2.5 分数阶系统稳定理论

1.分数阶线性系统

考虑下列分数阶线性系统

式中，，，分数阶阶数，如果，则将系统（2-41）称为Commensurate-Order System，否则称为Incommensurate-Order System。针对式（2-41），有下列稳定性判别理论。

（1）如果，则式（2-41）是渐近稳定的。

（2）令，的最小公倍数为m，如果，，λ是式（2-42）的解，则系统（2-41）是渐近稳定的。

分数阶线性系统的稳定域如图2-1所示。

2.分数阶非线性系统

对分数阶线性系统的稳定理论进行扩展，可以得到分数阶非线性系统的稳定理论

式中，分数阶阶数0＜α＜1，状态变量， Rⁿ表示n 维实数列向量，向量函数。当平衡点处的矩阵为且矩阵特征值满足时，平衡点稳定，系统（2-43）是渐近稳定的^[10]。

对于任意分数阶系统，x=0是平衡点，假设存在Lyapunov函数V [t， x（t）]：[0，∞）× D→R连续可微，（ i=1，2，3）为K类函数， x满足局部Lipschitz条件，如果有

式中，t≥0， x∈D，α∈（0，1），则x=0是Mittag-Leffler稳定的。如果在Rⁿ上条件亦满足，则x=0是Mittag-Leffler全局稳定的。

对于任意分数阶系统，x=0是平衡点，假设存在Lyapunov函数V [t， x（t）]：[0，∞）× D→R连续可微， x满足局部Lipschitz条件，如果有

式中，t≥0，x∈D，α∈（0，1），、、、a、b为正整数，则原系统是渐近稳定的。

当受控系统对收敛特性的要求较高时，往往需要保证受控系统的有限时间稳定性，对于分数阶非线性系统，如果存在一个Lyapunov函数满足

式中，α∈（0，1）为分数阶阶数，，，则系统（2-46）是有限时间稳定的^[11]，且系统状态轨迹收敛到平衡点的时间为

3.多时滞的线性分数阶系统

考虑n维多时滞线性分数阶系统^[12，13]

式中，∈（0，1）为分数阶求导的阶数，为状态向量，时延，。为式（2-48）的系数矩阵。

对系统（2-48）进行拉普拉斯变换，得到

式中，为状态向量的拉普拉斯变换，为剩余的非线性项。

可以得到系统（2-48）的特征矩阵为

如果特征方程det [Δ（s）]=0的所有根均有负实部，则系统（2-48）的零解是Lyapunov全局渐近稳定的。

当时，如果系数矩阵 A 的所有特征值λ满足，且特征方程det [Δ（s）]=0，对任意的（ i， j=1，2，…， n）无纯虚根，则分数阶系统（2-48）的零解是Lyapunov全局渐近稳定的。