三 批判杜林在数学逻辑上的先验主义思想,进一步阐明思维与现实的关系
杜林的哲学先验主义和数学先验主义是相联系的,杜林的数学先验主义是其哲学先验主义的一个理论支柱。为了进一步批判杜林的哲学先验主义,恩格斯批判了杜林的数学先验主义。揭露杜林的数学先验主义观点,论述数学对现实世界的依赖关系和意识的相对独立性,批判杜林的数学先验主义。
杜林认为,纯粹数学和逻辑是纯粹观念的领域,是与现实世界无关的。这里,我们还要重温恩格斯说过的一个思想,即“如果完全自然主义地把‘意识’、‘思维’当成某种现成的东西,当作一开始就和存在、自然界相对立的东西,那么结果总是如此”。[17]这就是杜林的分类思想。这种分类就是把思维和存在看成是两个独立的存在,其结果是无法说明思维和存在的统一,必然导致不是唯心主义就是二元论或者折中主义。这种分类思想是先验主义的一个方法论根源。杜林就是认为存在和思维是两个并列和独立的领域,是一开始就各自存在的。杜林认为,这种分类能够成立的一个重要论据就是逻辑想象和数学现象。他认为,纯粹数学和逻辑是纯粹观念的领域,是与现实世界无关的。所以,恩格斯进一步批判杜林在数学和逻辑上的先验主义思想。
(一)数学思维具有现实世界的根据
杜林认为,在纯数学中,数学思维所处理的是它自己的自由创造物和想象物,数学具有脱离特殊经验和现实世界内容而独立的意义。也就是说,至少数学思维是独立于存在、与物质存在并列的现象,通过说明逻辑模式和数学思维的独立性,从而进一步说明思维是与存在独立并列的、具有独立存在意义的现象,进而表明思维只能从思维自身得到解释和说明。
恩格斯的批判应用了辩证思维逻辑。恩格斯承认数学规律是具有脱离个人的特殊经验而独立的意义,但是,他强调,脱离个人经验并不等于脱离人类经验,也绝不等于数学思维只处理自己的创造物与想象物,它是来源于现实世界并按照自己的特殊规律发展的。首先,数和形的概念是来源于现实世界和人类实践的。其次,纯数学的研究对象是现实世界的空间关系和数量关系;数学思维所处理的材料是来自现实世界的现实的材料,只不过是这些现实的材料是以高度抽象的形式出现,在表面上掩盖了它起源于现实世界的事实。最后,分析了数学思维的特点。恩格斯指出,为了能够从最纯粹的状态中研究事物的形式和数量,必须使它们完全脱离自己的内容,把内容当作无关重要的东西放在一边,这是经过数学抽象的结果。在数学抽象思维的过程中,只以事物的数量和形式为对象,把它的内容放在一边,只研究数量和形式之间的合理的相互推演关系。这种思维过程并不说明数学思维的来源是先验的。
恩格斯进一步指出,数学理论的这种抽象思维特点,正是人类思维的一般特点。恩格斯说:“正像在其他一切思维领域中一样,从现实世界抽象出来的规律,在一定的发展阶段上就和现实世界脱离,并且作为某种独立的东西,作为世界必须遵循的外来的规律而同现实世界相对立。”[18]在这里,恩格斯揭示了人类思维的一般特点,即都具有抽象形态的相对独立性,这既说明了思维的现实来源,又说明了思维规律的相对独立性。杜林的错误是把思维规律的相对独立性当成了绝对独立性,充分表现了杜林哲学形而上学的基本性质。
(二)数学公理的本质
杜林为了说明思维,特别是数学思维具有“不依赖于特殊经验和世界现实内容的意义”[19],他抓住数学公理作为证据,以为它是一个无法辩驳的证据事实,其实是把数学上的先验主义谬论当作哲学上先验主义观点的例证。因此,为了批判杜林哲学上的先验主义,就必须批判杜林数学上的先验主义谬论。而为了批判其数学先验主义,就必须批判数学公理问题上的先验主义。
恩格斯评论道:“杜林先生以为,他不需要任何经验的填加料,就可以从那些‘按照纯粹逻辑的观点既不可能也不需要论证’的数学公理中推导出全部纯数学,然后把它应用于世界,同样,他以为,他可以先从头脑中制造出存在的基本形式、一切知识的简单的成分、哲学的公理,再从它们中导出全部哲学或世界模式论,并把自己的这一部宪法钦定赐给自然界和人类世界。”[20]在这里,恩格斯揭露了杜林提出数学公理的意图,他是要想借用数学公理的地位和作用,引申论证哲学公理的存在和意义。既然数学可以从公理出发导出全部数学体系,那么哲学也可以从它自己的公理导出全部体系,然后应用于整个世界。恩格斯所说的杜林的哲学公理就是杜林所谓的“世界基本形式的原则”。
