原信号为x（t），采样信号为x（n）=x（t）|t=nT，则x（n）的傅里叶变换定义为
式（3-1）成立的前提条件是X（ejω）绝对可和，即|X（ejω）|＜∞。
因为
所以，|X（ejω）|＜∞等价于
其傅里叶逆变换为
式（3-1）和式（3-2）组成了序列x（n）的傅里叶变换对。表3-1列举了一些常用序列的傅里叶变换，这里仅举几例说明。
表3-1 常用离散信号的傅里叶变换
（续）
例3-1 求单位采样序列δ（n）的傅里叶变换。
解：
例3-2 求指数序列anu（n）的傅里叶变换，其中|a|＜1。
解：
二、性质
离散时间信号的傅里叶变换性质有很多，这里对它们作简单介绍，并归纳在表3-2中。
（一）周期性
X（ejω）具有隐含的周期性，通过式（3-3）可以证明。
利用公式e-j2πk=1，可证明X（ejω）是关于ω=2πk的周期函数。通常对X（ejω）的研究只取一个周期内的数据，把ω∈[-π，π]称作主值区间。
表3-2 离散时间信号傅里叶变换的性质
（续）
（二）线性性质
若序列x1（n）和x2（n）的傅里叶变换分别为X1（ejω）=FT[x1（n）]和X2（ejω）=FT[x2（n）]，则序列x（n）=ax1（n）+bx2（n）（a，b是任意常数）的傅里叶变换X（ejω）等于a X1（ejω）+b X2（ejω），即
证明略。
（三）时间反转定理
若y（n）=x（-n），则y（n）的傅里叶变换为X（e-jω），即
证明如下：
（四）时移定理
延时序列y（n）=x（n-n0）的傅里叶变换为
，n0为整数，即
证明如下：
例3-3 求序列y（n）=anu（n）-anu（n-M）的傅里叶变换。
解：y（n）=anu（n）-anu（n-M）=anu（n）-aM·an-Mu（n-M）
查表3-1可知anu（n）的傅里叶变换为
，又由时移定理可得an-Mu（n-M）的傅里叶变换为
。利用线性性质，y（n）的傅里叶变换为
（五）频移定理
序列
的傅里叶变换为
，即
证明方法可参考时移定理。
例3-4 设x（n）=cos（πn/2），y（n）=ejπ/（4n）x（n），用MATLAB程序验证频移定理。
解：MATLAB参考程序如下：
运行结果如图3-1所示。
由图3-1中的幅度和相位图可知，y（n）的傅里叶变换相对于x（n）的傅里叶变换向右平移了π/4，由此证明了频移定理。
例3-5 求序列y（n）=（-1）nanu（n）的傅里叶变换，其中a＜1。
解：可将序列y（n）变形为y（n）=ejπnx（n）的形式，其中x（n）=anu（n）。由例3-2的结论，再根据频移定理，y（n）的傅里叶变换为
图3-1 例3-4的运行结果
（六）频域微分定理
序列y（n）=nx（n）的傅里叶变换为
，即
证明略。
例3-6 求序列y（n）=nanu（n）的傅里叶变换。
解：根据频域微分定理可得
（七）卷积定理
设y（n）=x1（n）*x2（n），则Y（ejω）可表示成
证明：由卷积的定义可知：
对上式两边进行傅里叶变换，得
将k=n-m代入上式，得
（八）调制定理
设y（n）=x1（n）·x2（n），则Y（ejω）可表示成
证明略。
（九）帕塞瓦尔定理
证明略。
（十）对称性
在学习对称性之前，先介绍共轭对称序列和共轭反对称序列的定义。
设序列xe（n）满足下列表达式：
x e（n）称作共轭对称序列。如果将其写成实部与虚部相加的形式，即
将式（3-13）中的n用-n代替，并取共轭，得
将式（3-13）和式（3-14）代入式（3-12）中，得
以上两式表明，共轭对称序列的实部为偶函数，虚部为奇函数。类似地，可得出共轭反对称序列[用xo（n）表示]的定义及性质。
满足式（3-17）的序列称为共轭反对称序列。式（3-18）和式（3-19）表明，共轭反对称序列的实部为奇函数，虚部为偶函数，这与共轭对称序列正好相反。
下面研究一般序列与共轭对称序列和共轭反对称序列之间的关系。
1.将序列写成共轭对称部分和共轭反对称部分相加的形式
一个序列通常可用共轭对称序列与共轭反对称序列之和表示，即
将式（3-20）中的n用-n代替，并取共轭，得到
对照式（3-20）与式（3-21），有
将式（3-22）和式（3-23）分别进行傅里叶变换得
式中，X（ejω）为序列x（n）的傅里叶变换；XR（ejω）和XI（ejω）分别为X（ejω）的实部和虚部。
式（3-24）和式（3-25）说明，如果一个序列写成共轭对称和反对称部分相加的形式，则共轭对称部分的傅里叶变换为原来序列傅里叶变换的实部，共轭反对称部分的傅里叶变换为原来序列傅里叶变换的虚部乘以j。
2.将序列写成实部和虚部相加的形式
如果将序列x（n）写成x（n）=xr（n）+jxi（n）的形式，实部和虚部的傅里叶变换分别为
可以证明式（3-26）具有共轭对称的性质，式（3-27）具有共轭反对称的性质，参照时域的共轭对称性，定义
式（3-28）和式（3-29）说明，如果一个序列写成实部和虚部相加的形式，则其实部的傅里叶变换Xe（ejω）具有共轭对称的性质，虚部与j相乘的傅里叶变换Xo（ejω）具有共轭反对称的性质。
例3-7 设x（n）=sin（πn/2），-5≤n≤10，用MATLAB程序验证该实序列的对称性质。
解：MATLAB参考脚本如下：
运行结果如图3-2所示。
由图3-2可看出，如果将序列x（n）写成共轭对称部分和反对称部分相加，其共轭对称部分的傅里叶变换（见图3-2c）等于x（n）的傅里叶变换的实部（见图3-2a），用Re（X）表示。其共轭反对称部分的傅里叶变换（见图3-2d）等于x（n）的傅里叶变换的虚部（见图3-2b），用Im（X）表示。
图3-2 例3-7的运行结果