导读
GUIDE

如果欧几里得未能激发起你少年时代的科学热情，那么你肯定不会是一个天才的科学家。

——爱因斯坦

一、欧几里得生平

欧几里得大约生活在公元前330—前275年。除《几何原本》外，还有不少著作，如《已知数》《纠错集》《圆锥曲线论》《曲面轨迹》《观测天文学》等。遗憾的是，除了《几何原本》以外，其余的都没有留存下来，消失在了时空的黑暗之中。从某个意义上说，这就更增加了人类的黑暗。仅留世的《几何原本》，已让我们震撼了两千余年。

欧几里得的生平也已失传，据后世推断，他早年在雅典接受教育，熟知柏拉图的学说。公元前300年左右，受托勒密王（前364—前283年）之邀，他前往埃及统治下的亚历山大城工作，长期从事教学、研究和著述，涉猎数学、天文、光学和音乐等诸多领域。所著《几何原本》共有13卷，希腊文原稿业已失传，现存的是公元4世纪末西翁的修订本和18世纪在梵蒂冈图书馆发现的希腊文手抄原本。这部西方世界现存最古老的科学著作，为两千余年来用公理法[1]建立演绎的数学体系找到了源头。德摩根[2]曾说，除了《圣经》，再没有任何一种书像《原本》这样拥有如此众多的读者，被译成如此多种的语言。从1482年到19世纪末，《原本》的各种版本竟用各种语言出了1000版以上。明朝万历年间（1607年），徐光启和意大利传教士利玛窦把前六卷译成中文出版，定名为《几何原本》。“几何”这个数学名词就是这样来的。《几何原本》同时也是中国近代翻译的第一部西方数学著作。康熙皇帝将这个仅有前六卷的版本书当成智力玩具把玩了一生，但估计其理解也十分有限。

古籍中记载了两则故事，一则是说：托勒密国王问欧几里得，有没有学习几何学的捷径。欧几里得答道：“几何无王者之道。”意思是，在几何学里没有专门为国王铺设的大路。这句话成为千古传诵的箴言。另一则是说：一个学生才开始学习第一个命题，就问学了几何之后将得到些什么。欧几里得对身边的侍从说：“给他三个钱币，因为他想在学习中获取实利。”这两则故事，与他的光辉著作一样，具有高深的含义。

二、《几何原本》的贡献

《几何原本》从少量“自明的”定义、公理出发，利用逻辑推理[3]的方法，推演出整个几何体系，选取少量的原始概念和不需证明的命题，作为定义[4]、公设或公理[5]，使它们成为整个体系的出发点和逻辑依据，然后运用逻辑推理证明其他命题。它成为了人类文明的一块瑰宝，创造了人类认识宇宙空间和宇宙数量关系的源头，是人类历史上的一部科学杰作。逻辑并不是欧几里得开创的，而是以另一个希腊天才亚里士多德为代表，他的著名的三段论，开创了逻辑的基本面貌，提出了逻辑的基本建构。欧几里得是第一个将三段论应用于实际知识体系构建的人，他铸造了一部完整的逻辑演绎体系。他构成了希腊理性最完美的纪念碑。

两千余年来，所有初等几何教科书以及19世纪以前一切有关初等几何的论著，都以《几何原本》作为依据。“欧几里得”成为几何学的代名词，并且人们把这种体系的几何学叫作“欧几里得几何学”。

《几何原本》对世界数学的贡献主要是：确立了数学的基本方法学。

①建立了公理演绎体系，即用公理、公设和定义的推证方法；②将逻辑证明系统地引入数学，确立了逻辑学的基本方法；③创造了几何证明的方法：分析法、综合法及归谬法。

相对《原本》中的几何知识而言，它所蕴含的方法论意义则更为重大。事实上，欧几里得本人对他的几何学的实际应用并不关心，他关心的是他的几何体系内在逻辑上的严密性。《原本》作为文化丰碑还在于，它为人类知识的整理、系统阐述提供了一种模式。从此，人类的知识建构，找到了一个有效的方法。整理为从基本概念、公理或定律出发的严密的演绎体系成为人类的梦想。斯宾诺莎的伦理学就是按这种模式阐述的，牛顿的《自然哲学的数学原理》也同样如此。

三、《几何原本》介绍

在《几何原本》中，欧几里得首先给出了点、线、面、角、垂直、平行等定义，接着给出了关于几何和量的十条公理，如“凡直角都相等”“整体大于部分”，以及后来引起许多纷争的“平行线公理”等。公理后面是一个一个的命题及其证明，内容丰富多彩。比如有平面作图、勾股定理、余弦定理、圆的各种性质，空间中平面和直线的垂直、平行和相交等关系，平行六面体、棱锥、棱柱、圆锥、圆柱、球等问题，此外还有比例的理论、正整数的性质与分类、无理量等。公理化结构是近代数学的主要特征，而《几何原本》则是公理化结构的最早典范。欧几里得创造性地总结了他以前的古希腊人的数学，将零散的、不连贯的数学知识整理起来，加上自己的大量创造，构建出彼此有内在联系的有机的宏伟大厦。

本书共分13卷，有5条公设、5条公理、119个定义和465个命题，构成了历史上第一个数学公理体系。

关于重要命题　《几何原本》中涉及诸多重要命题，比如命题I.47就是著名的“勾股定理”。传说这一定理最早是由毕达哥拉斯证明出的，但他的证明方法却没有流传下来。而《几何原本》中的证明，则可以算是现存西方最早证明勾股定理的记载。

