周髀算经卷上（一）

甲〔1〕 　商高篇：古典数学

一、周公问商高

（一）勾股圆方术

昔者周公〔2〕 问于商高〔3〕 曰：“窃闻乎大夫善数也，周公，姓姬名旦，武王之弟。商高，周时贤大夫，善算者也。周公位居冢宰，德则至圣，尚卑己以自牧，下学而上达，况其凡乎？ 请问古者包牺〔4〕 立周天历度〔5〕 。包牺，三皇之一，始画八卦。以商高善数，能通乎微妙，达乎无方，无大不综，无幽不显，闻包牺立周天历度，建章蔀之法 〔6〕 。《易》曰：“古者包牺氏之王天下也，仰则观象于天，俯则观法于地。 ”此之谓也。 夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度，邈 〔7〕 乎悬广，无阶可升；荡 〔8〕 乎遐远，无度可量。 请问数安从出？”心昧其机，请问其目。 商高曰：“数之法出于圆方〔9〕 ，圆径一而周三，方径一而匝四。伸圆之周而为勾，展方之匝而为股，共结一角，邪适弦五。此圆方邪径相通之率，故曰“数之法出于圆方”。圆方者，天地之形，阴阳之数。然则周公所问天地也，是以商高陈圆方之形，以见其象；因奇耦之数，以制其法。所谓言约旨远，微妙幽通矣。 圆出于方〔10〕 ，方出于矩〔11〕 ，圆规之数，理之以方。方，周匝也。方正之物，出之以矩。矩，广长也。 矩出于九九八十一〔12〕 。推圆方之率，通广长之数，当须乘除以计之。九九者，乘除之原也。 故折矩〔13〕 ，故者，申事之辞也。将为勾股之率，故曰折矩也。 以为勾广三〔14〕 ，应圆之周，横者谓之广，勾亦广。广，短也。 股修四，应方之匝，从者谓之修，股亦修。修，长也。 径隅五〔15〕 ，自然相应之率。径，直；隅，角也。亦谓之弦。 既方之外〔16〕 ，半其一矩〔17〕 。勾股之法，先知二数然后推一。见勾、股然后求弦：先各自乘成其实，实成势化，尔乃变通 〔18〕 ，故曰“既方之外 〔19〕 ”。或并勾、股之实以求弦实，之中乃求勾股之分并，实不正等，更相取与，互有所得 〔20〕 ，故曰“半其一矩”。其术：勾、股各自乘，三三如九，四四一十六，并为弦自乘之实二十五；减勾于弦，为股之实一十六；减股于弦，为勾之实九。 环而共盘〔21〕 ，得成三四五〔22〕 。盘，读如盘桓之盘。言取而并减之积，环屈而共盘之谓。开方除之，其一面。故曰“得成三四五”也。 两矩共长二十有五〔23〕 ，是谓积矩〔24〕 。两矩者，勾、股各自乘之实。共长者，并实之数。将以施于万事，而此先陈其率也。 故禹之所以治天下者，此数之所生也。〔25〕 ”禹治洪水，决流江河。望山川之形，定高下之势。除滔天之灾，释昏垫 〔26〕 之厄，使东注于海，而无浸逆。乃勾股之所由生也。

【注释】

〔1〕此节周公商高问答应该是先秦流传下来的《周髀》中最早的经文，叙述周公商高时代的数学成就和在观测天地上的应用。其内容可以归纳为三点，即：1. 勾股定理和积矩推导法；2. 方圆法和“毁方而为圆，破圆而为方”推算近似圆面积及圆周率的理论和步骤；3. 方圆数学与矩在观测天地上的应用。文中“昔者”一词说明此文写作年代晚于周公商高时代，而其内容，我们和一些学者认为应该产生于西周初期，是由灵台工作人员口耳相传或著于竹帛。因此，此文的写作年代要远远早于《周髀算经》的编辑年代。又，“商高篇：古典数学”和“周公问商高”及“（一）勾股圆方术”、“（二）用矩之道”等标题为笔者所加。

