§2.6 平面任意力系的平衡
1.平面任意力系的平衡条件
由平面任意力系向一点简化的最后结果可知，当力系的主矢等于零时，力系无移动效应；再当力系的主矩等于零时，力系无转动效应。因此，平面任意力系平衡的必要与充分条件是：力系的主矢和力系对任一点的主矩都等于零。即
2.平面任意力系的平衡方程
将平面任意力系的平衡条件用代数方程表达，即为平衡方程。同一条件可以用以下三种不同形式的方程表达。
（1）平面任意力系平衡方程的基本形式。由式（2.15）和式（2.16）可知，式（2.19）成立时，可得下列方程式
式（2.20）称为平面任意力系平衡方程的基本形式。此式表明平面任意力系平衡的解析条件为：力系中所有各力在两个任选的坐标轴上的投影代数和分别等于零，以及力系中各力对于平面内任一点矩的代数和也等于零。
式（2.20）方程组中前两个方程称为投影方程，第三个方程称为力矩方程。这三个方程相互独立，因此，用它们求解平面任意力系的平衡问题，可以并且最多只能求解三个未知量。
（2）平面任意力系平衡方程的二力矩形式。将式（2.20）中两个投影方程中的某一个用力矩式方程代替，便可得到
附加条件：A、B两点的连线不得垂直于投影轴x轴（或y轴），此式称为平面任意力系平衡方程的二力矩式。
为什么式（2.21）也能满足力系平衡的必要和充分条件呢？这是因为，如果两个力矩方程成立，则排除了力系合成一个力偶的可能性。显然，力系最大可能是与过A、B两点连线的一个力等效，如图2.39所示；若选取的投影轴不与A、B两点连线垂直，当力系在满足投影方程∑Fx=0时，这就完全排除了力系简化为过A、B两点连线的力的可能性。故所研究的力系为平衡力系。
图2.39
（3）平面任意力系平衡方程的三力矩形式。若将式（2.20）中的两个投影方程都用力矩式方程代替，便可得到
附加条件为：A、B、C三点不共线，此式称为平面任意力系平衡方程的三力矩式。若前两个力矩方程都成立，排除了力系合成力偶的可能性；力系最大可能是与过A、B两点连线的一个力等效；若选取的第三个矩心C不与A、B两点共线，并力系对点C的主矩等于零时，则就完全排除了此力存在的可能性。故所研究的力系也必为平衡力系。
上述式（2.20）～式（2.22）三组方程为不同形式的平衡方程，都可以用来求解平面任意力系的平衡问题。在实际应用中，选择哪种形式的平衡方程，须根据具体条件确定。一般情况下，为简化计算过程，力求在一个方程中只包含一个未知量，以避免解联立方程，因此，投影轴尽可能选取与较多的未知力的作用线相垂直，而矩心宜取在较多未知力的交点处。
必须指出，对于平面任意力系作用的单个物体的平衡问题，只能写出3个独立的平衡方程式，任何第四个平衡方程式都不是独立的，而是前3个方程的线性组合。因此，第四个平衡方程不能用来求解新的未知量，但可以用来校核结果。故在求解平面任意力系的平衡问题时，对于一个物体最多只能求解3个未知量。
例题2.8 如图2.40（a）所示梁AB，作用均布载荷q=10kN/m、集中力F=20kN、集中力偶的力偶矩为M=20kN·m，梁的自重不计。试求A、B处的支座约束力。
解：1.选梁AB为研究对象，作受力图如图2.40图（b）所示。
图2.40
2.建立坐标系，列平衡方程并求解。
3.校核：
以上计算无误。
例题2.9 起重机重FG1=10kN，可绕铅直轴AB转动；起重机的挂钩上挂一重为FG2=40kN的重物，如图2.41（a）所示。起重机的重心C到转轴的距离为1.5m，其他尺寸如图所示。求止推轴承A和向心轴承B对起重机的约束力。
解：1.取起重机为研究对象，作受力图如图2.41（b）所示。它所受的主动力有FG1和FG2。止推轴承A处有两个约束力FAx、FAy，向心轴承B处只有一个与转轴垂直的约束力FB。
2.取坐标系如图2.41（b）所示，列平衡方程，即
图2.41
3.校核：
以上计算无误。
3.平面平行力系的平衡方程
若多个力作用于同一平面内，且各力作用线相互平行，则该力系称为平面平行力系，如图2.42所示。若取直角坐标系中y轴与力系中各力作用线平行，则各力在x轴上的投影均为零，式（2.20）中∑Fx=0恒成立。因此，平面平行力系平衡时只需满足两个平衡方程，即
图2.42
式（2.23）表明，平面平行力系平衡的充分和必要条件为：力系中各力在与力的作用线不垂直的y轴上投影代数和等于零，且各力对平面内任一点O之矩的代数和也等于零。
与平面任意力系相同，平面平行力系的平衡方程也有二力矩式，即
附加条件为：各力作用线与A、B两点连线不得平行。
由于式（2.23）和式（2.24）独立方程的数目都是两个，最多可求解两个未知量。
例题2.10 塔式起重机简图如图2.43所示。已知机架重量FG1=500kN，重心C至右轨B的距离e=1.5m；起吊重量FG2=250kN，其作用线至右轨B的最远距离l=10m；两轨间距b=3m。为使起重机在空载和满载时都不致倾倒，试确定平衡锤的重量FG3（其重心至左轨A的距离a=6m）。
图2.43
解：为了保证起重机不翻倒，须使作用在起重机上的主动力FG1、FG2、FG3和约束力FA、FB所组成的平面平行力系满足平衡条件。
1.取满载时起重机倾倒的临界状态为对象。满载时起重机可能绕B点向右倾倒。开始倾倒的瞬间，左轮与轨道A脱离接触，这时，FA=0。满足临界状态平衡条件的平衡锤重为所必须的最小值FG3min。于是由平衡方程得
解得
2.取空载时起重机倾倒的临界状态为对象。因空载时FG2=0，若平衡锤太重，起重机可能绕A点向左倾倒。在临界状态下，FB=0。满足临界状态平衡条件的平衡锤重将是所允许的最大值FG3max。于是由平衡方程得
求得
综上所述，为保证起重机在空载和满载时都不倾倒，平衡锤的重量应满足
思考题
8.如图2.44所示，在三铰刚架的D处作用一水平力F，求A、B支座约束力时，水平力F是否可沿作用线移至E点？为什么？
图2.44
图2.45
9.平面任意力系的平衡方程有三种形式，每一种形式有三个平衡方程，那么一个平面任意力系就可以列出九个平衡方程，则可求解九个未知量，这种说法对吗？为什么？
10.如图2.45所示作用于刚体上虽然是平衡的平行力系，只要设置的坐标轴不与力作用线平行，仍然可列两个投影平衡方程∑Fx=0、∑Fy=0和一个矩平衡方程∑MO（F）=0。这三个方程是独立的，因此可解三个未知量，这种判定成立吗？为什么？
习题
14.如图2.46所示均质球重FG、半径为r，放在墙与杆AC之间，杆长为l，其与墙的夹角为α，杆AC的A端用水平绳子AB拉住。不计杆重，求绳索的拉力，并问α为何值时绳的拉力为最小？
图2.46
图2.47
15.如图2.47所示雨篷结构，水平梁AB受均布荷载q=12kN/m作用，B端用斜杆BC拉住。求铰链A、C处的约束力。
16.求如图2.48所示各梁的支座约束力。
图2.48
17.求如图2.49所示刚架的支座约束力。
图2.49
图2.50
18.一桁架桥如图2.50所示。桁架各杆的自重不计。试求A、B的支座约束力。