关于命题的逻辑关系　《几何原本》中命题间的逻辑关系甚至比现代教科书还高。为了清晰地表明这一关系，千余年来的各种语文版本多附有数学家们对逻辑关系的注解。

关于公理或公设　演绎法，其基本精神是由简单现象去证明较复杂的现象，在数学中同样也遵循这一原理。在这一理论里，逻辑推理虽然至关重要，但更重要的是，我们必须接受一些简单的现象作为我们的“起点”，是明显的“自明”道理，而欧几里得将这些“起点”命名为“公设”或“公理”。

虽然以公理为起点演绎几何的方法并非为欧几里得首创，其首创应该是他之前的泰勒斯，但是《几何原本》中的公设或公理，全部由欧几里得所创造和筛选。这一天才的智力令人叹为观止！

关于第5公设及非欧几何学　欧几里得的不完美催生了新的几何学，这是从第5公设开始的。第5公设不同于其他9条，言语迟钝，仿佛有些力不从心的样子。形式上也不像公设，倒像一个命题。因此，自《几何原本》诞生后，就有无数的数学家研究这条公设，并试图找出证明这条公设的方法。可惜，一直以来，他们的尝试都归于失败！到了19世纪，波尔约[6]和罗巴切夫斯基[7]分别发表了一套与第5公设相反的几何体系，从而证明了第5公设确实是一条“公设”，不能被证明或否定。与此同时，这两位数学家亦为我们带来一个全新的数学世界——非欧几何学。

关于圆面积及球体体积公式，《几何原本》中并没有圆面积或球体体积的计算公式，但在第12卷中，可以找到一些相关命题。在欧几里得之后，另一个希腊天才阿基米德提出球体体积公式。阿基米德应用了一种近乎于现代微积分的计算手法，推算出有关的算式，并成功地计算出圆周率小数后两位的数值。

四、希腊数学背景

希腊人重视数学在美学上的意义，认为数学是一种美，是和谐、简单、明确以及有秩序的艺术。在数学中可以看到关于宇宙结构和设计的最终真理，认为宇宙是按数学规律设计的，且能被人们所认识。

古希腊的地理范围，除了现在的希腊半岛以外，还包括整个爱琴海区域和北面的马其顿和色雷斯、意大利半岛和小亚细亚等地。公元前五六世纪，特别是希波战争以后，雅典取得希腊城邦的领导地位，经济生活高度繁荣，生产力显著提高，在这个基础上滋生了光辉灿烂的希腊文化。

希腊数学的发展历史可以分为三个时期：第一时期从伊奥尼亚学派到柏拉图学派为止，约公元前7世纪中叶到公元前3世纪；第二时期是亚历山大前期，从欧几里得起到公元前146年希腊陷于罗马为止；第三时期是亚历山大后期，是在罗马人统治下的时期，结束于641年亚历山大被阿拉伯人占领。

伊奥尼亚学派　从古代埃及、巴比伦的衰亡，到希腊文化的昌盛，这段过渡时期留下来的数学史料很少。不过希腊数学的兴起和希腊商人通过旅行交往接触到古代东方的文化有密切关系。伊奥尼亚位于小亚细亚西岸，它比希腊其他地区更容易吸收巴比伦、埃及等古国积累下来的经验和文化。在伊奥尼亚，氏族贵族政治为商人的统治所代替，商人具有强烈的活动性，有利于思想自由而大胆地发展。城邦内部的斗争，帮助摆脱传统信念。在希腊没有特殊的祭司阶层，也没有必须遵守的教条，因此有相当程度的思想自由。这大大有助于科学和哲学从宗教中分离出来。

米利都是伊奥尼亚的最大城市，也是泰勒斯的故乡。泰勒斯是公认的希腊哲学鼻祖。他早年是一个商人，曾游访巴比伦、埃及等地，很快就学会古代流传下来的知识，并加以发扬。此后他创立了伊奥尼亚哲学学派，摆脱了宗教，从自然现象中去寻找真理，以水为万物的根源。

当时天文、数学和哲学是不可分的，泰勒斯同时也研究天文和数学。他曾预测到一次日食，促使米太（在今黑海、里海之南）、吕底亚（今土耳其西部）两国停止战争。多数学者认为该次日食发生在公元前585年5月28日。他在埃及时曾利用日影及比例关系算出金字塔的高度，使法老大为惊讶。泰勒斯在数学方面的贡献主要在于开了命题证明的先河，它标志着人们对客观事物的认识从感性上升到理性，这在数学史上是一个不寻常的飞跃。伊奥尼亚学派的著名学者还有阿那克西曼德[8]和阿那克西美尼[9]等。他们对后来的毕达哥拉斯有很大的影响。

毕达哥拉斯学派　毕达哥拉斯，公元前580年左右出生于萨摩斯（今希腊东部小岛）。为了摆脱暴政，他移居到意大利半岛南部的克罗顿。在那里他组织了一个政治、宗教、哲学、数学合一的秘密团体。后来这个集体在政治斗争中遭到破坏，毕达哥拉斯被杀害，但他的学派还继续存在了两个世纪（约前500—前300年）之久。这个学派企图用数来解释一切，不仅仅认为万物都包含数，而且说万物都是数。他们以发现勾股定理（西方叫作“毕达哥拉斯定理”）闻名于世，又由此导致不可通约量的发现。这个学派还有一个特点，就是将算术和几何紧密联系起来。他们找到用三个正整数表示直角三角形三边长的一种公式，又注意到从1开始连续奇数的和必为平方数等，这既是算术问题，又和几何有关。他们还发现了五种正多面体。在天文方面，毕达哥拉斯首创地圆说，认为日、月、五星都是球体，并浮悬在太空中。同时，他还是音乐理论的始祖。