批判杜林的哲学公理,就需要批判他对数学公理的错误理解。
首先,什么是公理?所谓公理,是某一理论体系的初始概念,是体系内不证自明的。因为它是这个理论体系的逻辑起点,从这个起点推导出全部体系。所以,某个理论体系赖以成立的公理,是无法用这个理论体系的定理来证明的,也不需要用这个理论体系自身来证明。因此,我们必须清楚,某一公理的无须证明或无法证明,只是相对于它所推导出的理论体系而言的,并不是说公理不能证明。例如,数学公理是全部数学定理的起点,是不能通过数学理论来证明的。
恩格斯指出了数学公理的来源和性质:“数学公理是数学不得不从逻辑学那里借用的极其贫乏的思想内容的表现。”[21]恩格斯的这句话揭示了数学公理的实质,即作为全部数学推论的最初始的所谓公理,其实是数学为了建立自己的推论前提,从逻辑领域借来的逻辑规定或者逻辑命题。
为了分析数学公理的逻辑特征,恩格斯选择了两个数学公理进行分析。
第一,整体大于部分。恩格斯指出,这个命题是同义反复,即在宾语中重复主语中已经包含的东西。“整体大于部分”这个命题断定了整体和部分之间在数量上的关系。但是,从数量关系上分析,这个命题是同义反复。因为宾语所指已在主语之中,是在宾语中重复主语中已经说过的东西。因为整体本身就包含部分,整体是由部分组成的,所以,整体大于部分。正因为是同义反复,这一命题还可以反过来表述:部分小于整体。因为整体是由几个部分构成的,部分是构成整体的东西,所以,部分小于整体。由于整体本身就包含着它与部分的关系,而命题本身除断定这个最简单、最基本的关系之外,没有提供任何新的内容,所以,它的内容是非常贫乏的。不仅内容是贫乏的,而且贫乏到极致,只保留了逻辑关系,因此是逻辑命题,不是数学命题。所以,数学公理是逻辑命题。
另外,虽然数学公理在数学上表现为不能证明和无法证明,却绝不是从天上掉下来的思维的“自由创造物”即“天赋观念”,也不是人头脑中固有的“先验知识”。由于数学公理的本质是逻辑关系,这种逻辑关系是可以证明,并且能够证明的。因此,数学公理作为逻辑表现,本质上还是人类实践的结晶。列宁对此有深刻的见解:人的实践经过千百万次的重复,它在人的意识中以逻辑的格固定下来。这些格正是(而且只是)由于千百万次的重复才有着先入之见的巩固性和公理的性质。[22]公理之所以成为数学不证自明的概念而被用作数学推理的出发点,正是因为它是从人类长期亿万次的实践中产生,也已被实践所证明的。
第二,如果两个量各等于第三个量,那么他们彼此相等。恩格斯指出,这个数学公理是一个逻辑命题,黑格尔已经在逻辑上证明了它的正确性。至于在数学上和这个公理有关的其他关于相等与不相等的公理,也无非是这个公理的合乎逻辑的扩展,因而同样可以在逻辑上加以证明。这就说明了数学公理的正确性是由逻辑论证和保证的,在数学体系内是无能为力的。由于数学公理的正确性是由逻辑论证的,而逻辑是实践的产物,这就进一步说明公理不是与现实世界无关的、人的悟性的自由创造物,不是不可证明的、先验的东西,而是在人类千百万次的实践中得到正确性证明的逻辑表现。
第三,无论是数学或者其他科学体系的进一步展开,都不能停止在公理上,而必须从现实世界的现实事物中汲取真实的关系和形式。恩格斯指出,不论在数学或在其他领域,光靠这样内容贫乏的命题、公理,是不能解决复杂的问题的。为了有所前进,人们必须汲取来自现实的那些数量关系和空间形式。所以,数学进展、数学体系的展开,归根结底,不能脱离现实。恩格斯进一步指出:数学中的一些基本观念,例如,线、面、角、多角形、立方体、球体等观念,也是从现实中来的。恩格斯还指出:“只有思想上极其幼稚的人,才会相信数学家的话:第一条线是由点在空间的运动产生的,第一个面是由线的运动产生的,第一个立体是由面的运动产生的,如此等等。”[23]那么,我们要问:恩格斯所指出的思想幼稚到底是什么意思?这种幼稚性的表现是什么?原来数学家在表述“面”和“体”的图形特征时是这样说的,但他绝不是说真实的“面”和真实的“体”,或者说现实世界的“面”和现实世界的“体”就是这样形成的。只有思想幼稚的人,才会把数学家的图形表述当作图形产生的来源。