〔2〕周公：姓姬，名旦。周武王之弟，周成王之叔。武王死后，成王年幼，周公摄政，多有建树。他创制了礼乐制度，周朝文物因而完备。

〔3〕商高：生平未详。赵爽注：“商高，周时贤大夫，善算者也。”此注没有说明来源，也许是赵爽研读《周髀算经》时的合理推论。在疑古思潮影响下，有些科学史学者怀疑商高是假托的人物，失之主观。李淳风《晋书·天文志》论盖天说：“其本庖牺氏立周天历度，其所传，则周公受于殷高，周人志之，故曰‘周髀’。”李淳风称商高为殷高。李继闵认为“商高生平早见载于明末以前州志大概是不成问题的。……周代已有方志一类史籍，商高事迹因此而流传后世亦属可能。”（参阅李继闵《商高定理辩证》）可备一说。《中国方志丛书·商南县志》卷八“人物志”曰：“［周］商高，黄帝之昆孙。以地得姓。周初封子男于商。精数学，《周髀》衍其说为算经。”这类记载源于古代早期方志还是后代编方志者据《周髀》推衍，姑且存疑。值得注意的是，《商南县志》指出“《周髀》衍其说为算经”，与现代多数学者认为《周髀算经》是分阶段逐渐形成的相合。

〔4〕包牺：传说中远古的三皇之一，也写作伏羲、庖牺。《易·系辞下》：“古者包牺氏之王天下也，仰则观象于天，俯则观法于地。”相传八卦由他所创。2006年5月河南省淮阳县平粮台龙山文化城址发现了一件半圆形黑衣陶纺轮，其上有阴刻符号——八卦中的 （离）卦。由于这件黑衣陶纺轮属于龙山文化器物，当地又是传说中伏羲的都城“太昊之墟”，当有助于进一步探索伏羲和八卦起源。（参阅张志华、梁长海、张体鸽《河南平粮台龙山文化城址发现刻符陶纺轮》，《文物》2007年第3期。）

〔5〕立周天历度：建立周天测量度数。一周天为 度。本书中用“度”表示这一古代单位。现代一圆周等于360°，本书中用符号“°”表示现代度的单位。

〔6〕章蔀之法：指古代历法。汉初所传的六种古代历法均是四分历。四分历：一种以 日为回归年长度调整年、月、日周期的历法。以十九年为一章，一章有七闰，四章为一蔀，二十蔀为一遂（纪），三遂（纪）为一首（元）。冬至与月朔同日为章首，冬至在年初为蔀首。

〔7〕邈：邈邈，远。

〔8〕荡：荡荡，空旷广远。

〔9〕数之法出于圆方：数学的方法出于圆和方的数理特性。这是商高对周公“数安从出”的总括回答。在中国古代生产、生活实践及宗教、科学活动和哲学思维中，圆和方被认为是两个基本的图形元素，它们相互对立、可以相互转换。故刘徽注《九章算术》“圆田术”时称：“凡物类形象，不圆则方。”

〔10〕圆出于方：求圆的方法可由方的数理特性推导。赵爽注：“方，周匝也。”引申为多边形的周长。商高时代中国古代数学已创建出一个推算圆面积的方法，商高称此法为“方圆法”。其步骤是“毁方而为圆，破圆而为方”，即变圆内接正方形为圆内接多边形以近似圆面积，由圆面积推算得圆周率π。圆周率：圆的周长与直径之比。