伊奥尼亚学派和毕达哥拉斯学派有显著不同。前者研习数学并不单纯为了哲学的兴趣，同时也为了实用；而后者却不注重实际应用，将数学和宗教联系起来，想通过数学去探索永恒的真理。

智人学派　诞生于公元前5世纪，此时正值雅典的黄金时代，文人荟萃，辩论会遍布大街小巷，于是“智人学派”应运而生。他们以教授文法、逻辑、数学、天文、修辞、雄辩等科目为业。在数学上，他们提出“三大问题”：三等分任意角；倍立方，求作一立方体，使其体积是已知立方体的二倍；化圆为方，求作一正方形，使其面积等于一已知圆。这些问题的难处在于作图时只许用直尺（没有刻度的尺）和圆规。

希腊人的兴趣并不在于图形的实际作出，而是在尺规的限制下从理论上去解决这些问题，这是几何学从实际应用向系统理论过渡所迈出的重要一步。

这个学派的安提丰[10]提出用“穷竭法”去解决化圆为方的问题，这是近代极限理论的雏形。先作圆内接正方形，以后每次边数加倍，得八、十六、三十二边形……安提丰深信“最后”的多边形与圆的“差”必会“穷竭”。这提供了求圆面积的近似方法。这和中国的刘徽（约263年前后）的割圆术思想不谋而合。

柏拉图（约前427—前347年）在雅典建立学派，创办学园。他非常重视数学，主张通过几何的学习培养逻辑思维能力，因为几何能给人以强烈的直观印象，将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中。这个学派培养出不少数学家，如欧多克索斯[11]就曾就学于柏拉图学园，他创立的比例论对欧几里得影响巨大。柏拉图的学生亚里士多德也是古代大哲学家，是形式逻辑的奠基者。他的逻辑思想为日后将几何学整理在严密的逻辑体系之中开辟了道路。

埃利亚学派　这个时期的希腊数学中心还有以芝诺（约前496—前430年）为代表的埃利亚学派。芝诺提出四个悖论，这给思想界带来极大震动。这四个悖论是：①二分说，一物从甲地到乙地，永远不能到达。因为想从甲到乙，首先要通过道路的一半，但要通过这一半，必须先通过一半的一半，这样分下去，永无止境。结论是此物的运动被道路的无限分割阻碍着，根本不能前进一步。②阿喀琉斯（善跑英雄）追龟说，阿喀琉斯追乌龟，永远追不上。因为当他追到乌龟的出发点时，龟已向前爬行了一段，他再追完这一段，龟又向前爬了一小段。这样永远重复下去，总也追不上。③飞箭静止说，每一瞬间箭总在一个确定的位置上，因此它是不动的。④运动场问题，芝诺论证了时间和它的一半相等。

原子论学派　以德谟克里特为代表的原子论学派认为，线段、面积和立体是由许多不可再分的原子所构成。计算面积和体积，等于将这些原子集合起来。这种不甚严格的推理方法却是古代数学家发现新结果的重要线索。

公元前4世纪以后的希腊数学，逐渐脱离哲学和天文学，成为独立的学科。数学的历史于是进入到一个新阶段──初等数学时期。这个时期的特点是数学（主要是几何学）已建立起自己的理论体系，从以实验和观察为依据的经验科学过渡到演绎的科学。由少数几个原始命题（公理）出发，通过逻辑推理得到一系列定理，这是希腊数学的基本精神。在这一时期里，初等几何、算术、初等代数大体已成为独立科目。和17世纪出现的解析几何学、微积分学相比，这一时期的研究内容可以用“初等数学”来概括，因此叫作“初等数学时期”。

埃及的亚历山大城是东西海陆交通的枢纽，又由于经过托勒密王的精心经营，这里逐渐成为新的希腊文化中心，而希腊本土这时已经退居次要地位。几何学最初萌芽于埃及，后来移植于伊奥尼亚，再后来繁盛于意大利和雅典，最后又回到发源地埃及。经过这一番培植，它已达到丰茂成林的境地。

亚历山大前期　从公元前4世纪到公元前146年古希腊灭亡，罗马成为地中海区域的统治者为止，希腊数学以亚历山大为中心，并达到它的全盛时期。这里有巨大的图书馆和浓郁的学术氛围，各地学者云集在此进行教学和研究。其中成就最大的是亚历山大前期三大数学家欧几里得、阿基米德和阿波罗尼奥斯。阿基米德是物理学家兼数学家，他善于将抽象的理论和工程技术的具体应用结合起来，又在实践中洞察事物的本质，通过严格论证，使经验事实上升为理论。他根据力学原理去探求解决面积和体积问题，已经包含积分学的初步思想。阿波罗尼奥斯的主要贡献是对圆锥曲线的深入研究。

除了三大数学家以外，埃拉托斯特尼[12]的大地测量和以他为名的“素数筛子”也很出名。天文学家喜帕恰斯[13]制作了“弦表”，这是三角学的先导。

亚历山大后期　公元前146年以后，在罗马统治下的亚历山大学者仍能继承前人工作，且各种发明层出不穷。这一时期的门纳劳斯（约公元100年前后）、帕普斯[14]等人都有重要贡献。天文学家托勒密将喜帕恰斯的工作加以整理发挥，奠定了三角学的基础。

晚期希腊学者在算术和代数方面也颇有建树，代表人物有尼科马霍斯（约公元100年）和丢番图（约公元250年）。尼科马霍斯著有《算术入门》，丢番图著有《算术》，其主要内容是数的理论，而大部分内容可以归入代数的范畴。它完全脱离了几何的形式，在希腊数学中独树一帜，对后世的影响仅次于《几何原本》。

