第四节 年金的计算

一、普通年金

1.普通年金终值

年金与复利一样，都有终值和现值之分。

普通年金终值是指一定时期内，每期期末等额收入或支出的本利和，也就是将每一期的金额，按复利换算到最后一期期末的终值，然后加总，就是该年金终值。

案例 1-5

公司E每年年末都用结余资金100万元购买年收益率为10%的银行理财产品，结余资金从未取出，滚动投资到第三年年末公司E的银行理财账户中会有多少钱？

案例分析：从图1-18中可以看到，第一年年末存入的100万元在第三年年末的复利终值是121万元，第二年年末存入的100万元在第三年年末的复利终值是110万元，第三年年末存入的100万元在第三年年末的复利终值仍是100万元。所以这样一个3年期的普通年金终值是：121+110+100=331（万元）。

图1-18 每年存100万元、利率10%的年金终值

普通年金终值也可以通过一个公式进行计算

式中，PMT代表年金；是复利终值系数。

普通年金终值也可以通过三种方式求得。

（1）查表

通过查附录普通年金终值系数表，查贴现率为10%、期限为3年对应的普通年金终值系数为3.31。然后将年金额100万元乘以3.31，即可得到该普通年金终值是331万元。

（2）使用卡西欧财务计算器

按复利计算模式键，依次输入n=3，I%=10，PMT=-100，然后将光标移动到FV，按键，可求得FV=331（万元）。

在这里，仍然使用的是复利计算模式。但变量不再是n、I、PV和FV这四个变量之间的换算，而是变成了n、I、PMT和FV这四个变量的换算。其中的PMT指的就是年金额。但这里的年金计算还与期初（Begin）或期末（End）有关，并且与每年的支付次数（P/Y）和计息次数（C/Y）有关。

第一行的“Set：End”表示是期末年金。默认状态下是“End”。按键可改变为“Begin”。

PMT输入的符号与FV的符号也是相反的，代表一方是投入，另一方是收取。

P/Y表示每年的收付次数。如果按揭贷款，比如每年按月还款的话，P/Y是12。

C/Y表示每年的计息次数。如果每年是按月计息，则C/Y是1。

默认状态下P/Y=1，C/Y=1。在例6中使用的是默认的P/Y和C/Y，因为是按年存款，按年计息。

（3）使用Excel财务函数

打开Excel程序，找到财务函数中的FV函数，点开后分别输入Rate=0.1，Nper=3，Pmt=-100，即可求得FV=331（万元）。函数界面见图1-19。

图1-19 Excel财务函数普通年金终值求解实例（截图）

2.普通年金额

案例 1-6

公司F在5年后有一笔1000万元的债务需要清偿，如果公司F从现在起每年等额将结余资金购买理财产品用于5年后还债，假设理财产品收益率10%，每年需要等额购买多少元理财产品？

案例分析：可以将普通年金终值计算公式转换为

即每年需要购买163.8万元理财产品，才能在5年后有1000万元来偿还债务。

以上计算通过手工太复杂，仍然可以采用前述三种方法得到结果。

（1）查表

查阅普通年金终值系数表，查找贴现率为10%、期限为5年对应的普通年金终值系数是6.105。用年金终值1000除以6.105，得到年金额PMT为163.8（万元）。

（2）使用卡西欧财务计算器

按复利计算模式键，依次输入n=5，I%=10，FV=1000，然后将光标移动到PMT，按键，可求得PMT=-163.7974808（万元）。

（3）使用Excel财务函数

打开Excel程序，找到财务函数中的PMT函数，点开后分别输入Rate=0.1，Nper=5，Fv=1000，即可求得PMT=-163.7974808（万元）。函数界面见图1-20。

图1-20 Excel财务函数普通年金额求解实例（截图）

3.普通年金的现值

普通年金现值是指为在每期期末取得相等金额的款项，现在需要投入的金额。

案例 1-7

公司G在未来3年里每年年末都有一笔10万元的等额债务要偿还，公司G决定单独设立一个理财账户用于偿还这笔未来3年的债务，如果理财账户的年收益率为10%，公司G应该现在向这个理财账户里投入多少资金才能保证未来3年的债务能得到清偿？

案例分析：从图1-21来看，第一年年末需要偿还的债务10万元贴现到当期是100000乘以0.9091等于90910（元），第二年年末需要偿还的债务10万元贴现到当期是82640元，第三年年末需要偿还的债务10万元贴现到当期是75130元。将3年需要支付的房租现值全部加总，就可以得到普通年金的现值是248690元。即公司G只需要向银行理财账户存入248690元即可以满足未来3年的偿债需求。

从这个例子中可以看到，利用货币的时间价值不需要存入300000元，只需要存入248690元即可，可节省51310元。

图1-21 普通年金现值示意图

普通年金现值的计算公式是

式中，普通年金现值系数为。

（1）查表

查阅普通年金现值系数表，查找贴现率为10%、期限为3年对应的普通年金现值系数是2.487。用年金额100000乘以2.487，得到普通年金现值248700（元）。