〔11〕方出于矩：方的运算方法可由矩的数理直角特性推导。古文“方”指正方、长方且有直角的含义。矩的本义，是两条边呈直角的曲尺。在两条边上可按用途取相等或不等之值。短边称为勾，长边称为股。山东嘉祥武梁祠东汉画像石有伏羲女娲规矩图，图中伏羲手执之器即矩，女娲手持之物即规（见图一）。在此“方出于矩”的“矩”已超出仅是工具的含义。正如上句“圆出于方”叙述圆与方的数理关系，“方出于矩”叙述方与矩的数理关系。“矩”在商高时代已有多种含义。除了曲尺、直角之外，矩也指正方形和长方形的面积。商高指出“合矩以为方”，明示矩与矩形的相互关系。《墨子》称“方”为“矩见交也”，用两矩相遇给方面积下定义，正说明矩与矩形在概念上的连带关系。《墨子》：墨子及墨家学派的代表作。墨子（约前468—前376）：名翟，春秋战国之际的思想家，墨家学派的创始人。墨家注重自然科学和逻辑，在力学、声学、光学上有卓越的成就。

〔12〕矩出于九九八十一：矩的数理原理出于乘法运算。古代常用特例作名，譬如称乘法表为九九表。在此“九九八十一”指乘法运算，也是以特例为名。“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一”，商高在这23个字的回答中，说明了数学的通类性。商高认为数学的新知识可利用已知数学知识来启发和帮助推理演导。“通类推导思維”是中国古代的重要思维特色。

〔13〕折矩：将矩形对角一折为二，得两个相等直角三角形。

〔14〕以为勾广三：即“令勾广为三”。据《汉语大字典》“以”有“使，令”之义。

〔15〕以为勾广三，股修四，径隅五：若设折矩所得直角三角形的勾为三［单位］，股为四［单位］，那么径得五［单位］。径隅五：赵爽注：“径，直。隅，角也。亦谓之弦。”径：演示长方形的对角线，也即直角三角形的斜边。商高时代这一数学术语尚与圆径之径共用，从中也体现出方和圆之间的相互关系。不过当时尚未称“弦”。直角三角形斜边的平方也尚无“弦实”之名。五：五个单位长度；此数不是设值，而是随上文的勾广、股修之值而定（图二·商高勾股图左）。修：长。

〔16〕既方之外：在勾股形之外以径（斜边）为边作正方形。既方：以径（斜边）为边作正方形（参见图二·商高勾股图中）。之外：勾股形之外。底本、胡刻本作“既方之外”，戴校本和钱校本改为“既方其外”，两通，故不改。

〔17〕半其一矩：取半个长方形。

〔18〕实成势化，尔乃变通：有了这些面积就有了变换的基础，就可实行各种变换。

〔19〕既方之外：原作“既方其外”，但与经文不同，今统一。

〔20〕更相取与，互有所得：交替取勾或股的数值，都可得对应的股或勾的数值。

〔21〕环而共盘：环绕正方形一周，共同组成一方盘，见图二·商高勾股图右。如此所得之大方弦图，正是赵爽弦图的外弦图，见图十·赵爽勾股图（参阅程贞一《商高的解剖证明法》（英文），刊于Science and Technology in Chinese Civilization， 1987年，第35—44页和图6）。

〔22〕得成三四五：得以推导成立勾股定理。得成：得以推导成立；三四五：直角三角形勾、股和径（即弦）的数理关系，即现称的勾股定理，这是商高篇中以特例为名的又一实例。

〔23〕两矩共长二十有五：赵爽注：“两矩者，勾股各自乘之实，共长者，并实之数。”由此理解，“两矩共长二十有五”即勾方和股方两个矩形面积之和二十有五［单位］，也就是径方的面积。以近代数学符号表示，即

a 2 +b 2 =c 2 。（1-1-1）

这正是上文“得成三四五”数理关系的具体表述。商高利用“折矩”所得的直角三角形设勾三和股四为例，然后根据“既方之外”作径方，而得一方四半矩的方盘。由此可见，“矩”和“方”两字在原文中的应用，有不同的含义。故“两矩”指的“矩”也可能是“折矩”的“矩”。由构图得，减两矩于方盘得中方，面积共长二十有五［单位］。以近代数学符号表示，即