325年，罗马帝国的君士坦丁大帝开始利用宗教作为统治的工具，他把一切学术都置于基督教神学的控制之下。529年，东罗马帝国皇帝查士丁尼下令关闭雅典的柏拉图学园以及其他学校，严禁传授数学。许多希腊学者逃到叙利亚和波斯等地，数学研究受到沉重打击。641年，亚历山大被阿拉伯人占领，图书馆再次被毁。公元415年，女数学家、新柏拉图学派的领袖希帕提娅[15]遭到基督徒的野蛮杀害。她的死标志着希腊文明的衰弱，亚历山大里亚大学极富创造力的日子也随之一去不复返。至此，希腊数学告一段落。

五、欧几里得的宗教情怀

对于欧几里得来说，几何是近神的，这与我们通常的理解刚好相反。因此，与其把《几何原本》当数学阅读，不如将其视为诗歌或哲学，这更接近欧几里得的动机。

在欧几里得生活的时代较早前的几百年，是希腊思想鼎盛的时代，人们研究人自身的问题以及人所面对的宇宙问题，这成为整个希腊的精神气质，构成了远古时代知识分子的日常生活和基本话题。苏格拉底年轻时常常站在大街上拉着过路的行人就要求辩论一番，以企图寻找人、人群、物质、精神等存在的本来意义。众哲学家在思考着这些问题：人所寄居的宇宙到底是什么？人到底是什么？要干什么？

为阐释宇宙的本质，灿若群星的哲学思想繁衍旺盛，哲学家们要寻找世界的“始基”[16]、构成宇宙的基本元素以及万千复杂世界所依的根本。他们将整体的复杂还原为要素，而要素的变化、过程、次序、排列、关系成为寻找对象。

巴门尼德[17]则把元素抽象为“唯一的、不动的、永恒的”东西，按照他的描述，“存在着一条最后的边界，它在各方面都是完全的，好像一个滚圆的球体，从中心到每一个方面的距离都相等”。黑格尔讽刺说，巴门尼德弄出来的是“一片简单的阴影”。但也有后人讽刺黑格尔说，他弄出来的“不过是个上帝的身体”；德谟克里特也不相信，他提出了自己的原子论，他坚信宇宙的本质是原子与虚空的结合，它们作为最小的存在构成了万物，只要找到原子的面貌，世界的本质就昭然若揭了，同时他也提出人的灵魂是另一类原子的运动；赫拉克利特[18]则不同意这一观点，他认为本质是火，万物皆流，无物常住，那变动不居的火就是世界的本质，流变就是世界的本质，那团不生不灭、永恒存在的“活火”主宰了我们的世界；阿那克西美尼却不同意他的观点，他认为本质是“气”；阿那克西曼德又不同意这一观点，他认为那基本元素虽然存在，但却不具有任何定性，永远不能定名，也不能描述，它是不可知的一个元素。集哲学家、预言者、科学家和江湖术士为一身的恩培多克勒（约前483—前435年）则发现了“气”。在倒着把瓶子放入水中而水不能进入瓶子时，他发现空气是一种存在的物质，于是他认为土、气、火、水是世界的基本元素。这就是早期的自然哲学。

苏格拉底并不同意这样的解释，他在方法上另辟蹊径，用苏格拉底的方法，即通过辩论问题中的矛盾清晰事物的结论获得真理，真理的累加最后通达整个宇宙。苏格拉底的进步在于他已不把那“元素”或“始基”视为一种经验中的物质，而是抽象出他称为“真理”“规律”“理性法则”的东西。

柏拉图从他的《理想国》里提出“理念世界”一词，并宣布：现实世界是个假象，是个影子，是理念世界的投影，攀登上理念世界的人必须借着理性的绳索。他对几何学抱着虔诚的敬神式的热情，因为他看到既能满足于一切物质和空间，又不受时间腐蚀的点、线、面、角的规律之舞，“其品性接近于理念世界之物”，他相信，几何学可以修建通往理念世界的天梯。也就是说，柏拉图的元素或始基，是他描述的“理念世界”。柏拉图在他创办的雅典学园传播这些理论的时候，出现了一位杰出的学生——亚里士多德。这位跟着他二十年的学生更是青出于蓝而胜于蓝，集古希腊哲学之大成，他把宇宙的实质定义为“本体”，放弃了自然哲学中的那种宇宙本原的寻求。并由此发明出范畴、分类、逻辑、属性、一般与个别、本质与现象、思维与存在、理性与感性、可能性与现实、不变与变等矛盾关系。

另一条线对欧几里得来说有些特别，这条线得从泰勒斯开始。泰勒斯生活在公元前600年左右，首先，他认为世界的本质元素是“水”，水开万物，水是万物的本原。当希腊神话成为大众思想生活和精神生活的主流时，他却反希腊神话。他不能忍受用杜撰的故事来阐释造化天工，于是转而观察自然界的各种法则，希望从自然界内部找到他的神，于是他首创了在自然元素中寻找宇宙答案的方法。人类最早的“证明命题”方法应归功于他。

毕达哥拉斯是一位数学天才，由于超常的数学智力，他受到希腊公民的尊重，创建了宗教的哲学派别——毕达哥拉斯学派。他认为万物皆数，数是宇宙的根本，找到数就找到了宇宙的本原。这显然意味着，认识世界就要从数开始。只要运用定量方法来认识世界，就可以解开宇宙的终极秘密。但实际上当他发现无理数的存在时，就发现自己的思想基础已经崩溃，只是由于恐惧于群众的力量而不敢宣布。毕达哥拉斯学派把数学从那些显然的具体应用中抽象出来，企图解释这个宇宙。他们发现勾股定理时的那种惊喜无异于基督教徒找到上帝存在的一个证据时的惊喜。他们还发现了不可公约量，以及五种正多面体的存在，并把算术和几何图形结合起来。这些都为欧几里得的《几何原本》奠定了坚实的基础。

