第三节 贫困指数的性质

不同的贫困指数测度的结果不同，那么该如何评价一个指数的好坏呢？本节将系统梳理贫困指数中的各种不同公理性质①。这些性质包括不变性、支配性、连续性、人口子群性（包含一致性与可分解性）等。满足不同性质的指数将会有不同的政策关注和解释。

一、不变性

在不变性公理（invariance axioms）之下，贫困指数具体有对称性、复制不变性、相关性、比例不变性、正规化等性质。

1．对称性（symmetry）

将收入向量表示为x, y是由x向量得来，只是收入的排列不同，元素相同。若贫困线z不变，则P（y; z）=P（x; z）。

用数学语言表示，y向量可由x向量乘以一个排列矩阵得到。仍以x=（9, 4, 15, 8）为例，若排列矩阵A表示为：

则y =xA =（9, 8, 15, 4）。

2．复制不变性（replication invariance）

复制不变性也称为总体性原则（population principle）。在贫困线不变的基础下，y收入向量由x收入向量复制变化而来，即y向量中的元素是对x中元素个体进行有限次的复制得来的。此时，贫困指数不发生变化，即 P（y; z）=P（x; z）。

3．相关性（focus）

也可以理解为聚焦于穷人的公理。在x收入向量条件下，贫困人口的收入保持不变，而非贫困人口的收入增加形成新的y收入向量。此时，贫困指数不会受到影响。相关性公理实际上描述的是贫困指数与非贫困人口的收入分布无关这一性质，也就是聚焦于穷人的公理。如x =（9, 4, 15, 8）, y =（9, 4, 16, 8）, z =10, P（y; z）=P（x; z）。

4．比例不变性（scale invariance）

比例不变性也称为homogeneity of zero-degree。在贫困线z与x向量中所有的收入同时按α的比例发生变化条件下（α ＞ 0），贫困指数不会发生变化，即P（αx; αz）= P（x; z）。如 x =（9,4,15,8）, y =（18,8,30,16）, z = 20, P（y; z）=P（x; z）。

5．正规化（normalization）或者规范化公理

不论贫困线标准z是多少，只要向量中的每一个体均处于非贫困状态，则贫困指数均为0。换句话说，只要收入向量中最小的个体收入值大于贫困线标准，那么贫困指数为0，即P（x; z）=0。如x=（9,4,15,8）, z=2或者z=3的情况下，都有P（x; z）=0。

二、支配性

在支配性公理（dominance axioms）下，具体包括单调性公理、转移性公理。转移性公理包括弱转移性公理、强转移性公理。

1．单调性（monotonicity）

基于贫困线不变的条件下，收入向量x中的部分贫困人口的收入值减少，形成新的收入向量y，此时得到的贫困指数有如下关系：P（y; z）＞ P（x; z）。换句话说，任意一个贫困人口的收入减少，贫困指数反映出来的贫困程度应该提高。如x=（9,4,15,8）, z=10, y=（3,4,15,8），则P（y; z）＞ P（x; z）。

2．转移性（transfer）

这里先给出进步性转移的概念，即在已经识别出的贫困群体当中，如果收入从某一个较高收入的个体转移到另一个较低收入的个体，形成新的收入向量，整体平均收入保持不变，在此情况下收入转移称为进步性的转移（progressive transfer）。在进步性转移中，转移的数量有所限制，即转移之后形成的收入向量中最低收入不能低于转移之前的收入向量。

满足转移性公理意味着若穷人中的富人向穷人中的穷人转移收入，则总的贫困程度应该有所下降，贫困指数应该降低。

转移性公理还具有强弱之分。弱转移性公理（weak transfer axiom）是指收入依然在贫困群体中转移，但是由相对较穷的个体向相对较富的个体转移，然而较富的贫困个体依然未能脱贫，此时的贫困指数应该提高。这一公理称为弱转移性公理。强转移性公理（strong transfer axiom）是指收入依然在贫困群体中转移由相对较穷的个体向相对较富的个体转移，但是转移之后较富的贫困个体实现脱贫，此时的贫困指数应该降低。

三、连续性

连续性公理（continuity axioms）是一个技术性的假定，以保证贫困人口收入水平发生的微小变动，不会引起贫困指数发生急剧性的跳跃性变动。连续性公理认为贫困指数应该是收入的一个连续型函数。对于任何收入向量x，如果一个新的收入向量x′收敛于原始收入向量x，则新的贫困指数与将收敛于原始的贫困指数，即：P（x′; z）将会收敛于P（x; z）。

借用一个例子来说明该公理。假设收入向量x′ =（9, 8, 15, 4）, z=10，如果最穷的人的收入由4慢慢提高为10, x =（9, 8, 15, 10）, H指数则突然由3/4变为2/4，不满足连续性公理。

四、人口子群性

人口子群性（subgroup axioms）包括人口子群单调性、人口子群可加性等性质。

1．人口子群单调性（subgroup consistency）

x′和x″向量都是从属于x的子向量，而y′和y″向量是由x′和x″向量变化而来。如果存在P（y′; z）＞ P（x′; z）和P（y″; z）=P（x″; z），即一组的贫困程度提高，而另一组贫困水平保持不变，同时存在n（y′）= n（x′）和n（y″）=n（x″），即各组调查群体保持不变，则有如下的贫困指数关系：P（y; z）＞P（x; z）。这一公理描述的是当某一组的贫困水平降低的时候，总的贫困水平也会降低。人口子群一致性公理是评价扶贫项目的重要参考标准。同时这一公理可以看作是单调性公理的延伸。

2．人口子群可加性（additive decomposability）

贫困测度常常是可以分解的。上述公理中将人口分为x′和x″两个子群，则总贫困指数可以表示为：

可以延伸到更多的分组。此外，还可以利用此公理将每一组对总体贫困指数的贡献度进行估计，即C（x′）=n（x′）P（x′）/nP（x）。

人口子群可加性意味着子群单调性，但是反之却不成立。此性质有利于政策制定者详细考察总人口内部的贫困状况，进而有针对性地制定差异化的扶贫政策。

五、转移敏感性

转移敏感性（transfer sensitivity）：若从收入水平为xi的穷人向收入水平为xi+ d的穷人发生转移，则xi越大，贫困上升的幅度越小。也就是说该公理反映了贫困指数对更低收入水平个体发生的收入转移更加敏感。对于相同的转移收入t（t ＞ 0），较低收入群体之间的转移对总体贫困程度的影响较大，贫困指数对这种低水平下的贫困群体之间的收入转移更加敏感。所以贫困测度更加关注的是贫困群体当中最底层的个体。

六、不同贫困指数满足的性质

不同贫困指数的设计原理不同，简洁程度不同，因此导致所满足的公理性质不同，相关的政策启示也不同。表2-2给出了不同贫困指数满足的公理性质。

表2-2 不同贫困指数满足的公理性质

① 本部分参考了大量的贫困指数测度的著作及文章总结而成。