（a +b ）2 -2ab =c 2 ⇒ c 2 =a 2 +b 2 。（1-1-2）

这正是上文“得成三四五”数理关系推导的具体表述。这段文字因简洁，出现对“两矩”的不同理解，何为商高原意？待考。但是这两种理解都确定，这段文字所叙述的是勾股定理c 2 =a 2 +b 2 的推导。

〔24〕是谓积矩：以上“积聚成矩”的推导法就是所谓的“积矩”法。正如其名所示，积矩法利用矩的总面积与其组合面积之间的关系，来建立数学原理。在此，商高利用的总面积是大方（即方盘），组合面积是四个在大方四角的直角三角和其中间的正方，由分析这总面积与组合面积之间的关系（见公式1-1-2）得成勾股定理。这种推导法符合逻辑，是古代中国在数学上的一大成就，首见于商高的工作。后人称赵爽和刘徽的推导法为出入相补法，实与商高积矩法一脉相承。古代中国数学的特征是以推导为基础，主要数学原理是以推导得成。这与古代希腊数学家以证明为基础的思路有所不同，但这两种思路都建立在逻辑上。当积矩法后来出现于西方时，取名为解剖证明法（dissection proof）。那就是把以组合面积积聚成总面积的步骤反视为把总面积分割为组合面积的步骤，这两观点当然等价。以西方公理化的观点来分析积矩法（或出入相补法），可体会到这种推导证明法的内在逻辑是建立在“整体为其部分的总和”的公理上。（参阅程贞一《勾股，重差和积矩法》，编入吴文俊主编《刘徽研究》，1993年。）积矩：积聚成矩。

〔25〕故禹之所以治天下者，此数之所生也：大禹治水是中国远古的一件大事，其成功的要旨是疏导。为此必须“望山川之形，定高下之势”（见赵爽注）。在测量的实践中，大禹时代的人，也许大禹本人，已积累了不少数学的知识和用矩的经验，为发现矩的勾股弦三条边的关系打下了基础，促进了数学的发展。