的确，在空间面前我们瑟瑟发抖。无论是在遥远的古希腊欧几里得时代，还是今天，我们对空间的认识，对宇宙的理解，仅仅迈出了很小的一步。我引用科学家、数学家、物理学家出身却反科学理性的法国思想家帕斯卡的一句话：“在这永恒沉默的空间面前，我瑟瑟发抖。”

这弥漫物质的空间，它的紧迫，它的压制，它的盲目流动，它的到来和去向……

苏格拉底、柏拉图师徒俩怀着深厚的几何学情结，这是因为他们想借这一工具找到上帝。苏格拉底看到，物质的速朽性和无常性使他自然联想到身体，再进一步联想到人的精神属性，这时他看到了几何学的特别属性：不受时空的腐蚀，它是永恒的、绝对的。这吻合了柏拉图的绝对理念，只有上帝是绝对的，于是，几何学可以修筑通往上帝的天梯。数世纪以后，有人修建巴别塔，企图通往天国。毕达哥拉斯学派同样抱着借数字之梯通向神的理想情怀。

欧几里得本人同样把几何学视为近神器物，这就产生了一个青年追问他几何学的用处时他叫身边的侍从给他三个硬币的著名故事。汉语翻译的“几何”一词其实并不贴切，这不是圆满的译法，它失去了神性。“几何”意为事物数字意义上的多少，用于反问句。而希腊语是指“元素”“原理”，意即我们这个世界的基本元素，宇宙的基本元素以及构建这个宇宙的基本元素，这就是哲学中所说的“元素”“始基”。从点、线、面、距离、长度、角度出发描述的刚性空间是宇宙的本样，甚至可能是神的本样；换句话说，从空间中抽离出来的点、线、面是一切事物的元素，因此也是宇宙的元素。

欧几里得没有想到的是，两千余年以后，靠几何学寻找上帝依旧渺茫，而世俗性的应用却大规模建造了人类的物质文明。对于工业革命后兴盛的人造物质来说，几何学起到了支撑性作用。按照欧几里得批评他那位世俗的学生的理想主义思路，近现代社会从几何学角度来看，是一个失败的社会。

从这个角度讲，《原本》与其说是数学，不如说是描述宇宙的诗歌之舞，是一种宗教情怀，一种哲学。

六、毕达哥拉斯的狂醉

虽然不能考证欧几里得是否属于毕达哥拉斯学派，但他对数学的虔诚却与这个学派一脉相通。

毕达哥拉斯，这个宣布万物皆数的人，简直是历史上最有趣味而又最难理解的人物之一。混合了一堆真理与荒诞，他的数学天分成为他理解世界秩序却又恨铁不成钢的手段。他建立的巨大宗教社团成为最早的共产主义形式，其权力大到控制了整个国家。这也说明古希腊民众对天才精英们的虔诚，因为他们希望在天才的带领下找到生命的意义、宇宙的秩序。毕达哥拉斯把数夸张到世人难以理解的神秘境地，他甚至把数与某些意义直接联系起来，比如，规定“二”表示意见，“四”是正义，“五”是结婚，“十”是完满，如此等等，这的确让今人匪夷所思。

他所建立的团体不分男女都可以参加。财产是公有的，过着一种共同的生活，即使是科学和数学的发现也认为是集体的，而且，在一种神秘的意义上，都得归功于毕达哥拉斯，甚至于在他死后也还是如此。他们赞美沉思生活的道德，由此数学的秩序便受到同于神的敬仰。他把这些荒诞的秩序同数学秩序结合在一起，当成钥匙，用以打开世界之门。

被毕达哥拉斯所鼓舞的人们，一直保存着一种狂醉式的启示成分。这一点，对于那些在学校里无可奈何地学过一些数学的人们来说，好像是很奇怪的；然而，对于那些时时经历着由于数学上的豁然贯通而感到沉醉欢欣的人们以及那些喜爱数学的人们来说，毕达哥拉斯的观点则似乎自然得很，纵使它并不真实。仿佛经验的哲学家只是材料的奴隶，而纯粹的数学家正像音乐家一样，他们是那秩序井然、美丽世界的自由创造者。

欧几里得也有着同样的狂醉，但他不关心豆子和白公鸡，只对物质的物理数性结构痴迷。在他看来，找到这个数性结构，就找到了宇宙的基本“元素”和“始基”。万物基始于点、线、面、角以及它们的滋生繁衍、相互构成与转换，宇宙的舞蹈就是它们的数字舞蹈。因此，他坚信数学起源于实际应用的观点是不正确的，它更起源于人的精神困惑和对浩渺宇宙的描述欲望。

希腊数学产生了数学精神，即数学证明的演绎推理方法。数学的抽象化以及自然界依数学方式设计的信念，为数学乃至科学的发展起了至关重要的作用。而由这一精神所产生的理性、确定性、永恒的不可抗拒的规律性等一系列思想，则在人类文化发展史上占据了重要地位。因此伽利略就直接说“数学是上帝的语言”。毕达哥拉斯将数学和宗教联系起来，想通过数学去探索永恒的真理。

七、芝诺的狂醉

一开始，在哲学上就有人反驳欧几里得言论。先于欧几里得百年的芝诺发出了巨大的嘲讽声。按罗素的说法，迄今为止人们还不能真正懂得这其中的哲学意义。虽然亚里士多德批判了他，但罗素却对他的批判进行了批判。

