1.3 正弦交流电路

所谓正弦交流电路是指含有正弦电源（激励）而且电路各部分所产生的电压和电流（响应）均按正弦规律变化的电路。交流发电机中所产生的电动势和正弦信号发生器所输出的信号电压，都是随时间按正弦规律变化的。在生产上和日常生活中所用的交流电，一般都是指正弦交流电。

1.3.1 正弦信号的表示方法

前面我们分析的是直流电路，其中的电流和电压的大小与方向（或电压的极性）是不随时间而变化的，如图1-15所示。

正弦电压和电流是按照正弦规律周期性变化的，其波形如图1-16所示。由于正弦电压和电流的方向是周期性变化的，在电路图上所标的方向是指它们的参考方向，即代表正半周时的方向。在负半周时，由于所标的参考方向与实际方向相反，则其值为负。图中的虚线箭头代表电流的实际方向；“+”“-”代表电压的实际方向（极性）。

电路中按正弦规律变化的电压或电流，统称为正弦量。正弦量的特征表现在变化的快慢、大小及初始值3个方面，而它们分别由频率（或周期）、幅值（或有效值）和初相位来确定。所以频率、幅值和初相位就称为确定正弦量的三要素。

1 频率与周期

正弦量变化一次所需的时间（秒）称为周期（T）。每秒内变化的次数称为频率，它的单位是赫［兹（］Hz）。频率是周期的倒数，即

在我国和大多数国家都采用50Hz作为电力标准频率，有些国家（如美国、日本等）采用60Hz。这种频率在工业上应用广泛，习惯上也称为工频。通常的交流电动机和照明负载都用该频率。

在其他各种不同的技术领域内使用着各种不同的频率。例如，高频炉的频率是200～300kHz；中频炉的频率是500～8000Hz；高速电动机的频率是150～2000Hz；通常收音机中波段的频率是530～1600kHz，短波段是2.3～23MHz。

正弦量变化的快慢除用周期和频率表示外，还可用角频率（ω）来表示。因为一周期内经历了2π弧度（见图1-17），所以角频率为

它的单位是弧度每秒（rad/s）。

2 幅值与有效值

正弦量在任一瞬间的值称为瞬时值，用小写字母来表示，如i、u、e分别表示电流、电压及电动势的瞬时值。瞬时值中最大的值称为幅值或最大值，用大写字母带下标m来表示，如Im、Um、Em分别表示电流、电压及电动势的幅值。

图1-17是正弦电流的波形，它的数学表达式为

正弦电流、电压和电动势的大小往往不是用它们的幅值，而是常用有效值（均方根值）来计量的。

有效值是根据电流的热效应来规定的，因为在电工技术中，电流常表现出其热效应。不论是周期性变化的电流还是直流，只要它们在相等的时间内通过同一电阻后两者的热效应相等，就把它们的安［培］值看作是相等的。就是说，某一个周期电流i通过电阻R（如电阻炉）在一个周期内产生的热量，和另一个直流I通过同样大小的电阻在相等的时间内产生的热量相等，那么这个周期性变化的电流i的有效值在数值上就等于这个电流I。

根据上述，可得

由此可得出周期电流的有效值

式1-34适用于周期性变化的量，但不能用于非周期量。

正弦量的有效值与其最大值之间是倍关系，但是与正弦量的频率和初相位无关。一般所说的正弦电压或电流的大小，例如交流电压380V或220V，都是指它的有效值。一般交流电流表和电压表的刻度也是根据有效值来定的。

3 初相位

正弦量是随时间变化而变化的，要确定一个正弦量还须从计时起点（t=0）上看。所取的计时起点不同，正弦量的初始值（t＝0时的值）就不同，到达幅值或某一特定位所需的时间也就不同。

