2.1　线性规划问题

一旦安装了前面提到的JuMP包和优化求解器，我们就能使用Julia很容易地解决LP和MILP问题了。例如，下面的这个LP问题。

max x1+2x2+5x3

其约束条件如下。

−x1+x2+3x3≤−5

x1+3x2 −7x3≤10

0≤x1≤10

x2≥0

x3≥0

使用Julia和JuMP，我们可以将其写成下面的代码。

虽然上面的代码非常容易理解，这里还是要解释一下。我们首先声明了一个优化模型的占位符。

并在代码中表明我们想使用GLPK优化求解器，这里称模型为m，之后声明3个变量。

在这段代码中，我们使用JuMP包中的宏@variable。在Julia中，宏为你做重复性的工作。这有些类似于函数，但与之有一些重要的不同之处。具体详见官方文档（参考资料[23]）。

我们用另一个宏@objective来设置对象。

并用宏@constraint增加两个约束条件。

注意：constraint1和constraint2是约束条件的名称，这些名称将对获取对应的对偶变量值很有用。

现在对优化问题已经做好了准备。现在就可以打印优化模型，并检查它是怎么写的了，代码如下所示。

解决优化问题，如下所示。

解决了优化问题后，我们可以使用JuMP.value()函数来获取最优条件下的变量值。

在上述代码中，println()是在屏幕上将一些文本输出为单独的一行函数的。如果你不想这样，可以使用print()函数。

要想获取最优对偶变量的值，请调用JuMP.shadow_price()，其对应的约束名称如下所示。

注意：这里还定义了JuMP.dual()函数。但是，JuMP.dual()函数结果的符号不会如你所愿，因为它遵循圆锥曲线二元性的原理。对线性优化问题，JuMP.shadow_price()像大多数标准参考书那样提供了对偶变量值。具体可参考JuMP文档（参考资料[24]）和MathOptInterface文档（参考资料[25]）中相关的讨论。

在我的机器上，Gurobi的输出如下所示。

如果你想使用Gurobi优化器而不是GLPK，请使用下面的输入。

如果使用CPLEX，则用下面的输入。

JuMP包还支持很多其他的优化求解器，具体见JuMP手册（参考资料[26]）。