3.3 分形维数

经典几何学中的维数叫作拓扑维数，它采用了确定一个对象位置所需要的变量个数来作为维数。比如，在直线上确定一个点需要一个坐标，也就是，在直线上确定一个原点后，可以采用与这个原点的距离来确定直线上其他点的位置；在平面上确定一个点需要两个坐标（x，y）；在三维空间中确定一个点需要三个坐标（x，y，z），现实生活中的三维空间也可以采用经度、纬度和高度来确定位置。在经典几何学中，三维以内，都有现实世界的物体所对应，比如：点是0维、线是一维、面是二维、体是三维，而当维数大于三时，现实世界中就没有了对应物，只能凭借想象，比如加上了时间的四维。但是不管怎样，经典几何中的维数是一维一维地往上加的，初始是整数，增量也是整数，比如1、2、3、4、5、6等，所以也被称作整数维数。

经典几何学从拓扑角度来看维数，那么，从测量的角度来看，维数又是怎样的呢？在测量的层面上，维数是可变的。比如一个物体（球、正方体、圆柱体，甚至建筑物等），从远处看，它是一个点：0维，因为在相距过远时，物体的大小是可以忽略不计的；靠近一些，可以看清物体，这时物体是三维的、立体的；再靠近一些，贴近物体的表面，看到的是二维的、平面的。所以，测量观察的尺度不同，一个对象的维数也会随之变化。只有确定了尺度，才能确定对象的维数。从测量角度重新理解，反映出了经典几何学维数概念的局限性。1919 年，德国数学家费利克斯·豪斯多夫（F.Hausdorff，1868—1942年）给出了维数的新定义，对经典几何的维数概念进行了扩展，为维数的非整数化提供了理论基础。

分形的本质是标度变化下的不变性，和经典几何学有着截然不同的特性，所以，分形集（或分形图形）的特征并不能使用经典的整数维数来描述，而只能采用另外一种方式，也就是分形维数来描述。分形维数包括整数维数和分数维数，每一个分形集都对应着一个分形维数，这个维数可以是整数的，也可以是分数的。

可以采用自相似性的方式来定义分形图形的维数。首先将图形缩小N分之一，接着，使用 M 个缩小之后的图形来组成原来的图形，维数 d 就等于：d=ln（M）/ln （N），ln指以常数e为底数的自然对数，N为缩小比例，M为拼接个数。采用这样的方式计算出来的维数，又叫作自相似维数，但只有当分形图形可以等比例拼贴时，才可以采用这样的方式来定义。经典的几何图形，比如线段、长方形、立方体等，也可以采用自相似性的方法来计算它们的维数。

比如，一条线段缩小二分之一后，缩小的线段长度为原线段的一半，可以用这样的两条与自身相似的缩小的线段来组成原有的线段；一个长方形边长缩小二分之一后，缩小的小长方形大小为原来的四分之一，可以用4个这样的小长方形来组成原有的长方形；一个立方体边长缩小二分之一后，缩小的小立方体大小为原有的八分之一，可以用8个这样的小立方体来组成原有的立方体。所以，由公式：d=ln（M）/ln（N），可知：

一条线段的维数：d=ln（2）/ln（2）=1。

一个长方形的维数：d=ln（4）/ln（2）=2。

一个立方体的维数：d=ln（8）/ln（2）=3。

科赫曲线的维数，也可以采用这样的方法来计算。首先，将原曲线缩小三分之一，然后，可以用4个这样的小科赫曲线来组成原来的科赫曲线。所以，科赫曲线的维数d=ln（4）/ln（3）=1.2618…，可以看到，维数是分数，分数就像一个刻度指标，可以想象，在1到2之间应该存在着多种多样的复杂图形，每一种图形分别对应着一个分数，而科赫曲线只是其中的一种而已。

采用自相似性的方式来计算维数最为直观，也最容易求解，但是这种方式，并不能得到所有的分形图形的维数。自相似性的方式，只适用于各个组成部分完全相等的情况，当整体可以划分成几个部分、但是各个部分并不完全相等时，就会计算困难，甚至无法求解。

除了自相似维数，分形维数定义还有其他的一些方法，这些不同的计算方法，在数学上有着不同的难度，有兴趣的读者可查看相关的资料，这里不再详述。