2.2 单自由度结构的地震反应_土工抗震-QQ阅读男生玄幻网

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2.2 单自由度结构的地震反应

2.2.1 单自由度地震运动方程

为了抗御地震的破坏作用，需要了解建筑物及其地基在地震作用下的振动反应过程，这是一个动力学问题。为了叙述方便，先讨论单质点系的地震反应是有必要的。

为了研究单自由度弹性体系的地震反应，首先要建立结构体系在地震地面运动作用下的运动方程。单自由度（单质点）弹性体系指可将结构参与振动的全部质量集中于一点，用无重量的弹性直杆支承于地面上的机构。如图2 3（a）为单自由度体系在地震作用下的动力计算简图，其基本假定如下。

··

（1）地面运动水平加速记录δ

g（t）代表地震时地面运动过程。

（2）地基为一刚性盘体不产生转动，各点的水平运动带动建筑物基础一起运动，于是引起上部结构的振动，从而使质点产生位移、速度和加速度。图23表示单自由度弹性体系在地震时地面水平运动分量作用下的变形情况。其中δ_g（t）表示水平位移，它是时间t的函数，它的变化可从地震时地面运动实测记录求得。δ（t）是质点相对地面的相对弹性变位或相对位移反应，它也是时间t的函数，是待求的未知量。

图23 单自由度体系动力计算简图

为了确定当地面水平位移按δ_g（t）的规律运动时，单自由度弹性体系的相对位移反应δ（t），我们首先建立运动方程并讨论其求解方法。

图2 3所示的是一个理想的单自由度体系，现取质点m为隔离体[图2 3（b）]，由结构动力学可知，作用在它上面有三个力：弹性恢复力、阻尼力和地震惯性力。

（1）弹性恢复力S。

它是使质点从振动位置回到平衡位置的力，是由弹性杆的变形而产生的，其大小与质点m的相对位移δ（t）成正比。

S=-kδ（t）

（2 1）

式中 k———强性直杆的刚度，表示质点发生单位位移时在质点处所施加的力，负号表示

恢复力的指向总是指向平衡位置与位移的方向相反。

（2）阻尼力R。

阻尼力是指使结构的振动逐渐衰减的力。结构在振动过程中，由于结构构件在连接处的摩擦、材料的内摩擦、各构件接头、地基及其附近土壤的摩擦，空气、液体等介质的阻力等原因，将使结构振动逐渐衰减，按照黏性阻尼理论，阻尼力与质点速度成正比。R=-cδ

（t）

（2 2）

式中 c———阻尼系数；δ（t）———质点的速度，负号表示阻尼力的方向与质点运动速度的方向相反。

（3）惯性力I。

惯性力是质点的质量m与绝对加速度[δ（t）+δ（t）]的乘积。

I=-m[δ（t）+δ（t）]

（2 3）

负号表示惯性方向与质点加速度方向相反。

根据达朗贝尔原理，物理运动在任一瞬时，作用在物体上的外力和惯性力相互平衡，所以-m[δ（t）+δ（t）]-cδ（t）-kδ（t）=0

（2 4）mδ（t）+cδ（t）+kδ（t）=-mδ（t）

（2 4a）

上式就是单质点体系地震作用下的运动方程。质点m在地震时地面加速度δ（t）作用下的振动效应相当于在质点上作用一个动力荷载“-mδ（t）”。如图2 3（c）所示，产生的是受迫振动。

由式（2 4a）得δ（t）+mcδ（t）+mkδ（t）=-δ（t）

（2 4b）

令ω²=mkξ=2ωcm=2

㊣ckm=ccr代入式（2 4b）得δ（t）+2ξωδ（t）+ω²δ（t）=-δ（t）

（2 5）

式中 ω———无阻尼自振圆频率，简称自振频率，rad/s，ω=㊣

_mk；

ξ———阻尼比，它是阻尼系数c与临界阻尼系数c_r的比。

式（25）是一个常系数二阶非齐次线性微分方程，它的解包含两部分：一个是与式（25）相对应的齐次方程的通解；另一个是与式（2 5）相对应的特解，前者代表自由振动，后者代表强迫振动。

2.2.2 单自由度结构的自由振动

式（25）所对应的齐次方程即为单质点弹性体自由振动方程，即δ（t）+2ξωδ（t）+ω²δ（t）=0

（2 6）

齐次方程的特解为

δ=e^-ξωt（Acosω′t+Bsinω′t）

（2 7）

式中 A、B———常数，其值可由问题的初始条件确定；

ω′———有阻尼体系的频率。ω′=ω㊣1-ξ2对于一般结构而言阻尼比通常小于

0.1，因而ω′≈ω；

ξ———阻尼比，当ξ＞1时称为强阻尼，ξ＜1时称弱阻尼，ξ=1时称临界阻尼，

对于ξ＞1时由微分方程解表明体系将不发生振动，ξ＜1时微分方程表明体系将发生衰减振动。

当阻尼为0时，即ξ=0式（27）变成

δ=Acosωt+Bsinωt

（2 8）

式（28）是无阻尼的单质点体系自由振动的通解，它表示质点作简谐振动。比较式（27）、式（28）可知，有阻尼单质点体系的自由振动为按指数函数衰减的简谐振动。

下面根据初始条件确定A、B。设t=0，δ=δ（0），δ=δ（0）。δ（0）、δ（0）分别为初始位移和初始速度，代入式（2

7）求得

A=δ（0）B=δ（0）+ξωδ（0）

ω′

所以式（27）为δ=e^-ξωt[δ（0）cosω′t+δ（0）+ω′ξωδ（0）sinω′t]