（2）使用卡西欧财务计算器

按复利计算模式键，依次输入n=3，I%=10，PMT=100000，然后将光标移动到PV，按键，可求得PV=-248685.1991（元）。

（3）使用Excel财务函数

打开Excel程序，找到财务函数中的PV函数，点开后分别输入Rate=0.1，Nper=3，Pmt=100000，即可求得PV=-248685.1991（元）。函数界面见图1-22。

图1-22 Excel财务函数普通年金现值求解实例（截图）

二、预付年金

预付年金是指在每期期初收取或支付的年金，又称即付年金或先付年金。预付年金与普通年金唯一的区别就是收付时间不一样，普通年金是期末支付，而预付年金是期初支付。预付年金与普通年金一样，也有现值和终值，见图1-23。

图1-23 预付年金示意图

1.预付年金的终值

案例 1-8

公司H为员工设置了一个养老基金账户，每年年初允许员工将公司发的年终奖投到这个养老基金账户中。如果员工每年定投20000元，年均收益率是8%，那么6年后这个员工的养老基金账户中的资金能够积累到多少元？

案例分析：预付年金的终值计算公式为

式中，是预付年金的终值系数。

（1）查表

由于没有预付年金终值系数表，所以只能查普通年金终值系数表（常简称年金终值系数表，见附录C），利用普通年金终值系数来计算预付年金终值系数。

普通年金的终值系数是。

比较一下普通年金终值系数和预付年金终值系数后，可以看出两个系数的差异主要在于年份上。由于同样年份的预付年金比普通年金要早存入1年，因此可多获得1年的利息，所以预付年金的终值系数计算复利的时候是用（n+1）。预付年金的终值系数可表达为

（n年的）预付年金的终值系数=（n+1）年的普通年金终值系数-1

例1-8中应该查7年的普通年金终值系数，查出后还要减1。查表可得7年8%的普通年金终值系数为8.923，再减去1，就得到7年的预付年金终值系数为7.923。

所以最后的计算结果为FV=20000×7.923=158460（元）。

（2）使用卡西欧财务计算器

按复利计算模式键，注意将“Set：End”修改为“Set：Begin”。依次输入n=6，I%=8，PMT=-20000，然后将光标移动到FV，按键，可求得FV=158456.0672（元）。

（3）使用Excel财务函数

打开Excel程序，找到财务函数中的FV函数，点开后分别输入Rate=0.08，Nper=6，Pmt=-20000，需要注意的是在Type中输入1，表示是预付年金，即可求得FV=158456.0672（元）。函数界面见图1-24。

图1-24 Excel财务函数预付年金终值求解实例（截图）

2.预付年金的现值

案例 1-9

公司I拟采用分期付款的方式支付一笔货款，期限是6年，每年年初付200万元，设银行利率为10%，该项分期付款相当于一次现金支付的购价是多少？

案例分析：预付年金的现值计算公式为

式中，是预付年金现值系数。

比较一下预付年金现值系数和普通年金现值系数可以发现，预付年金现值系数的年份是（n-1），而普通年金现值的系数是n。预付年金现值系数还可表达为

（n年）预付年金现值系数=（n-1）年的普通年金现值系数+1

（1）查表

例1-9中查普通年金现值系数表，不过要查5年的，查得的年金系数还要加1。查表得5年10%普通年金现值系数为3.791。

最后求得的预付年金现值为PV=200×（3.791+1）=958（万元）。

（2）使用卡西欧财务计算器

按复利计算模式键，注意将“Set：End”修改为“Set：Begin”，依次输入n=6，I%=10，PMT=-200，然后将光标移动到PV，按键，可求得PV=958.1573539（万元）。

（3）使用Excel财务函数

打开Excel程序，找到财务函数中的PV函数，点开后分别输入Rate=0.1，Nper=6，Pmt=-200，即可求得PV=958.1573539（万元）。函数界面见图1-25。

图1-25 Excel财务函数预付年金现值求解实例（截图）

三、永续年金

永续年金，顾名思义，是指永远持续的一系列现金流。永续年金的现值有一个简便的计算公式

PV=C/i

式中，C是永续的现金流。

永续现金流的现值公式可以用在股票估值中。当一个成熟的公司能给股票投资者获得稳定的分红时，就可看作一个永续现金流。

案例 1-10

公司J每年的优先股分红金额为10元/股，如果公司J一直持续运营并能维持同样金额的分红，假设利率为每年10%，这一优先股的现值是多少？

案例分析：优先股的分红相当于永续年金，可以直接用PV=10/0.1=100（元）来计算。即一个每年10元/股的永续现金流的现值为100元，也就是说公司J每股优先股价值100元。