〔26〕昏垫：迷惘沉溺，指困于水灾。

【译文】

从前，周公问算数于商高说：“我早已听说大夫您是位擅长于数学的人。周公姓姬名旦，是周武王的弟弟。商高是周代杰出的大夫，擅长于数学的人士。周公身居宰相之位，德行堪比卓绝的圣人，尚且屈尊降贵严格要求自己，不耻下问而求透彻了解，何况平常人呢？ 请问古时伏羲建立周天测量度数，伏羲是三皇之一，八卦的创始人。以商高杰出的数学造诣，既能通达微妙之处，也能通达无边无际，可说是宏大到没有不能包括的，幽深到没有不能彰显的，知晓伏羲建立周天测量度数，建立古代历法。《易经》说：“古代伏羲氏统领天下的时候，抬头仰观天象，低头俯察地形。 ”说的就是这个。 可是天没有台阶可供攀登，地也不适合以尺去度量尺寸，天邈邈极其遥远宽广，没有台阶可供攀登；地荡荡极其遐远，没有尺度可去度量。 请问这些数是从何处得来的？”心中不明它的关键，请教来龙去脉。 商高说：“数学的方法出于圆和方的数理特性。圆的直径为一则周长为三，正方形的边长为一则周长为四。伸展圆的周长作为勾，伸展正方形的周长作为股，两端相连成为一直角三角形，斜边正好等于弦五。这是圆方斜径彼此相通之关系，所以说“数之法出于圆方”。圆和方这两样东西，隐含天地之形、阴阳之数。所以周公所问的是天地，而商高以圆方之形解释，用以写意其形象；用奇耦之数来解释，用以说明其变化。这正是用言简约而旨意深远，无论大小深远都能讲通了。 圆可由方的数理特性推导，方可由矩的直角数理特性推导，圆规之数，是以方推理而来。方，指多边形的周长。长方形，是以矩作出的。矩，长和宽的曲尺也。 矩的数理原理出于乘除法则。推算圆方之间、长宽之间的数学关系，必须以乘除来计算。九九表，是乘除法的根本。 所以将矩形对角一折为二得两个相等直角三角形，故，是说明某事的开头语。将设勾股的比率，所以称折矩。 假设折矩所得直角三角形的勾（即短边）等于三［单位］，与圆的周长相应，横的叫做广，勾也是广。广，就是短。 股（即长边）等于四［单位］，与方的周长相应，纵的叫做修，股也是修。修，就是长。 那么径（即弦，斜边之长）就等于五［单位］。按自然规律得出的比率。径，直接距离；隅，就是角。径隅也叫做弦。 在直角三角形之外，以径（斜边）为边作正方形，取半个长方形。勾股之法，先知二数然后推算另一数。有了勾、股然后求弦：勾、股先各自平方成其面积，有了这些面积就有了变换的基础，就可实行各种变换，所以说“既方之外”。若将勾平方和股平方相加可以求弦平方；如果从弦平方求勾股之间的分配，勾平方、股平方面积不一定相等，交替取勾或股的数值，都可得对应的股或勾的数值；所以叫“半其一矩”。其方法是：勾、股各自平方，根据三四五特例，即三三得九，四四一十六，加起来等于弦平方的面积二十五；从弦平方减去勾平方，得股平方一十六；从弦平方减去股平方，得勾平方九。 环绕正方形一周，共同形成一方盘。由此推导，得以成立三四五数理关系（今称为勾股定理），盘，读若盘桓的盘。指取其加减的面积，环绕而共同形成一方盘。开方求解，得其一边。所以说“得成三四五”数理关系也。 ［因为由构图得中方面积为方盘面积减两矩面积，从而推导得径方面积等于］勾方和股方两个正方形的面积，共长二十有五［单位］。这种推导法就是所谓的‘积矩’法。两矩，勾、股各自平方的面积。共长，指的是此面积之和。此推导法及数理关系（即勾股定理）可应用于许许多多场合，故在此先作勾股定理的简明表述。 所以大禹治天下洪水，积累了不少数学的知识和用矩的经验，促进此数学的发展。”禹治洪水，导引江河水流。观察山川之形，测定高低之势。解救滔天之灾，解除水灾的苦难，使江河东注于海，而不会淹没倒灌。这是勾股术的来源。

（二）用矩之道

周公曰：“大哉言数，心达数术之意，故发“大哉”之叹。 请问用矩之道？”谓用表之宜，测望之法。 商高曰：“平矩以正绳〔1〕 ，以水绳之正，定平悬之体，将欲慎毫厘之差，防千里之失。 偃矩以望高〔2〕 ，覆矩以测深〔3〕 ，卧矩以知远〔4〕 ，言施用无方 〔5〕 ，曲从其事 〔6〕 ，术在《九章》 〔7〕 。环矩以为圆〔8〕 ，合矩以为方〔9〕 。既以追寻情理，又可造制圆方。言矩之于物，无所不至。 方属地，圆属天，天圆地方〔10〕 。物有圆方，数有奇耦 〔11〕 。天动为圆，其数奇；地静为方，其数耦。此配阴阳之义，非实天地之体也。天不可穷而见，地不可尽而观，岂能定其圆方乎？又曰：“北极之下高人所居六万里，滂沲四 而下。天之中央亦高四旁六万里。 ”〔12〕 是为形状同归而不殊途 〔13〕 ，隆高齐轨而易以陈 〔14〕 。故曰“天似盖笠，地法覆槃” 〔15〕 。方数为典，以方出圆〔16〕 。夫体方则度影正，形圆则审实难。盖方者有常，而圆者多变，故当制法而理之。理之法者：半周、半径相乘则得圆矣 〔17〕 ；又可周、径相乘，四而一 〔18〕 ；又可径自乘，三之，四而一 〔19〕 ；又可周自乘，十二而一 〔20〕 ；故“圆出于方”。 笠以写天〔21〕 ，笠亦如盖，其形正圆，戴之所以象天。写，犹象也。言笠之体象天之形。《诗》云“何蓑何笠 〔22〕 ”，此之义也。 天青黑，地黄赤。天数之为笠也〔23〕 ，青黑为表，丹黄为里，以象天地之位〔24〕 。既象其形，又法其位。言相方类 〔25〕 ，不亦似乎 ？是故，知地者智，知天者圣。言天之高大，地之广远，自非圣智，其孰能与于此乎 ？智出于勾〔26〕 ，勾亦影也。察勾之损益，知物之高远，故曰“智出于勾”。 勾出于矩〔27〕 。矩谓之表。表不移，亦为勾。为勾将正 〔28〕 ，故曰“勾出于矩”焉。 夫矩之于数，其裁制〔29〕 万物，惟所为耳。”言包含几微，转通旋还 〔30〕 也。 周公曰：“善哉！”善 哉，言明晓之意。所谓问一事而万事达。