（2 9）

若式（29）中ξ=0时。ω′≈ω，式（29）变为单自由度体系无阻尼自由振动方程δ（t）+ω²δ（t）=0

（2 10）

其解为

δ（t）=δ₀cosωt+δ

sinωt

ω′

图24给出了不同阻尼比时的自由振动曲线。由图可知：ξ=0时振动曲线的振幅不变，ξ≠0时振动曲线的振幅逐渐衰减。无阻尼时振幅保持不变，有阻尼时振幅逐渐衰减，阻尼愈大振幅愈小且衰减得愈快。

图24 不同阻尼比的振动曲线

2.2.3 单自由度结构的强迫振动

强迫振动是指体系在动力荷载作用下的振动。当发生地震时，地震作用“-mδ（t）”可以看成动力荷载。由于地震动过程是极不规则的振动，通常不可能用数学解析式表达地震加速度里程δ

··

g（t），所以式（2 5）的特解只能通过数值计算方法求解。（1）单自由度体系在脉冲荷载作用下的振动。

脉冲荷载的特点是荷载作用时间与体系的周期相比非常短，假定单自由度体系处于静止状态，在极短的时间dt内作用一脉冲荷载P如图25所示，脉冲荷载P与作用时间dt的乘积称为冲量。以图2 5（a）中阴影面积表示，根据动量定量，体系上质点的冲量等于动量的变化即

mv=pdt

（2 11）

因为dt是一个极微的量，体系在脉冲荷载移去的瞬间将成为自由振动，振动的位移反应曲线如图2 5（b）所示。

自由振动的初始条件为δ=（0）=0，δ=v=pmdt，于是自

由振动的解可从式（29）得δ=δω（′0）e^-ξωtsinω′t=mpωdt′e^-ξωtsinω′t

（2 12）

式（212）的脉冲荷载是从t=0开始作用。若系统在单位冲量作用下，则其解为：δ=1

e^-ξωtsinω′t，这种在单位

mω′

冲量作用下的瞬态响应称脉冲响应函数，用h（t）表示。如果脉冲荷载不是从t=0开始作用，而是从t=τ开始作用，如图26所示，式（212）中的脉冲荷载作用时间dt应改为dτ，体系的位移的反应时间应改为t-τ，于是式（212）应改写成

δ=pdτ

e^{-ξω（t-τ）}sinω′（t-τ）

（2 13）

图25 脉冲荷载

mω′

（2）一般荷载作用下的单自由度体系的振动。

单自由度体系在一般荷载P（t）作用下的振动方程为mδ（t）+cδ（t）+kδ（t）=P（t）

（2 14）

或δ（t）+mcδ（t）+mkδ（t）=pm（t）

这种情况下，可以把整个荷载P（t）看作是无数的脉冲荷载连续作用之和，如图26、图

2 7所示。

图26 任意脉冲荷载

图27 一般脉冲荷载

在dτ时间间隔时，由冲量p（τ）引起的微位移反应dδ（t）根据式（213）写成

dδ（t）=pm（τω′）dτe^{-ξω（t-τ）}sinω′（t-τ）

（2 15）

在整个荷载作用下，任意时刻t的位移反应可以从时间τ=0到τ=t，各无数脉冲量引起的位移反应之和。即对式（215）从0到t进行积分。即

δ（t）=-∫t0pm（τω′）dτe^{-ξω（t-τ）}sinω′（t-τ）

（2 16）

上式称为Duhamel积分，数学上称为卷积。

··

对比式（214）与式（25），-mδ

g（t）相当于p（t），所以式（2 16）很方便地

给出式（25）的特解

δ（t）=-ω1′∫t0δ（τ）e^{-ξω（t-τ）}sinω′（t-τ）dτ

（2 17）

式（25）的通解应是方程的齐次解式（2 9）与特解式（2 17）之和，但当地震作用之前体系处于静止状态（即δ₀=δ=0），其齐次解为0，所以式（2 5）的通解为

δ（t）=-ω1′∫t0δ（τ）e^{-ξω（t-τ）}sinω′（t-τ）dτ

（2 18）

这是阻尼较小时单自由度体系在地震加速度作用下的相对位移反应，对δ（t）取微分便得弹性体的速度和加速度δ（t）=∫t0δ（τ）e^{-ξω（t-τ）}[ξω′ω（t-τ）-cosω′（t-τ）]dτ

