第二章 河畔几何学
测量河宽的方法
前面我们说过，不用爬到树上，照样能测量出大树的高度。那么，假如有一条河，不渡过河去，能不能测量出它的宽度呢？从几何学的原理上来讲，这是行得通的。和测量大树的高度一样，我们可以用同样的方法，构造几何图形，借助其他可以测量的距离计算出河的宽度。
实际上，这样的方法非常多，接下来，我们着重介绍几种比较简单的方法。
方法一：三针仪测距法。
在该方法里，我们要用到图25所示的三针仪。其实，该仪器的制作非常简单，首先在一块木板上画一个等腰直角三角形，再分别于3个顶点上钉一个大头针，制作就完成了。
如图26所示，我们站在河岸的点B上，要将河的宽度测量出来，也就是AB的长度。接下来开始测量。
我们站到河岸上的点C处，将三针仪放在眼睛的前面，闭上一只眼睛，用另一只眼睛看向BA，让这两个点正好与三针仪上的点a、b位于同一条直线上。此时，我们站立地方正好在AB的延长线上。
除此之外，保持三针仪位置不动，看向b、c两点的方向，找到点D, D点正好被大头针b、c挡住。这时，线段DC与线段AB垂直。我们在C点钉一个小木桩，然后拿着三针仪沿着直线CD走到点E。如图27所示，C点的木桩被大头针b挡住时，点A刚好被大头针a挡住。于是，三角形ACE就产生了，并且，角C为直角，角E与角A相等，都是45°，可知AC与CE相等。
图25 三针仪测距法
图26 用三针仪确定第一个位置
图27 用三针仪确定第二个位置
只要测量出CE的距离，就能知道AC的长度，然后再减去BC，河的宽度AB就算出来了。
但要注意的一点是，在测量的现实过程中，很难确保三针仪静止不动，因此可能会出现较大的误差。最好的解决方法就是将三针仪在一根木杆的上端水平固定，然后将木杆底端插进地里。
方法二：全等三角形测距法。
该方法和第一种方法有点相似。
首先，在AB的延长线上找到点C，站在点C处，找出与AC垂直的直线CD。到这里，跟方法一完全相同，但接下来就不一样了。
如图28所示，在直线CD上随便找一个点F，然后在CF的正中间位置，我们标记为点E。很明显，CE与EF相等，分别在点E和点F处插一个小木桩。在点F处找到与CF垂直的垂线FG，沿着FG的方向前进，找到点H使得从点H看向点A时，点A正好被点E的小木桩挡住，即点H、E、A在同一条直线上。
图28 全等三角形测距法
最后，利用全等三角形的性质，我们能够得出FH=CA。然后，用FH的长度减去BC的长度，就是河的宽度AB。
与方法一相比，这种方法应用得更广泛。并且，在地形允许的前提下，可以分别用这两种方法进行测量，以检验测量结果的准确性。
方法三：相似三角形测距法。
实际上，我们可以对方法二作一些改进。在直线CD上，不用找出两段长度相等的线段，而是找出另外一个点E，使点F满足以下条件：CE=4EF，即CE的长度是EF的长度的4倍，如图29所示。后面的计算方法和前面一样，沿直线FC的垂直方向FG找出点H，使得从这一点看向点E时，正好挡住点A。不过，这里的FH不等于AC，而是AC的
。原因是，图中的三角形ACE与EFH为相似三角形，而非全等三角形。借助下面的比例关系：
AC∶HF=CE∶FE=4∶1
图29 相似三角形测距法
就能够得知线段FH的长度，乘以4就是AC的长度，然后减去线段BC的长度，即知道河的宽度AB。
与方法二相比，该方法的优点在于，测量时不需要太大的地方就能测量出河的宽度。
方法四：直角三角形测距法。
该方法根据直角三角形的性质：若一个直角三角形有一个锐角为30°，则跟这个锐角相对的一条直角边的长度正好与这个直角三角形斜边的一半相等。该性质很容易求证，接下来我们就来证明一下。
如图30所示，直角三角形ABC的角B等于30°, AB是这个三角形的斜边， AC与BC则是三角形的两条直角边。从图中可以得出，若我们以BC为轴，将三角形ABC转到另外一边，则将三角形ABC转到另外一边，一个新的三角形ABD就诞生了。点C两边的两个角都是直角，因此点A、C、D在同一条直线上。显然，在三角形ABD中，角A等于60°，角ABD是由两个30°的角合在一起的，因此也是60°。由等腰三角形的性质，我们可以得出AD=BD=AB，而AD=2AC。反之，
。
知道该性质后，我们就能用它来测量河的宽度了。
这里，我们必须用到一个特殊的三针仪。在该仪器上面，三角形不是等腰直角三角形，而是像图30中的三角形ABC一样，其中的一个直角边长度为斜边的一半，如图31所示。
这样的三针仪做好后，我们带着它来到图中的点C，使AC方向正好与三针仪上的斜边重合。看向三角形较短的一条直角边，找出CD的方向。利用三针仪，在CD上找出点E，使EA的方向正好CD与垂直。则30°角对应的直角边EC为AC的
，因此只要得到CE的长度，乘以2，再减去BC，就是要求的河的宽度AB。
图30 直角边等于斜边的一半
图31 直角三角形测距法