第1章 绪论

1.1 研究背景及意义

分数阶微积分理论是分数阶系统研究的基础，分数阶微积分理论古老且新颖，古老在于分数阶微积分理论提出距今已有 300 多年，几乎与整数阶微积分理论提出的时间相当，但由于缺乏相应的应用背景和计算工具，分数阶微积分理论及应用研究一直没有太多实质性进展，随着计算机技术的发展及研究的深入，基于分数阶微积分理论建模的分数阶系统得到越来越多研究者的关注，成为热点研究内容之一。

最早的分数阶微积分理论研究成果可以追溯到 1695 年西方学者对二分之一阶导数的讨论，欧拉、拉普拉斯、莱布尼茨、傅里叶、黎曼、Caputo 等数学家将很多时间用于发展和完善分数阶微积分理论。在众学者的努力下，19世纪，逐渐出现了较为系统的分数阶微积分理论研究。1812年，拉普拉斯以积分形式给出的分数阶导数定义，被认为是分数阶导数的第一个正式定义。1832 年，Liouville 以级数形式给出了分数阶导数定义，后来 Liouville 和Riemann 对其进行了完善，形成了目前广泛应用的 Riemann-Liouville 分数阶微积分定义。1967年，Caputo结合前人的研究成果，给出了Caputo分数阶导数定义，因为该定义具有较明确的初始条件，所以广泛应用于多种分数阶系统的研究中。

20世纪中期以前，由于缺乏相应的应用背景，分数阶微积分理论的发展主要集中在纯数学领域。随着交叉学科的发展，分数阶微积分理论的应用越来越广泛，Podlubny、Caponetto、Mainardi、陈文、陈阳泉等学者的研究成果为分数阶微积分理论及应用的研究奠定了基础。分数阶微积分理论是整数阶微积分理论的延伸与拓展，用于研究任意阶微分、积分算子的特性及其应用。分数阶微积分的阶数不一定是整数，可以是小数、实数甚至复数。因此，对分数阶更确切的描述应该是“非整数阶”，目前大量文献仍然采用“分数阶”的说法，研究结论也大多局限于0和1之间的实数。

分数阶微积分的发展几乎与整数阶微积分的发展同步，具有广泛的理论意义与实际应用价值。自然界的许多非线性问题都可以通过分数阶微积分描述。例如，在扩散空间模型中，当一种微粒的扩散传播规律与古典的布朗运动模式不一致时，分数阶导数对模拟这种微粒反常运动具有非常关键的作用。1974 年，Ross 组织的第一届分数阶微积分及其应用会议在纽黑文大学召开，这是与分数阶微积分有关的第一次会议；1982年，Mandelbrot第一次指出在自然界中存在大量的分数维数及整体和部分之间的自相似的例子，分数阶微积分在越来越多的领域中发挥着越来越重要的作用。与整数阶模型相比，分数阶模型能够更准确地描述自然现象，模拟自然界的物理现象和动态过程。例如，用传统整数阶微分方程不能描述许多复杂的热传导现象、渗透现象，但用分数阶微分方程描述十分简单。

研究表明，与传统整数阶微分方程相比，分数阶微分方程在电子、电气等领域及用于模拟各种真实材料时有明显优势。在控制领域，分数阶系统能真实反映系统情况、优化控制器设计和提高控制性能。因此，研究分数阶系统具有非常重要的意义。分数阶微积分具有全局和长时记忆的特点，适用于描述具有记忆和历史依赖的系统或物理过程，能精确反映系统内部的真实特性。随着计算机技术的发展，分数阶微积分为多个学科的发展提供了新的理论基础和数学工具。例如，半无限损耗传输线的电压电流关系，以及当热量通过半无限固体扩散时，热流与温度的半导数关系。随着分数阶微积分理论的逐步发展和完善，分数阶微积分不仅在物理和电气领域发挥了重要作用，还推广和应用于经济、生物医学、信号安全、机器人技术、化学合成及航空航天等领域，分数阶系统控制是应用的重要内容之一。

分数阶系统控制的应用可以分为两大类：分数阶系统控制器设计和在整数阶系统中引入分数阶控制器。这两大类应用都需要用到分数阶微分方程。整数阶微分方程的求解有较成熟的理论分析方法，因此，整数阶系统稳定性分析可以通过求解整数阶微分方程得到；分数阶微分方程的解的个数不是有限个，且分数阶系统具有弱奇异性和全局性，因此，分数阶系统稳定性分析比整数阶系统稳定性分析复杂得多。本书基于已有成果，进一步分析分数阶系统稳定性及一些控制问题。