（2 19）δ（t）=ω′∫t0δ（τ）e^{-ξω（t-τ）}{[1-（ξω′ω）² ]sinω′（t-τ）+2ωξ′ωcosω′（t-τ）}dτ-δ（t）

（2 20）

一般情况阻尼比ξ的数值很小时，式（220）可简化为δ（t）=ω′∫t0δ（τ）e^{-ξω（t-τ）}sinω′（t-τ）dτ-δ（t）

（2 21）

分别对式（218）～式（220）进行积分，可得到弹性体系的位移、速度和加速度的地震反应。由以上三式可知，求解单自由度体系的地震反应进行积分即可。但由于地震作用时地面水平运动加速度δ

··

g（t）不是一个规则的函数，而是一系列随时间变化的随机脉

··

冲，因此要把真实的强震记录δ

g（t）不加处理地代入公式中进行积分几乎是不可能的，因

此目前应用较广的是数值积分方法直接求解运动方程。随着电子计算机的飞速发展，现已编制出各种高效率的电子计算机计算法和程序，下面我们简单地介绍几种求解地震反应的动力分析方法、基本原理及其计算方法。

2.2.4 单自由度结构运动方程数值解法

单自由度体系的运动方程对于线性体系而言可用Duhamel积分方法求出体系在地震动δ（t）作用下的位移、速度及加速度，但在进行数值积分时需作大量乘法运算，耗时较多。目前应用较广数值计算方法的是逐步积分法，例如：线性加速度法、威尔逊（Wil-

son）θ法、龙格库塔（Runge Kwtta）法等。

2.2.4.1 线性加速度法

线性加速度法是假定质点的加速度反应的任一微小时间段Δt内的变化是线性关系，已知一个时间步长的初始位移δ_t、速度δ和加速度δ。利用线性关系求解运动方程在这个

时间步长末的位移δ_t+Δt、速度δ和加速度δ，如图2 8所示。

图28 线性加速度法

将质点位移δ_t+Δt、速度δ分别按泰勒级数展开

δ_t+Δt=δ_t+Δtδ+（Δ2t！）²δ+（Δ3t！）³δ+…+o[（Δt）³ ]

（2 22）

δ=δ+Δtδ_t+（Δ2t！）²δ+…+o[（Δt）² ]

（2 23）

加速度变化率

··

···

t+Δt-δ

（2 24）

Δt

代入式（222）、式（223）

δ_t+Δt=δ_t+Δtδ+Δ3t²δ+Δ6t²δ

（2 25）

δ=δ+Δ2tδ+Δ2tδ

（2 26）

方程组中有3个未知数：δ_t+Δt、δ、δ，因此与单自由度体系的振动方程δ

··

=-δ

gk-2ωδ

t-ω²δ_t联立，便可解出3个未知数。利用此种方法根据第一个时间步长开

始时给定的初始条件，逐个时间步长Δt步步推进，直至地震结束便可求得整个地震作用期间的体系地震反应。下面给出计算流程图

（如图2 9所示）。

从上面的动力数值解法中我们得知：其计算方法简便，但常存在一些误差，因此我们用它的稳定性和“人为阻尼”的大小来作为衡量其优劣的标准。

（1）其稳定性是指初始数据误差和计算中舍入误差等在计算中的传递和累积，若误差对计算结果影响不大，则计算方法是稳定；若仅在时间步长较小的才稳定称有条件稳定；有的

图29 计算流程图

解法还有收敛条件，若不满足时所得的解可能发散。无条件稳定的解法则不存在稳定条件的限制，这在多自由度体系尤为重要。

因为高振型的自振周期可能很小，而Δt应小于自振周期T的某一分数，因此一般情况下很难满足稳定条件。

（2）“人为阻尼”是指由于计算方法的缺陷而产生的误差使计算结果表现出自振周期延长，振幅衰减，相当于人为的给体系施加一个本不存在的额外阻尼，从而导致计算结果偏离真实，线性加速度法属于有条件稳定；当Δt≥0.55T时，计算结果不能采用。

2.2.4.2 纽马克（Newmark）β法

纽马克β法是将线性加速度法加以修改，引入了γ、β两个参数。取体系的表达式为

δ=δ+（1-γ）δ+γδΔt

㊣δ_t+Δt=δ_t+δ㊣㊣Δt+（12-β）δ（2 27）

（Δt）+βδ（Δt）

将此公式代入单自由度体系的运动方程即可求出δ，然后可求出相应的δ、δ_t+Δt。公式中的β、γ参数数值的选取是否适合对解法的稳定性和精度有直接的影响。根据经验和一些研究结果表明γ取12时不宜产生人为阻尼，若β=14，上述公式就应用中点加速度法，即时间步长中间点12Δt处的加速度作为此时间步长内不变的加速度进行计算，其值