【注释】

〔1〕平矩以正绳：利用矩的直角以铅垂绳校正水平线。这是测量必须预备的实际条件。《周髀算经》有两处提到“平矩”。另一处在卷下“立二十八宿以周天历度之法”中，称“令其平矩以水正”。这两个“平矩”的意义相同。正绳：以铅垂绳之正校定水平线。

〔2〕偃矩以望高：把矩仰立放，可测高度。偃：仰。（图三·偃矩以望高）

〔3〕覆矩以测深：把矩倒置，可测深度PQ 。将图三上下翻转180°，就是图四·覆矩以测深。

〔4〕卧矩以知远：把矩卧放与地面平行，可测两点的水平距离PQ 或斜距AP 。如地面两地间由于阻隔，不能直接测量水平距离或斜距，可利用相似直角三角形的比例关系求得。（图五·卧矩以知远）

〔5〕无方：无方向限制，各方向均可测量。

〔6〕曲从其事：谓根据需要，灵活应用。

〔7〕《九章》：《九章算术》。《九章算术》是集先秦至西汉数学知识之大成的著作，共分九章：方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股。勾股章讨论了用勾股定理解应用题，勾股容圆和勾股容方问题，以及勾股测量问题。

〔8〕环矩以为圆：把矩当圆规，环旋一周，可以得到圆形。其义有两解：有些学者（如陈遵妫）理解为以矩的一端为枢，旋转另一端，可以成圆（参见图六左）；有些学者（如李俨、梁宗巨等）理解为把矩的斜边固定，使两直角边变化，但保持顶角为直角，则顶角的轨迹是圆（参见图六右），即商高先于古希腊的泰勒斯已发现立于直径上的圆周角为直角这一定理。泰勒斯（Thales，约公元前七世纪至前六世纪）：古希腊自然哲学家、天文学家、数学家，希腊最早的哲学学派——米利都学派的创始人。他引入了命题证明的思想，将不少平面几何学的定理整理成一般性的命题，论证了它们的严格性。

〔9〕合矩以为方：将两矩相合，可得长方形，如矩之勾股相等则得正方形。

〔10〕方属地，圆属天，天圆地方：谓观测地的数理来自方，观测天的数理来自圆，所以说“天圆地方”。有些学者把商高这句话视为是叙述天地模型，并猜测良渚文化的玉琮或许是体现这一概念的实物。这看法应商榷，不仅是因为商高所说的“天圆地方”不是指天地之形，而且“地方”概念的文字记载出现得非常迟。赵爽为“天圆地方”作出如下评论：“此配阴阳之义，非实天地之体也。天不可穷而见，地不可尽而观，岂能定其圆方乎？”由此可见，赵爽反对当时学者对“天圆地方”的理解和看法。他认为“天圆地方”是形而上阴阳学派的论调，不合商高之意。早在赵爽之前，曾参对“天圆地方”有下列批驳：“如诚天圆而地方，则四角之不揜也……参尝闻之夫子曰：‘天道曰圆，地道曰方’”（《大戴礼记·曾子·天圆》）。曾参所言与商高之言相符合。商高所言是回答周公问数学在观测天地上的应用后，对观测天地的数学来源作一总结，不是在谈地之形为方。

