1.2.5 不是你想的那种无政府主义
——保罗·费耶阿本德（Paul Feyerabend），《反对方法》（Against Method）
我们先停下脚步，反思一下我们到底想做什么。难道我们要不断深入挖掘我们的直觉认识，找出限制条件，排除所有候选，直到只剩一种？没有必要！选择“我们到底想做什么”完全取决于我们自己。
通过不断将我们关于陡峭度的日常观念转变成缩略形式，我们发现陡峭度的数学概念必须（a）只依赖于位置的变化v和h，而不是位置本身，并且（b）只依赖于
或
。但这还是没有告诉我们为什么课本上都选择“平移的同时爬升”（即
）而不是其他形式，例如
或
。是否以及何时该在其中选择一个，并放弃其他选择，这是我们不得不面对的一个哲学问题，只要我们想发明数学概念，这个问题就会出现。这时有两种策略：
1.坚持法。我们可以通过以下方法不断排除候选定义：（a）分析陡峭度概念的性质，（b）进行缩写，（c）抛弃不能成立的，（d）不断重复这个过程直到只留下唯一的可能定义。当然，就算最终只会有一个留下来，我们单凭观察各种限制条件也不一定看得出来，因此我们只能说服自己相信最后的确只会留下一个候选。能这样当然很好，这样我们就能从最根本的细节上搞清楚我们的定义的由来。
2.放弃法。我们可能会对不断挖掘思维，直到榨干最后一点直觉的过程感到厌倦。也许我们的日常观念不足以锁定独一无二的定义。因此我们干脆放弃。我们可以说，“我只想要一些能满足我的要求的陡峭度定义，我有几个选择，只要挑一个就行。”是谁决定我们挑哪一个呢？当然，是我们自己。我们只需在余下的候选中挑一个我们认为“最漂亮”或者最优雅的就行，标准取决于我们自己。事实上在数学中这种事情比我们想象的要多。东西是我们自己发明的。我们想怎么做都行。我们可以无中生有，然后给它们命名赋予它们生命。如果存在无政府主义，这就是！
好吧，等一下。最后这句话可能会让你觉得我认为没有“数学真理”这回事，因为都是我们自己构造的。我绝不是这个意思。无政府主义通常是指没有人为的法律，而不是没有物理定律。
在无政府状态下，没有“法律”，但你仍然不能飞，因为有“重力”定律。两者是截然不同的概念。不受教室束缚的数学是第一种意义上的无政府主义：我们可以做自己想做的，但我们不能让一切都为真。
我们可以选择定义事物的方式，我们也可以选择想要研究的对象，但一旦我们对谈论的内容达成了一致，就会发现对于我们新发明的研究对象，已经有一些先天存在的事实，我们要做的是去发现这些事实。[1]
总结一下，现在我们可以放弃其他的，选择“平移的同时爬升”作为我们认为最漂亮的定义，然后继续往下发明微积分。不过，必须强调的是，我们也可以选择“爬升的同时平移”（倒过来的版本）或“42乘以（平移的同时爬升）的立方”作为我们认为最漂亮的定义！如果我们用这些非标准定义去发展微积分，所有的公式都会与标准教科书稍有不同，但它们本质上说的还是一回事。
[1]对于那些知道“柏拉图主义”和“形式主义”的人，以及认为这一段是为这些观点进行辩护的人，要强调一下：不是。