1.2.6　向前！只为快乐

数学的精髓全在于自由。

——格奥尔格·康托尔（Georg Cantor），《论文集》（Gesammelte Abhandlungen）

我们讨论了在数学中什么是任意，什么是必然，接下来我们来看看，要构造标准的斜率定义，并成为唯一的可能，还需要哪些假设。

让我们进一步挖掘关于陡峭度的日常观念，看一看我们的数学定义必须具备哪些性质。到目前为止，我们还没有理由认为（平移的同时爬升）要比（爬升的同时平移）好。不过虽然后面这个完全也可以用来度量陡峭度，却有一个奇怪的特性。

根据“爬升的同时平移”的定义，水平物体的陡峭度为无穷大，完全垂直的物体的陡峭度则为0。也就是说，如果两点之间的垂直距离为0（v=0），则就变成，无穷大（至少可以说接近无穷，因为=很大，而且随着很小的一块变得更小，很大的一块就变得更大）。同样，如果两点间的水平距离为0（h=0），则“爬升的同时平移”的距离为0。这不能说是错误，但不符合我们的习惯。毕竟我们是这个世界的主宰，因此我们可以合理地要求平直的事物陡峭度为0。让我们正式写下来：

这排除了许多选项。例如，排除了，排除了，排除了，只要是水平事物（v=0）的陡峭度不等于0的都排除了。这很好！我们把幸存下来的选项列出来：

1.仍然成立，这是“平移的同时爬升”。

2.仍然成立，这是“平移的同时爬升”的平方。

3.仍然成立。这个太疯狂了。

仍然有无穷多种候选定义，但其中许多都很怪异。我们完全可以选择自己喜欢的然后结束，不过我们再坚持一下，看看要得出标准定义还需要哪些假设。

我们还没有说过不同的斜坡之间如何关联。例如，说一个斜坡比另一个“陡峭两倍”是什么意思？我们还没有认真想过，因此目前还没有正确答案。但我们想要让我们发明的概念对我们有用，因此让我们想一下当我们说“陡峭两倍”时的意思是什么。假设我们有两个点，高一些的点在右边，两点连起来就像一个斜坡。然后假设我们抬升较高的那个点，让垂直距离加倍而水平距离保持不变。也就是说，将斜坡的高度加倍，水平宽度保持不变。现在在一定程度上我们可以说，如果两个斜坡的水平宽度相等，而其中一个的高度是另一个的两倍，则陡峭度也应当是另一个的两倍。同样，这里也没什么理由要求我们必须这样想，但其他想法似乎更糟：例如，说垂直距离加倍陡峭度应当乘以72似乎没什么道理，因为说不清楚为什么这个比其他无穷多种选择更好。而认为高度加倍陡峭度也应当加倍则具有一定的简单性和优雅性。让我们正式写下来：

应当如何缩写这个思想呢？v加倍而h保持不变，陡峭度应当加倍，因此我们可以缩写成这样：

S（h，2v）=2S（h，v）。

这里我们再一次尝试将定性转化为定量。同前面一样，这里面的2没有什么特别的。我们想要表达的思想要比这个更具一般性。例如，基于同样的理由，如果不改变水平距离，而垂直距离增大到3倍，则陡峭度也应当是原来的3倍。因此我们可以将无穷多条语句缩写为一条语句，就跟前面一样：

S（h，＃v）=＃S（h，v），

很好。现在可以再排除一些候选定义。还有哪些候选符合这个要求呢？我们来试一下。对于候选定义S（h，v）≡v如果将v加倍，则得到

可见如果垂直距离加倍，陡峭度将增大到原来的四倍。因此我们可以将它排除，它不符合日常经验告诉我们的第四件事情。好吧，我们刚才检验了当＃等于2的情形，那么如果＃等于3、5或119呢？我们不用逐项检验这些指数（那将需要无穷长时间），可以让指数保持未知来一次性检验。与前面的论证类似：

而所有这些都必须等于2S（h，v），否则就违反了日常经验告诉我们的第四件事情。因此当高度加倍时要让陡峭度也加倍，2^＃就必须刚好等于2。而这只有当＃等于1时才成立，因此几乎排除了所有可能！我们将幸存的列出来：

1.仍然成立，这是“平移的同时爬升”。

2.仍然成立，这是“3乘以平移的同时爬升”。

3.仍然成立，这是“974乘以平移的同时爬升”。

除了“某个数乘以平移的同时爬升，”其他的基本上都被前面列出的某项要求排除了。可见在教科书讲“斜率是平移的同时爬升”时掩盖了多少推理过程。留下来的所有定义都可以视为S（h，v）≡（某个东西），因此我们来看看直觉思维对（某个东西）是多少有何想法。

假设重力改变一点方向。则以前水平的东西都将有一些倾斜。如果重力方向改变90度，则原来水平的东西将变成垂直。现在，如果“往上”的方向改变90度，则一切的陡峭度都将改变……除了一件事情：刚好介于垂直和水平之间的斜坡。也就是说，如果重力倾倒，水平距离与垂直距离相等的斜坡（h=v）将是唯一陡峭度不变的东西。形为S（h，v）≡（某个东西）的陡峭度定义都会将这个特殊的斜坡的陡峭度赋值为（某个东西），因为这个特殊的斜坡具有v=h的特性。因此认为（某个东西）是多少就等同于认为这个特殊斜坡的陡峭度是多少。

我们来考虑一些可能性。假设我们让（某个东西）等于5。则这个特殊的斜坡在重力倾倒前后的陡峭度都是5，但其他斜坡就会很怪异。v=3和h=1的斜坡的陡峭度是15，重力倾倒后的陡峭度则是。这没有错，但是显得相当随意，重力倾倒前后的陡峭度之间没有以一种好看的方式关联起来。如果纯粹出于美学原因将特殊山坡的陡峭度定为1，则其他斜坡的表现会好得多。这样陡峭度为3的斜坡在重力倾倒后的陡峭度就为。陡峭度为的斜坡就变为。这看起来简单多了。如果我们纯粹出于美学动机这样选择，就会得到

作为唯一的可能。我们可以写下来：

现在你知道了在学校里他们到底有多少东西没有告诉你。在发明数学概念时都是这样，我们最终得到的定义是源自各种变换和美学的奇怪混合：我们的定义具有的一些性质是因为我们希望它符合我们的日常观念，还有一些是因为我们希望得出的定义能够尽可能的优雅简单，而衡量优雅和简单的标准则来自我们人类自己。