〔11〕耦：偶数。

〔12〕北极之下高人所居六万里，滂沲四 而下。天之中央亦高四旁六万里：这是赵爽所引《周髀算经》的原文，详见《周髀算经》卷下“盖天天地模型”。

〔13〕形状同归而不殊途：天地形状结构相似，形成的机制也相同。

〔14〕隆高齐轨而易以陈：中央隆起的高度整齐划一而不同者只是上下位置。隆高：中央隆起的高度。齐轨：象轨道般整齐。易：变易。陈：陈列，布置。

〔15〕天似盖笠，地法覆槃：赵爽在此所引八字与《周髀算经》的原文略有不同，《周髀算经》的原文为“天象盖笠，地法覆槃”，详见《周髀算经》卷下“盖天天地模型”。

〔16〕方数为典，以方出圆：以方之数理为基础，借鉴处理方的办法推导出圆之数理。这是商高为其“或毁方而为圆，或破圆而为方”之法所作的原理概述。

〔17〕半周、半径相乘则得圆矣：赵爽在此给出求圆面积的一个正确公式，以现代符号表达即πR 2 （R 为半径，πR 为半周，π为圆周率）。在商高时代取约值3为圆周率，得3R 2 。这是当时认可的圆面积（见“商高篇二、勾股圆方图”之注〔3〕和注〔4〕）。传本此赵注误为“半周、半径相乘则得方矣”，赵爽在注中不仅多次用3R 2 为圆面积而且用4R 2 为其外切正方形的面积，故改注中“得方矣”为“得圆矣”。

〔18〕又可周、径相乘，四而一：又可以将周2πR 、径2R 相乘得4πR 2 ，除以4得πR 2 。取约值3为圆周率，得3R 2 。

〔19〕又可径自乘，三之，四而一：又可以将径2R 自乘得4R 2 ，乘以圆周率约值3得12R 2 ，除以4得3R 2 。

〔20〕又可周自乘，十二而一：又可以将周2πR 自乘得4（πR ）2 除以12得 （πR ）2 。取约值3为圆周率，得3R 2 。

〔21〕笠以写天：以笠写意天。在此“写天”的含义不仅只是以笠描绘天的形态特征圆，笠也当写意商高时代对天所理解的其他特征。譬如天的包盖功能，盖天说是由此功能而得名。笠：斗笠；写：写意，重在表达意境而不拘泥于形态。

〔22〕何蓑何笠：出自《诗·小雅·无羊》：“尔牧来思，何蓑何笠，或负其糇。”底本作“何蓑何苙”，此据胡刻本改。

〔23〕天数之为笠也：以笠来表现天之数理特质。从“笠以写天”到“天数之为笠也”，商高将“笠”从日常的“斗笠”升华为周髀家的科学术语。那就是说周髀的“笠”不仅意味着天体自行运行之形状，而且也指天盖的结构和功能。值得注意的是：古代希腊天文学家把天看成是多层晶体、每层粘有天体，天体运行是由晶体旋转所带动；古代印度宇宙论以为天上有着一系列的同轴天轮，天神靠风力推动天轮携带着各种天体绕北极星旋转；而古代中国周髀家的天是一个可让天体在其中自行运行的天，不是一个硬而实心的固体天。如《吕氏春秋·季春纪·圜道》说：“何以说天道之圜也？精气一上一下，圜周复杂，无所稽留，故曰天道圜。”由于“笠”的高度概括，商高以后的学者以笠的形状对古代天体形态作出多种探讨和猜测。譬如，《太平御览》引祖暅《天文录》云：“盖天之说，又有三体：一云天如车盖，游乎八极之中；一云天形如笠，中央高而四边下；一云天如倚车盖，南高北下。”天数：天道之数，天体运行的数理特质。

