§2.5 平面任意力系向一点简化
1.力系的主矢与主矩
（1）力系的主矢。刚体上作用有n个力F1，F2，…，Fn组成的平面任意力系，如图2.31 （a）所示。力系中各力的矢量首尾相接，可得力矢多边形，由力矢多边形起点向末点所作矢量
称为该力系的主矢，如图2.31 （d）所示。力系的主矢
等于力系中各力的矢量和 （几何和），即
由合矢量投影定理可得力系的主矢在平面直角坐标系中的投影为
图2.31
力系主矢的大小和方向为
式中：α为主矢方向与x轴所夹锐角，主矢指向由∑Fxi、∑Fyi的正负号判定。
显然，力系的主矢反映了力系的移动效应。
（2）力系对某点的主矩。力系中各力对作用平面内某一点O取矩的代数和称为力系对该点的主矩MO，即
显然，力系的主矩一般与对应的矩心O有关，故必须指明力系是对哪一点的主矩。力系的主矩反映力系的转动效应。
2.平面任意力系向一点简化
力系的主矢反映了力系对刚体的移动效应，力系的主矢就像一个力的力矢一样。力系对某点的主矩，反映了力系对刚体绕这点的转动效应，力系的主矩就像一个力对某点的力矩一样。由力的平移定理可知，已知一个力的力矢和力对某点之矩，可将这个力平移到矩心，但要附加一个与力矩等矩的力偶。因此，将力系的主矢安置在矩心处转变为一个力，在平面内作用与主矩等矩的一个力偶，这个力和力偶与原力系等效，如图2.31（c）所示。若从另一角度分析，也可得到相同的结果。将如图2.31（a）所示力系中各力向所定的简化中心点O平移，可得一个平面汇交力系和一个平面力偶系，如图2.31（b）所示；再将汇交力系合成一个作用于点O的一个合力，将平面力偶系合成一个合力偶，即得图2.31（c）所示结果。
3.平面任意力系的简化结果讨论
只要求出力系的主矢和力系对某点的主矩后，就抓住了力系的本质；由力系的主矢
和主矩MO就可推知力系的等效性。
（1）当
，MO=0。因力系主矢等于零，力系无移动效应；力系主矩等于零，力系也无转动效应。所以，力系是平衡力系。
（2）当
，MO≠0。因力系主矢等于零，力系无移动效应；力系主矩不等于零，力系有转动效应。所以，力系是与一个力偶等效。即此力系的合成结果是一力偶，对任一点的转动效应相同，与矩心的选择无关。
（3）当
。因力系主矢不等于零，力系有移动效应，所以，力系与一个力FR等效，此力作用在距简化中心点O的
距离处。显然，当主矩等于零 （MO=0）时，此力FR作用在简化中心O处，如图2.32 （a）所示；当主矩大于零 （MO＞0）时，主矩为逆时针转向，此力FR在简化中心点O一侧的顺转区，如图2.32 （b）所示；当主矩小于零 （MO＜0）时，主矩为顺时针转向，此力FR在简化中心点O一侧的逆转区，如图2.32 （c）所示。由以上情况可知，只要力系主矢
不为零，则无论主矩MO是否为零，最终可将原力系合成为一个力FR。
图2.32
综上所述，平面任意力系简化的最后结果（即力系的合成结果）：或者是一个合力，或者是一个合力偶，或者平衡。
4.平面任意力系简化实例分析
（1）固定端支座约束力分析。图2.33（a）所示梁的一端完全固定在墙体内，这种约束称为固定端支座。应用平面任意力系的简化理论，对平面固定端支座约束力系进行简化分析。固定端支座对物体的作用，是在接触面上作用了一群约束力，在平面问题中，这些力为一个平面任意力系，如图2.33（b）所示。将这群力向作用平面内A点简化，得到一个力和一个力偶，如图2.33（c）所示。一般情况下，这个力的大小和方向均为未知，可用两个正交分力来代替。因此，在平面力系情况下，固定端支座的约束力可简化为两个正交约束力FAx、FAy和一个约束力偶MA，如图2.33（d）所示。固定端支座的工程结构简图如图2.33（e）所示。
图2.33
（2）线分布荷载的简化。若力分布于物体的表面上或体积内的每个点，则称此力系为分布力。例如屋面上的风压力，水坝受到的静水压力以及梁的自重等。在进行计算时，将杆件用其轴线表示，如梁所受的重力则简化为沿梁轴线分布的分布力，称此荷载为线分布荷载。每单位长度上所受的力，称为荷载集度，并以q表示，其单位为N/m。图2.34（a）所示为三角形分布荷载，对此线分布荷载进行简化。
图2.34
首先计算力系的主矢。选取坐标系如图2.34所示，微段长度dx上的荷载大小为dF=q（x）dx；根据相似三角形性质，可得分布荷载集度函数
，则有dF=
。主矢在两轴上的投影分别为
主矢的大小为
主矢的方向铅直向下。
再计算力系对O点的主矩。选取O为简化中心，因为
，所以有
最后讨论力系的等效结果。因为
，MO≠0，所以力系可简化为一个合力FR，合力的大小为
合力作用线距简化中心距离为
简化结果如图2.34（b）所示。
应注意到，式（2.17）中的合力大小恰好等于三角形分布荷载图的面积；式（2.18）中d恰好为该荷载图的形心横坐标。同理，可得一般线分布荷载的简化结果如下：一个线分布荷载，可简化为一个合力，合力的大小等于该荷载图的面积，合力作用线必通过荷载图的形心，合力指向与分布荷载指向一致。
思考题
6.平面汇交力系向汇交点以外一点简化，其结果可能是一个力吗？可能是一个力偶吗？可能是一个力和一个力偶吗？
图2.35
7.如图2.35所示刚体上A、B、C三点分别作用三个力F1、F2、F3，各力方向如图2.35所示，各力大小恰好与三角的形边长成正比例。问此力系是否平衡？为什么？
习题
11.已知平面任意力系中各力大小分别为F1=50N、F2=60N、F3=50N和F4=80N，各力方向如图2.36所示，各力作用点的坐标依次是A1（20，30）、A2（30，10）、A3（40，40）和A4（0，0），坐标单位是mm，求该力系的合力。
12.水坝受自身重量及上下游水压力作用，如图2.37所示（按坝长1m考虑）。试将此力系向坝底O点简化，求其主矢、对O点的主矩和力系合力的大小、方向、作用线位置，并画出合力。
13.钢筋混凝土构件如图2.38所示，已知各部分的重量为FG1=2kN，FG2=FG4=4kN，FG3=8kN。试求这些重力的合力。
图2.36
图2.37
图2.38