3.3 固定边界求解模型
3.3.1 上游恒定取水口边界模型
当输水线路的进水口与水库相连，在输水系统调节、开启和关闭的短时间内，可认为上游水位恒定，水锤模型的概化如图3.2所示。
取水口边界约束方程为
在进口断面可以获得以下反向特征线方程
综合式（3.7）和式（3.8），进水口的边界确定性模型可写为
图3.2 上游水位已知的状态边界
对式（3.9）进行求解，可得进口边界的求解模型为
3.3.2 下游恒定水位边界模型
当输水线路的出水口与较大的水池相连时，在输水系统调节、开启和关闭的短时间内，可认为下游水位恒定，水锤模型的概化如图3.3所示。
图3.3 下游水位已知的状态边界
下游边界约束方程为
在出水口断面，可以获得以下正向特征线方程
综合式（3.11）和式（3.12），出水口的边界确定水锤模型可写为
对式（3.13）进行求解，可得出口边界的求解模型为
3.3.3 调压井边界模型
调压井是输水线路中具有缓冲和控制水锤强度的一种防护设施。调压井本身不具备主动调节和改变水流状态的特性，但当管路的水压升高时，调压井可以通过缓存水体而减小压力的增加幅度；当管路的水压降低时，调压井可以通过向管路中补充水体而减小压力下降幅度，防止负压对管路产生的危害。
如图3.4所示，当调压井的水面在调压井可承受范围内波动时，调压井的边界条件可以根据水流连续性进行推导，连续微分方程为
图3.4 调压井边界模型
式中 qu——调压井上游流量；
qd——调压井下游流量；
Z——调压井水位；
Sw——调压井断面面积。
利用
将式（3.15）变为差分方程
式中 i、j——与调压井上游和下游相邻的节点断面。
调压井上游断面的正向特征线方程为
在出口断面可以获得如下反向特征线方程
结合调压井上下游相邻断面的正向方程和反向方程，调压井的边界条件可表示为
式中 A——系数矩阵。
求解方程式（3.21）可得调节池水锤模型的解为
式 （3.23）中A-为A的逆矩阵。
3.3.4 溢流井边界模型
在输水系统中，为了防止调压井水位过高，在调压井上设置溢流设施，当水位高过溢流井时，调压井中的水体溢流出去，从而防止压力进一步上升，这种设备在调水工程线路中具有控制管路压力的作用。图3.5所示为溢流井边界示意图。
图3.5 溢流井边界模型
当溢流井的溢流系数难以确定时，可忽略堰上水头对总压力的影响，一个简化的模型是：发生溢流后的计算边界为：水位高于溢流口时多余水量全部溢出，水位达到溢流水位后，溢流井中的水位和溢流口相同。在这种假设模型下，当溢流井中的水位低于溢流口的水位时；溢流井的边界条件和调压井的边界条件相同，当溢流井的水位达到溢流口的水位时，溢流井的边界为
上游断面的正向特征线方程为
在出口断面可以获得以下反向特征线方程
结合调压井上下游相邻断面的正向方程和反向方程，令溢流口的高度为Zw，调压井的边界条件可表示为
式中 A——系数矩阵。
求解方程式（3.28）可得调节池水锤模型的解为
式 （3.30）中A-为A的逆矩阵。
当上下游水位和流量确定以后，可以计算溢流流量为
在模型计算中，需要判断溢流井中的水位是否高于溢流口，然后选择相应的计算模型。溢流井的计算流程如图3.6所示。
图3.6 溢流井的计算流程
Zt—t时刻溢流井的水位；Zw—溢流堰的堰高
3.3.5 分叉管边界模型
在长距离输水管道和复杂的管网中，可能存在一个节点连接一根流入管道和多根流出管道，或者连接多根流入管道和一根流出管道，甚至连接多根流入管道和多根流出管道的情况，这种情况在计算中需要作为分叉管道处理。
如图3.7所示为1根管道流进，2根管道流出的简单分叉管情况。对于流入的管道，可建立一个正向特征相容方程：
图3.7 分叉管边界模型
对于流出的管道，每根管道均可建立一个反向特征线相容方程，即
以节点为控制体，可建立节点的连续方程为
忽略节点的局部水头损失，可得水头平衡方程为
以上3根管道的节点断面共有6个未知数，相应的6个方程可以形成封闭的方程系统求解。为了求解方便，可以结合分叉节点的水头平衡方程和连续方程，以及各管道的特征线方程建立方程的矩阵形式为
式中 A——系数矩阵。
求解方程式（3.39）可得分叉管道水锤模型的解为
式 （3.41）中，A-为A的逆矩阵。
考虑到常数项有3个元素为0，因此方程的解可以简化为
以上为具有3个分支的分叉管的水锤求解模型，但其基本的边界模式可以推广到任意多分支的分叉管道中。
3.3.6 分水井的边界模型
在长距离输水线路中，分水井的作用是将总管路的流量分配到各个支管，在分配流量的同时，具有调压井的作用，可以调节稳定水位。
图3.8所示为简单分水井边界模型。该分水井将主管的水流分给两个支管，分水井的管道的边界方程和分叉管的相似，而分水井连续方程和调压井的相似。根据图3.8，分水井的连续微分方程可表示为
式中 qi——流入分水井的流量；
qj、qk——流出分水井的流量；
Z——分水井水位；
Sw——分水井断面面积。
利用
将式（3.44）变为差分方程，即
图3.8 简单分水井边界模型
忽略分水井的局部水头损失，可得水头平衡方程为
进口支管和出口支管的特征线相容方程为
结合分水井上下游相邻断面的正向方程和反向方程、水头平衡方程和连续方程，分水井的边界模型可表示为
式中 A——系数矩阵。
求解以上方程可得分水井水锤模型的解为
式 （3.54）中A-为A的逆矩阵。
考虑到常数项有2个元素为0，因此方程的解可以简化为
以上为1进2出的分水井的水锤求解模型，但其基本的模型可以推广到任意多分支的分水井的计算建模。