芝诺是巴门尼德的学生兼朋友，他不满于赫拉克利特万物皆流的理论，创造出一套悖论（可惜他的著作没有流传下来），后人知道的仅有8个，比如如下4个悖论：二分说、阿喀琉斯追龟说、飞箭静止说、运动场悖论，还没有哪一个哲学家敢轻易对此下结论。

芝诺生于意大利半岛南部的埃利亚城邦，据说他在母邦度过了一生，仅在成名之后到过雅典。据传说，芝诺因蓄谋反对埃利亚的君主而被处死。关于他的生平，缺乏可靠的文字记载。柏拉图在他的对话《巴门尼德篇》中，记载了芝诺和巴门尼德于公元前5世纪中叶去雅典的一次访问。其中有这样的文字：“巴门尼德年事已高，约65岁；头发很白，但仪表堂堂。那时的芝诺约40岁，他身材魁梧、相貌堂堂，大家说他已经变成巴门尼德所钟爱的了。”在以后的希腊著作看来，这次访问是柏拉图虚构的。但柏拉图有关芝诺观点的记叙，却被普遍认为是准确的。在柏拉图的《巴门尼德篇》中，当芝诺谈到自己的著作《论自然》时，他这样说道：“由于年轻时的好胜完成此部著作，著成后即有人将它窃去，以致我不能决断是否应当让它问世。”芝诺不像他的老师那样试图从正面去证明是一不是多、是静不是动，他常常从反面即归谬法来为“存在论”辩护。公元5世纪的评论家普罗克洛斯说过，芝诺从“多”和“运动”的假设出发，一共推出了40个各不相同的悖论。现存的芝诺悖论至少有8个，其中关于运动的4个悖论最为著名。芝诺的著作早已失传，亚里士多德的物理学和辛普里西奥斯为物理学作的注解是了解芝诺悖论的主要途径，此外只有少量零散的文献可作参考。

亚里士多德批判“二分说”：他主张一个事物不可能在有限的时间里通过无限的事物，或者分别和无限的事物相接触。要知道，事物在有限的时间里不能和数量上无限的事物相接触，但能和分开的无限的事物相接触，因为时间本身是分开的也是无限的。批判“追龟说”时认为，在运动中领先的东西不能被追上的这个想法是错误的。因为在它领先的时间内是不能被赶上的，但是，如果芝诺允许它能越过所规定的有限距离，那么它也是可以被赶上的。批判“飞箭静止说”（我国的庄子，也提出过相同的思想，在《天下篇》中有：“飞鸟之景，未尝动也。”）时认为，他的这个说法是错误的，因为时间不是由不可分的“现在”组成的，正如别的任何量都不是由不可分的部分组合成的那样。这个结论是因为把时间当作是由“现在”组合成而引起的，如果不肯定这个前提，这个结论是不会出现的。批判“运动场悖论”认为，这里的错误在于他把一个运动物体经过另一运动物体所花的时间，看作等同于以相同速度经过相同大小的静止物体所花的时间，事实上这两者是不相等的。

但罗素又反批判亚里士多德，他说道：“直到19世纪中叶，亚里士多德关于芝诺悖论的引述及批评几乎是权威的，人们普遍认为芝诺悖论不过是一些诡辩。在这个变化无常的世界上，没有什么比死后的声誉更变化无常了。死后得不到应有的评价的最典型例子莫过于埃利亚的芝诺了。他虽然发明了4个无限微妙而深邃的悖论，但是后世的大批哲学家却宣称他只不过是个聪明的骗子，而他的悖论只不过是一些诡辩。遭到两千多年的连续驳斥之后这些诡辩才得以正名。19世纪下半叶以来，学者们开始重新研究芝诺。他们推测芝诺的理论在古代就没能得到完整的、正确的报道，而是被诡辩家们用来倡导怀疑主义和否定知识，亚里士多德正是按照被诡辩家们歪曲过的形象来引述芝诺悖论的。目前，学者们对芝诺提出这些悖论的目的还不清楚，但大家一致认为，芝诺关于运动的悖论不是简单地否认运动，这些悖论后面有着更深的内涵。亚里士多德的著作保存了芝诺悖论的大意，从这个意义上来说，他功不可没，但他对芝诺悖论的分析和批评是否成功，还不可以下定论。”

其他评论还有：毕达哥拉斯学派发现的不可公约量对芝诺悖论的提出产生了深刻影响。芝诺是对古代数学的发展起决定影响的人物。他们试图证明，毕达哥拉斯学派曾假定存在无限小的基本线段，想以此来克服因发现不可公约量而引起的矛盾，而芝诺的悖论反对了这种不准确的做法。美国数学家贝尔说：“芝诺以非数学的语言记录下了最早同连续性和无限性斗争的人们所遭遇到的困难。”芝诺的功绩在于提出动和静的关系、无限和有限的关系以及连续和离散的关系，并进行了辩证的考察。

前三个悖论揭示的是事物内部的稠密性和连续性之间的区别，是无限可分和有限长度之间的矛盾。他并不是简单地否认运动，而是反对那种认为空间是点的总和、时间是瞬刻的概念，他想证明在空间作为点的总和的概念下，运动是不可能的。第四个悖论是古代文献中第一个涉及相对运动的问题。

按照芝诺的这些理论，欧几里得的理论从根本上就失效了。

八、关于空间的哲学

一切哲学问题归根到底是空间[19]和时间[20]的问题。

柏拉图的观点是，“形”是“物”的基本存在条件，亚里士多德则认为“质料”依靠“形式”而存在，牛顿则进一步认为时空是绝对存在的，独立于一切存在的存在，康德则认为这种绝对存在是一种先验假设，黑格尔则认为一切存在都是绝对精神的表现形式。