正弦量可用下式表示为

其波形如图1-17所示。它的初始值为零。

正弦量也可用下式表示为

其波形如图1-18所示。在这种情况下，初始值io＝Imsinφ，不等于零。

式1-35和式1-36中的角度ωt和（ωt+φ）称为正弦量的相位角和相位，反映出正弦量变化的进程。当相位角随时间连续变化时，正弦量的瞬时值随之做连续变化。

t＝0时的相位角称为初相位角或初相位。在式1-35中初相位为零，在式1-36中初相位为φ，因此，所取计时起点不同，正弦量的初相位不同，其初始值也就不同。

4 正弦量的向量表示方法

一个正弦量具有幅值、频率及初相位3个特征。而这些特征可以用一些方法表示出来。正弦量的表示方法是分析与计算正弦交流电路的工具。

一种是用三角函数式来表示，如i=Imsinωt，这是正弦量的基本表示法；另一种是用正弦波形来表示，如图1-17所示。

此外，正弦量还可以用向量来表示。向量表示法的基础是复数，就是用复数来表示正弦量。

设复平面中有一个复数A，其模为r，辐角为φ（见图1-19），它可用下列3个式子表示

或简写为

1-2：正弦交流电

因此，一个复数可用上述几个复数式来表示。式1-37称为复数的直角坐标式，式1-38称为指数式，式1-39则称为极坐标式。三者可以互相转换。复数的加减运算可用直角坐标式，复数的乘除运算可用指数式或极坐标式。

至此，我们学习了表示正弦量的几种不同的方法，它们的形式虽然不同，但都是用来表示一个正弦量的，只要知道一种表示形式，便可求出其他几种表示形式。

1.3.2 单一参数的交流电路

分析各种正弦交流电路，要确定电路中电压与电流之间的关系（大小和相位），并讨论电路中能量的转换和功率问题。分析各种交流电路时，我们必须首先掌握单一参数（电阻、电感、电容）元件电路中电压与电流之间的关系，因为其他电路是一些单一参数元件的组合。

1 电阻元件的正弦交流电路

图1-20（a）是一个线性电阻元件的交流电路。电压和电流的参考方向如图1-20（b）所示。两者的关系由欧姆定律确定，即

为分析方便起见，选择电流经过零值并将向正值增加的瞬间作为计时起点（t=0），即设为参考正弦量，则

电压和电流是同频率的正弦量。

比较式1-41和式1-42即可看出，在电阻元件的交流电流中，电流和电压是同相的（相位差φ=0）。电压和电流的正弦波形如图1-20（b）所示。

根据式1-42得出

或

由此可知，在电阻元件电路中，电压的幅值（或有效值）与电流的幅值（或有效值）之比值，就是R。

如用向量表示电压和电流的关系，则为

或

此即欧姆定律的向量表示式。电压和电流的向量图如图1-20（c）所示。

知道了电压与电流的变化规律和相互关系后，便可计算出电路中的功率。在任意瞬间，电压的瞬时值u与电流瞬时值i的乘积，称为瞬时功率，用小写字母p代表，即

由式1-44可知，p是由两部分组成的，第一部分是恒定量，第二部分为正弦量，其频率是电压或电流频率的两倍。p随时间变化而变化的波形如图1-20（d）所示。

由于在电阻元件的交流电路中u与i同相，它们同时为正，同时为负，所以瞬时功率总是正值，即p≥0。瞬时功率为正，这表示外电路从电源取得能量，在这里就是电阻元件从电源取用电能而转换为热能，这是一种不可逆的能量转换过程。在一个周期内，转换成的热能为

即相当于图中被功率波形与横轴所包围的面积。

通常用下式计算电能

式中，P是一个周期内电路消耗电能的平均速率，即瞬时功率的平均值，称为平均功率。在电阻元件电路中，平均功率为

平均功率又称有功功率，是指瞬时功率在一个周期内的平均值。它代表负载实际消耗的功率，不仅与电压和电流有效值的乘积有关，且与它们之间的相位差有关。

2 电感元件的交流电路

非铁芯线圈（线性电感元件）与正弦电源连接的电路如图1-21所示。假定这个线圈只具有电感L，而电阻R极小，可以忽略不计。

当电感线圈中通过交流i时，其中产生自感电动势eL，设电流i、电动势eL和电压u的参考方向如图1-21所示。

根据基尔霍夫电压定律得出，即

设电流为参考正弦量，即

则

这也是一个同频率的正弦量。

比较式1-53和式1-54可知，在电感元件电路中，在相位上电流比电压滞后90°（相位差ϕ=+90°）。

表示电压u和电流i的正弦波形如图1-21（b）所示。

在式1-54中

或

由此可知，在电感元件电路中，电压的幅值（或有效值）与电流的幅值（或有效值）的比值为ωL，它的单位为欧姆。当电压U一定时，ωL越大，则电流I越小。可见它具有对交流电流起阻碍作用的物理性质，所以称为感抗，用XL代表，即