〔24〕青黑为表，丹黄为里，以象天地之位：以天色青黑为其外表，以地色黄赤为其里面，用来象征天地方位。商高在此叙述如何利用天色和地色给“写天”之笠定方位。

〔25〕相方类：相仿、相类似。

〔26〕智出于勾：智出自善于设勾测量的才华。

〔27〕勾出于矩：把矩固定作表，可以测量出勾影。

〔28〕为勾将正：以表为矩可得正勾（表影）。

〔29〕裁制：测算制作。

〔30〕转通旋还：各种各样的变换。

【译文】

周公说：“讨论数的问题，意义重大！心中明白数术的意义，所以发出“大哉”的感叹。 请问用矩的方法。”指用矩作表的事宜，测望的方法。 商高答道：“利用矩的直角边和重垂线，可确定水平面。以水平和悬绳之正，确定水平和垂直的物体，这是为了慎防差之毫厘，失之千里。 把矩仰立放，可测高度。把矩倒置，可测深度。把矩卧放与地面平行，可测水平距离的长度。这是说施用无方向限制，可随目标物的变化来应用，其方法载在《九章算术 》。把矩环旋一周，可以得到圆形。将两矩相合，可得方形。既可以追寻情理，又可以造制圆和方。讲矩对于各种事物的应用，无所不至。 方的数理应用于观测地，圆的数理应用于观测天，所以称天圆地方。物有圆、方，数有奇、耦。天动为圆，其数是奇数；地静为方，其数是偶数。这是为了配合阴阳之义，不是对天地实体的定义。看天不可能穷尽，观地不可能穷尽，岂能确定它们是圆是方？又说：“北极之下高人所居六万里，滂沲四 而下。天之中央亦高四旁六万里。 ”这说明天上地下形状结构均相似，中央隆起的高度整齐划一而不同者只是上下位置。所以说“天似盖笠，地法覆槃”。 以方的数理为基础，以处理方的方法推导出圆之数理。方的物体，测影正确；圆形的物体，面积都难算。其原因是方者纵横有序，而圆者多变难算，所以要研制法则来处理它。处理的法则：半周、半径相乘则得圆面积了 ；又可周、径相乘，除以四；又可径自乘，乘以三，除以四；又可周自乘，除以十二 ；（均得圆面积，）所以说“圆出于方”。 笠可用来写意天的功能与表现天的形态，笠也如圆盖，其形状正圆，戴在地上面所以象天。写，象的意思。说笠之形体象天的形状。《诗经》说“何蓑何笠 ”，就是这个意思。 天色青黑，地色黄赤。以笠来写意天的数理特质，天色青黑为其外表，地色黄赤为其里面，以此象征天地方位。既显示其形态，又表明其位置。用类似之物作比喻，能说不相似吗 ？所以说，通晓地上事物的是智者，理解天上事物的是圣人。说以天之高大，地之广远，除了圣人智者，谁能达到这个水平 ？智出自善于设勾测量的才华，勾即表影。观察勾（表影）的增减，可知目标物之高远，所以说“智出于勾”。 把矩固定作表，可以测量出勾影。矩用作表。将表固定，亦得勾（表影 ）。以表为矩可得正勾（表影 ），所以说“勾出于矩”也。 矩对于算数应用的重要性，在于测算制作万物，用起来得心应手。”讲矩包含精妙的机制，可作各种各样的变换。 周公说：“好极了！”善载：谓清楚理解后，表示赞同。这是所谓举一反三，问明一事而万事皆已明晓。