1.2 分数阶系统性能分析及控制器设计概述
1.2.1 分数阶数学模型的概念
在实际生活中，很多物理过程都能借助分数阶微分方程进行建模和仿真，分数阶微积分理论是求解分数阶微分方程的基础。许多学者都对分数阶微分方程的求解过程进行了系统研究，但是解析解和数值解都有局限性，这些局限性促使人们寻找有效的工具来分析分数阶微分方程的解的定性问题。其中，线性、非线性分数阶微分方程初值、边值问题解或正解的存在性引起了国内外学者的广泛关注。大多数研究方法都将分数阶问题转化为等价的积分方程，再利用非线性分析方法（如不动点定理、上下解方法等）探讨分数阶微分方程初值、边值问题解或正解的存在性、多重性和唯一性。
随着分数阶微积分在各领域的广泛应用，分数阶系统理论分析变得更加重要。许多学者对其进行了研究，非线性三角系统是非线性系统的研究热点，很多实际工程问题的数学模型（如球—杆系统、惯性轮倒立摆和具有旋转激励的平移振荡器等系统的数学模型）都可以在经过适当的坐标变换后，转化为非线性三角系统。时滞现象普遍存在于实际动态控制系统中，在信息系统的检测、分析和传递过程中，时滞现象难以避免，是影响系统运行的重要因素，复杂的非线性特征和时滞形态使非线性时滞系统的解析解难以获得，其研究需要有较高的技巧性。
分数阶混沌系统是研究较多且较成熟的分数阶系统，分数阶混沌数学模型的出现激发了科研人员的研究热情，分数阶混沌领域的研究吸引了越来越多的关注，随着基础理论和方法的提出，与分数阶混沌系统同步控制有关的文章越来越多，研究越来越深入。但研究的主要内容都针对系统参数已知的混沌系统模型，对含未知参数的分数阶混沌系统的研究较少。在实际工程应用中，很多参数难以预测，可能无法准确给出具体的分数阶混沌数学模型，本书充分考虑此类情况，研究并得出更具实际意义的理论成果。
1.2.2 分数阶系统稳定的概念及范畴
Matignon最早得出了分数阶系统稳定结论[1]，其基于Caputo分数阶导数定义进行线性分数阶系统稳定性分析，将该问题转化为求系统矩阵的特征值问题。该研究结论的得出标志着分数阶系统稳定理论正式发展起来。由于分数阶系统结构具有复杂性，最初的分数阶系统稳定性分析主要集中在线性系统范畴，随着分数阶系统稳定性分析的深入，分数阶非线性系统的稳定性分析逐渐获得了越来越多的关注。分数阶非线性系统的稳定性分析主要基于系统结构选择合适的Lyapunov函数，但目前还没有统一的分数阶系统Lyapunov函数构建方法，因而主要借助整数阶系统Lyapunov函数进行适当扩展或通过引入滑模控制技术等构建合适的稳定性函数，并进行稳定性分析。
分数阶非线性系统的稳定性分析已有较成熟的理论成果。李岩基于Mittag-Leffler稳定的概念[2]，首次给出了分数阶系统Lyapunov稳定理论，为构建Lyapunov函数、判断分数阶系统稳定性提供了依据。Trigeassou通过引入分数阶频率分布模型[3]，将间接分数阶Lyapunov函数构建方法引入分数阶非线性系统的稳定性分析，该方法的求导结果清晰。上述成果促进了分数阶系统稳定性分析的发展，并逐步渗透到时滞、切换、自适应控制、神经网络、多智能体等研究领域，但由于分数阶算子具有复杂性，分数阶数学模型在各种实际系统中的稳定性研究仍面临诸多困难和挑战。
分数阶系统研究的基础是分数阶系统稳定和镇定控制研究。由于分数阶算子具有复杂性，分数阶系统稳定和镇定控制研究比整数阶系统复杂得多。整数阶系统稳定和镇定控制研究有很多成熟的理论成果。即使在阶数为1时，分数阶系统转化为整数阶系统，也不能将整数阶系统的研究成果直接应用于分数阶系统，因为对于分数阶非线性系统来说，分数阶算子的引入使系统由有限维集总系统变为无限维分布系统。传统整数阶非线性系统普遍使用的Lyapunov函数设计方法在分数阶非线性系统中的应用十分困难，一是分数阶算子一般不能交换，具有非奇异性；二是分数阶算子求导法则复杂，目前分数阶复合函数求导方法仍没有实质性突破。
1.2.3 分数阶控制器的概念和特点
目前，人们可以从两个方面对分数阶控制器的设计问题进行描述：被控对象是传递函数的频域描述，被控对象是状态空间的时域描述。分数阶控制器（线性）主要有TID控制器[4]、CRONE控制器[5]（非整数阶鲁棒控制器）、分数阶PIλDμ控制器[6]和分数阶超前滞后补偿器[7]等类型。从理论上讲，分数阶控制器可以控制任意阶线性可控的被控对象，Podlubny 研究发现，采用分数阶控制器控制分数阶数学模型描述的被控对象可以获得更好的动态性能。
TID控制器在结构上用分数阶环节（
）代替传统PID控制器的比例环节，使系统传递函数接近最优，它不仅继承了传统 PID控制器的优点，还给出了动态响应性能和扰动抑制结果。1993年，Oustaloup提出了CRONE控制器，使用 Bode 图、Nichols 图等设计方法，具有清晰的物理意义，在工业控制领域得到了广泛应用。虽然基于经典超前滞后校正思路提出的分数阶超前滞后补偿器也具有较好的性能，但是它的设计过程和分析方法有待进一步研究与探索。PID控制器结构简单、操作方便、容易实现，得到了广泛应用，因此，Podlubny 在其基础上提出了分数阶 PIλDμ控制器，为分数阶系统控制理论的发展奠定了基础。
目前，Podlubny 仍活跃在分数阶系统控制理论研究的前沿，并指导了多个优秀的研究团队。因为多了微分阶数和积分阶数两个可调参数，所以分数阶 PIλDμ控制器具有更好的控制效果；因为其在一定范围内对本身和被控对象的参数变化不敏感且鲁棒性强，所以分数阶 PIλDμ控制器成为当前应用最广泛的分数阶控制器。Podlubny 和王振滨[8]已经证明，与整数阶 PID 控制器相比，分数阶PIλDμ控制器在稳定性和动态性能方面具有非常大的优势。
上述控制器对分数阶线性系统有较好的控制效果，但是并不适用于结构复杂的分数阶非线性系统。目前，分数阶非线性系统控制是国内外学者的研究热点。Aghababa[9]针对分数阶陀螺仪系统设计了分数阶非线性控制器；殷春[10]设计了鲁棒控制器，能很好地处理受未建模动态和外界扰动项影响的分数阶非线性系统稳定问题；张若洵[11]基于滑模控制技术，设计了参数自适应律和非线性控制器，成功实现了分数阶系统的未知参数辨识。研究人员往往通过在控制器中引入相应项来抵消原始系统中非线性项的影响，采用这种方法设计的控制器结构复杂、实现困难、控制代价高。因此，如何设计简单、易实现的控制器，以保障状态空间描述的一般形式分数阶非线性系统的稳定性已成为当前的研究热点。