亚里士多德认为，空间是事物的场所，是完全包围的形式，物质虽可以在空间中移动，但不能脱离空间，不存在没有空间的物质。

在牛顿认为的空间里，许多“点”构成空间，许多“瞬刻”构成时间，空间和时间不受占据它们的物体及事件影响，是独立存在的。

康德认为，空间和时间不是概念的，而是“直观”的。据康德的意见，外部世界只造成感觉的素材，但是我们自己的精神装置把这种素材整列在空间和时间中，并且供给我们借以理解经验的种种概念。物自体[21]为我们感觉的原因是不可认识的；物自体不在空间或时间中，它不是实。空间和时间是主观的，是我们感觉器官的一部分。但是正因为如此，我们可以确信，凡是我们所经验的东西都要表现几何学与时间科学所讲的那些特性。由于你在精神上老是戴着一副空间眼镜，所以你一定总是看到一切东西都存在于空间中。因此，按几何学必定适用于经验的一切东西这个意义来讲，几何学是先天的，但是我们没有理由设想与几何学类似的什么学适用于我们没经验到的物自体。

康德对欧几里得的几何学评价为：关于空间的先验论点来自于几何学。他认为欧几里得几何虽然是综合的（也就是说仅由逻辑推演不出来），但是先天认识到的。他以为，几何学上的证明依赖图形。例如，我们能够看出，设有两条彼此成直角的相交直线，通过其交点只能作一条与这两条直线都成直角的直线。他认为，这种知识不是由经验来的。但是，我能直观预见在对象中会发现什么的唯一方法，就是预见在我的主观中一切现实印象之前，该对象是否只含有我的感性的形式。感觉的对象必须服从几何学，因为几何学讲的是感知的方式，因此用其他方法是不能感知的。这说明为什么几何学虽然是综合的，但却是先天的和必然的。

九、古希腊理性的纪念碑

古希腊的智者由于坚信这个世界是可以理解的，物质世界甚至延及精神世界的终极答案是可以获得的，并可以用永恒的法则来表述它，于是发展了数学精神，也强化了用演绎的形式进行严密推理的逻辑方法，这就保证了数学成为一门确定可靠的知识。在纷繁的物质世界背后，潜藏着数学法则，不同的空间结构形式构成了不同的物质。

西方科学发展的历史，就是与宗教抗争的历史，就是反蒙昧、反专制的历史。在这中间，数学以它的确实和完美起到了主要的作用，并最终逐出了在自然科学领域同样居于统治地位的上帝，解放了思想。从这个意义上讲，一个没有发达数学文化的民族注定会衰落。

古希腊是奴隶制国家，当时希腊的雅典城邦实行奴隶主的民主政治（奴隶不能享受这种民主）。男性奴隶主举行全体大会选举执政官，并对一些战争、财政大事实行民主表决。这种政治文明包含着某些合理因素。奴隶主之间讲民主往往需要用理由说服对方，从而使学术上的辩论风气浓厚。为了证明自己坚持的是真理，也就需要证明。先设一些人人皆同意的“公理”，规定一些名词的意义，然后把要陈述的命题称为公理的逻辑推论。在这一背景下，游学回到雅典的柏拉图开创了柏拉图学园。柏拉图学园的大门上挂着这样一个牌子：“不懂几何学者，请勿入内”。人们普遍猜测，欧几里得曾经在该学园接受过教诲，但无史料考证，故不可断言。从这个角度看，任何人类事物是否发达，不是种族的智力差异，不是所谓的经济发达，而是社会制度恶与优的直接产物。

欧几里得几何学是鄙视实用价值的，这一点早就被柏拉图所谆谆教诲过。在希腊时代没有一个人会想到圆锥曲线是有任何用处的，最后到了17世纪伽利略才发现抛物体是沿着抛物线而运动的，而开普勒[22]则发现行星是以椭圆轨迹而运动的。于是，希腊人由于纯粹爱好理论所做的工作，一下子变成了解决天文学的一把金钥匙。

欧几里得的《几何原本》毫无疑义是古往今来最伟大的著作之一。罗马人的头脑太过于实际而不能欣赏欧几里得的著作。第一个提到欧几里得的罗马人是西塞罗[23]，那时候《几何原本》或许还没有拉丁文的译本，并且在鲍依修斯（约公元480年）以前，确乎是并没有任何关于拉丁文译本的记载。阿拉伯人却更能欣赏欧几里得的《几何原本》。大约在公元760年，拜占庭皇帝曾送给回教哈里发一部《几何原本》；大约在公元800年，当哈伦阿尔拉西德在位的时候，《几何原本》就有了阿拉伯文的译文了。现在最早的拉丁文译本是巴斯的阿戴拉德于公元1120年从阿拉伯文译过来的。从这以后，对几何学的研究就逐渐在西方复活起来，但是一直到文艺复兴晚期，几何学才迈出了极为重要的一步。

通过以上的这些介绍，我殷切希望能对读者阅读理解这部巨著有所帮助，同时希望对《几何原本》不感兴趣的人能重新拥有数学情怀而有所帮助。

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[1] 公理法：选取少数不加定义的原始概念（基本概念）和无条件承认的思想规定（公理）作为出发点，再加以严格的逻辑推理，将其一数学分支建成演绎系统的方法，叫数学系统的公理化方法，简称“公理法”。