感抗XL与电感L、频率f成正比。因此，电感线圈对高频电流的阻碍作用很大，而对直流则可视作短路，即XL=0（注意，不是L=0，而是f=0）。

应该注意，感抗只是电压与电流的幅值或有效值之比，而不是它们的瞬时值之比，即。因为这与上述电阻电路不一样。在这里，电压与电流成导数的关系，而不是正比关系。

如用向量表示电压与电流的关系，则为

或

式1-60表示电压的有效值等于电流的有效值与感抗的乘积，在相位上电压比电流超前90°。因电流向量乘上算子j后，即向前（逆时针方向）旋转90°。电压和电流的向量图如图1-21（c）所示。

了解电压与电流的变化规律和相互关系后，便可找出瞬时功率的变化规律，即

由式1-61可知，p是一个幅值为UI，并以2 ω的角频率随时间变化而变化的交变量，其变化波形如图1-21（d）所示。

在电感元件电路中，平均功率

从图1-21（d）的功率波形也容易看出p的平均值为零。可见，在电感元件的交流电路中，没有能量消耗，只有电源与电感的能量互换。这种能量互换的规模可以用无功功率来衡量。

3 电容元件的交流电路

图1-22（a）是一个线性电容元件与正弦电源连接的电路，电路中的电流和电容器两端的电压u的参考方向如图1-22（b）所示。

当电压发生变化时，电容器极板上的电荷量也要随着发生变化，在电路中就引起电流变化

如果在电容器的两端加一正弦电压

则

这也是一个同频率的正弦量。

比较式1-65和式1-66可知，在电容元件电路中，在相位上电流比电压超前90°（相位差φ=-90°）。我们规定：当电流比电压滞后时，其相位差φ为正；当电流比电压超前时，其相位差φ为负。这样的规定是为了便于说明电路是电感性的还是电容性的。

表示电压u和电流i的正弦波形如图1-22（b）所示。

根据式1-66可以得出

或由此可知，在电容元件电路中，电压的幅值（或有效值）与电流的幅值（或有效值）的比值为，它的单位为欧姆。当电压U一定时，越大，则电流I越小。可见它具有对电流起阻碍作用的物理性质，所以称为容抗，用XC代表，即

容抗XC与电容C、频率f成反比。这是因为电容越大时，在同样电压下，电容器所容纳的电荷量就越大，因而电流越大。当频率越高时，电容器的充电与放电速度就越快，在同样电压下，单位时间内电荷移动量就越多，因而电流越大。所以电容元件对高频电流所呈现的容抗很小，而对直流（f=0）所呈现的容抗XC可视作开路。因此，电容元件具有隔断直流的作用。

用向量表示电压与电流的关系，则为

或

式1-72表示电压的有效值等于电流的有效值与容抗的乘积，而在相位上电压比电流滞后90°。因此，电流向量乘上算子（-j）后，即向后（顺时针方向）旋转90°。电压和电流的向量图如图1-22（c）所示。

了解电压与电流的变化规律和相互关系后，便可找出瞬时功率的变化规律，即

由式1-73可见知，p是一个幅值为UI，并以2 ω的角频率随时间变化而变化的交变量，其变化波形如图1-22（d）所示。

在电容元件电路中，平均功率

这说明电容元件是不消耗能量的，在电源与电容元件之间只发生能量的互换。能量互换的规模用无功功率（Q）来衡量，它等于瞬时功率Pc的幅值。即

1.3.3 复杂参数的交流电路

复杂参数的交流电路是一些单一参数元件的组合，和分析复杂的直流电路一样，也可以采用支路电流法、节点电压法、叠加定理和戴维南定理等方法来分析与计算。两者不同之处，电压和电流应以向量表示，电阻、电感和电容及其组成的电路应以阻抗或导纳来表示。下面举例说明。

【例1.1】在图1-23所示的电路中，已知 试用支路电流法求电流。

【解】应用基尔霍夫定律列出下列向量表示方程

将已知数据代入，即得

解之，得