第2章 分数阶微积分的基础理论

2.1 分数阶微积分的起源

分数阶微积分起源于下列问题：当微积分方程阶数 n 不是整数时，它的导数的含义是什么？常用的整数阶导数的含义及性质是否能直接扩展到非整数阶导数？该问题最初由著名数学家洛必达于1695年9月30日提出，在他与莱布尼茨的信中提到了关于的问题。后来，分数阶微积分引起了其他数学家的注意，许多学者为分数阶微积分的发展做出了贡献。1819 年，Lacroix成为第一位发表分数阶导数相关论文的数学家^[1]。

以为例，m为正整数，n阶导数可表示为^[2]

式（2-1）可转化为

令m=1， n=0.5，可以得到

1822年，Fourier^[3]得到结论：如果式（2-4）和式（2-5）成立，则对于任意的μ，可以得到式（2-6）。

1823年，Abel推想^[4]

得到

根据 Abel的研究，Liouville 于 1832年提出了分数阶微积分的定义，这是分数阶微积分的第一个合理定义。此后，在众多杰出科学家（如 Laplace、Riemann、Grunwald等）的不懈努力下，分数阶微积分得到了快速发展，逐渐形成了独特的理论体系，并成为现代科学的重要组成部分。

最初，分数阶研究仅集中在纯数学理论方面，并未关注分数阶的控制应用研究。20世纪80年代，分数阶研究开始向各领域延伸和发展，Mandelbort发现在自然界及某些应用领域中存在分数维现象。21世纪，分数阶微积分的研究成果不断增加，事物本质特性分数阶模型能更好地表示具有分数阶属性的事物^[5]。

随着计算机技术的快速发展，分数阶微积分必然得到快速发展和广泛应用。分数阶有较强的记忆性，在实践中，分数阶数学模型更适用于描述具体事物的细节。近年来，分数阶在流体力学、控制学、生物学等应用学科得到快速发展和广泛应用，很多行业和领域的研究者逐渐意识到分数阶模型的研究具有重要意义。分数阶微积分实际上是针对任意阶的微分和积分，通常来说，分数阶微分与积分算子统称为微积分算子，记为，其具体描述为

式中，q为系统微积分阶数， a、t分别为积分运算的下限和上限。

分数阶微积分有多种定义，如Grunwald-Letnikov（G-L）定义、Riemann-Liouville（R-L）定义、Caputo定义、Sequential定义、Nishimoto定义等。常用的分数阶微积分定义为Grunwald-Letnikov（G-L）定义、Riemann-Liouville （R-L）定义和Caputo定义。虽然分数阶微积分有多种定义，但是它们在某种特定条件下是等价的。