[2] 德·摩根：（1806—1871年），英国数学家、逻辑学家。其主要在分析学、代数学、数学史及逻辑学等方面作出了重要的贡献。

[3] 逻辑推理：逻辑是人的一种抽象思维，是人通过概念、判断、推理、论证来理解和区分客观世界的思维过程。
　　逻辑推理是指把不同排列顺序的意识进行相关性的推导。当人类听到别人陈述的事情时，大脑开始历经复杂的信号处理及过滤，并将信息元素经过神经元迅速地触发并收集相关信息，这个过程便是超感知能力。之后由经验累积学习到的语言基础进行语言的处理及判断，找出“正确”（假设在一个相对统一概念的既定世界观范围内）的事件逻辑。

[4] 定义：是认识主体使用判断或命题的语言逻辑形式，确定一个认识对象或事物在有关事物的综合分类系统中的位置和界限，使这个认识对象或事物从有关事物的综合分类系统中彰显出来的认识行为。

[5] 公设或公理：指的是某门学科中不需要证明而必须加以承认的某些陈述或命题，即“不证自明”的命题。一门学科如果被表示成公理的形式，那么它的所有命题就可以由这些公理或公设逻辑地推证出来。如果我们把一门学科比作一幢大楼，那么该学科的公理或公设就像大楼的地基，整幢大楼必须以它为基础而建立起来。

[6] 波尔约：（1802—1860年），匈牙利数学家，非欧几何创始者之一。其最大成就是独立创建绝对几何。

[7] 罗巴切夫斯基：（1792—1856年），俄国数学家，非欧几何的早期发现人之一。其主要著作有《平行线理论的几何研究》《论几何学》等。

[8] 阿那克西曼德：（约前610—前546年），古希腊哲学家、米利都学派的学者、泰勒斯的学生。他否定了水是基质而肯定另有一种元质，对天体引入“球体”概念和“演化”概念，并尝试绘制了第一幅全球地图。

[9] 阿那克西美尼：（约前570—前526年），古希腊哲学家、米利都学派的第三位学者，阿那克西曼德的学生。他继承了前两位米利都学派哲学家的传统，也是该学派最后一位哲学家。

[10] 安提丰：（前426—前373年），古希腊智者，柏拉图的同母兄弟。著有《释梦》《论和谐》《论政治家》和《论真理》，但留传至今只有《论真理》的残篇两段。

[11] 欧多克索斯：（约前400—前347年），古希腊数学家和天文学家。他首先引入“量”的概念，将“量”和“数”区别开来；其次是建立了严谨的穷竭法，并用它证明了一些重要的求积定理。

[12] 埃拉托斯特尼：（约前276—前195年），古希腊数学家、地理学家、历史学家、诗人、天文学家。其贡献主要是设计出了经纬度系统，计算出地球的直径。

[13] 喜帕恰斯：（约前190—前125年），古希腊最伟大的天文学家。他编制出1022颗恒星的位置一览表，首次以“星等”来区分星星。发现了岁差现象，是方位天文学的创始人。

[14] 帕普斯：（约300—350年），古希腊数学家，亚历山大学派的最后一位伟大的几何学家。生前有大量著作，但只有《数学汇编》一书保存下来。此书对数学史具有重大的意义，且对前辈学者的著作进行了系统整理，并发展了前辈的某些思想，保存了很多古代珍贵的数学作品的资料。

[15] 希帕提娅：（370—415年），希腊化古埃及学者，是当时名重一时、广受欢迎的女性哲学家、数学家、天文学家、占星学家以及教师。

[16] 始基：古希腊语，从泰勒斯起开始具有哲学上的意义，是万物的根源或基本，万物从它产生又可复归于它的共同的东西。

[17] 巴门尼德：（约前515—前5世纪中叶以后），古希腊哲学家，著有哲学诗《论自然》。他创造了一种形而上学的论证形式，这种论证曾经以不同的形式存在于后来大多数的形而上学者的身上直迄黑格尔为止，并且包括黑格尔本人在内。人们常常说他曾创造了逻辑，但他真正创造的却是基于逻辑的形而上学。

[18] 赫拉克利特：（约前530—前470年），古希腊哲学家。他的理论以毕达哥拉斯的学说为基础。借用毕达哥拉斯“和谐”的概念，认为在对立与冲突的背后有某种程度的和谐，而协调本身并不是引人注目的。同时他也被称为辩证法的奠基人之一，因为他是在古代希腊哲学家中，第一个用朴素的语言讲出了辩证法的要点的人。

[19] 空间：是具体事物的组成部分，是运动的表现形式，是人们从具体事物中分解和抽象出来的认识对象，是绝对抽象事物和相对抽象事物、元本体和元实体组成的对立统一体，是存在于世界大集体之中的，不可被人感到但可被人知道的普通个体成员。

[20] 时间：是人类用以描述物质运动过程或事件发生过程的一个参数，确定时间，是靠不受外界影响的物质周期变化的规律。
　　它们都是物质存在的属性，即时间是物质存在的“持续”属性，空间是物质存在的“广延”属性。

[21] 物自体：物自体是指认识之外的，但又绝对不可认识的存在之物。它是现象的基础，人们承认可以认识现象，必然要承认作为现象的基础的物自体的存在。

[22] 开普勒：（1571—1630年），德国天文学家，被誉为“天空立法者”。他发现了行星运动的三大定律，即轨道定律、面积定律和周期定律。其著作主要有《新天文学》《折光学》《哥白尼天文学概要》等。

[23] 西塞罗：（前106—前43年），古罗马著名政治家、演说家、雄辩家、法学家和哲学家。主要著作有《论国家》《论法律》《论至善和至恶》《论神性》《论演说家》等。