2.6 能量守恒控制方程

2.6.1 能量方程

能量方程来源于热力学第一定律。热力学第一定律表述为，对某一流体系统所做的功和加给系统的热量，将等于系统的能量增加值。设单位体积流体质点能量的增长率为

注意，对于能量，这里所指为3种形式能量，即内能、动能及重力势能之和。

先来看表面力做功，流体单元表面力所做的功等于力与该力方向速度分量的乘积，如式（2.20a）～式（2.20c）表示的作用在x方向的力，这些力所做的功率为

即得到作用在x方向的表面力所做的净功率为

同理，作用在y方向的表面力所做的净功率为

作用在z方向的表面力所做的净功率为

所有表面力作用在单位体积流体质点上的总功率等于式（2.30a）～式（2.30c）3式之和并除以体积ΔxΔyΔz。将式中包括压力的项可提取出来，写成更紧凑的矢量形式

所有表面应力作用在单位体积流体质点上的总功率可写为

由于热传导引起的能量增量热传导矢量q有3个分量：q_x、q_y和q_z，见图2.5。在x方向传给流体质点的净热量率等于从单元体西面流进与从东面流出的热量之差，即

图2.5 热流量矢量的分量示意图

类似地，y和z方向传给流体质点的净热量率分别为

通过流体单元边界传给单位体积流体质点的总热量率为式（2.32a）～式（2.32c）3式之和并除以体积ΔxΔyΔz，即

根据傅里叶定律，热传导与局部温度梯度有关，即

式中：k为热传导系数。

写成矢量形式，有

组合式（2.33）和式（2.34），得到通过流体单元边界传给单位体积流体质点的总热量率为

对于流体质点能量，这里所指为3种形式能量，即内能i、动能及重力势能之和。此定义认为流体质点储存了重力势能，同时另一种观点是将重力看成体积力，当流体质点在重力场中运动时，重力对其做功。采用后一种观点，将重力势能的变化当作能量变化的源项处理。质点能量守恒就是流体质点的能量变化率 [式 （2.29）]等于所有表面应力作用在流体质点上的总功率 [式 （2.31）]和通过流体单元边界传给流体质点的总热量率 [式 （2.35）]，即能量守恒方程可写为

其中

尽管式（2.36）就是完整的能量守恒方程，但常常希望获得关于流体内能i或温度T的数学表达式，为此，将速度分量u、v和w分别乘以x、y和z方向的运动方程［式（2.22a）、式（2.22b）和式（2.22c）］，并相加，就得到关于流体动能的守恒方程式

式（2.36）减去式（2.37），并定义一个新的源项S_i=S_E-u·S_M，得到关于内能的守恒方程

对于不可压缩流体，有▽·u=0和i=cT，c为流体的比热，代入式 （2.38），可得到关于温度的守恒方程

对于可压缩流体，等式（2.36）常写成焓的形式，比焓或总比焓定义为

由比焓和比能E的定义，有

将式（2.40）代入式（2.36）得到总焓的守恒方程

需要说明的是，式（2.38）、式（2.39）和式（2.41）并不是新的能量守恒方程，仅是方程（2.36）的替代形式而以。

2.6.2 气体状态方程

流体的运动可由质量守恒方程式（2.17）、x，y和z 3个方向的动量方程式（2.23a）～式（2.23c）以及能量守恒方程式（2.36）来描述。在这些流体变量中，涉及4个热力学变量——ρ、p、i和T。尽管有时流体的运动速度很大，但热力学系统往往会在极短的时间内达到平衡态，即可认为一个热力学系统总是处于动的平衡态，即热动平衡。当然也有一些例外，如存在强的冲击波时，上述结论就不一定成立。

通过状态变量可以描述气体的平衡态。对于一定质量的气体，如果选择ρ和T作为基本状态变量，对压力p和内能i有状态方程

对于理想气体，关于压力p和内能i的状态方程可表示为

式中：R为普适气体常数；C_v为流体比热。

对于可压缩流体，状态方程为能量方程与质量守恒方程与动量守恒方程变量间提供了联系，比如密度可能随着温度和压力发生变化。

气体和液体在低马赫数流动时，常看成不可压缩流体。此时密度不再随温度和压强变化，故对不可压缩流体流动，能量方程与质量守恒方程和动量守恒方程之间没有任何联系，质量守恒方程和动量守恒方程可单独求解，如包括热传导时，再同时求解能量方程。

2.6.3 描述牛顿流体的能量控制方程

同样，利用黏性应力与应变率成正比的牛顿模型，代入内能方程式（2.38），经整理，可得

在内能方程中，所有由于黏性应力产生的影响统一由耗散函数Φ描述，即有

耗散函数Φ只包括平方项，所以始终为正值，代表作用在流体质点上的变形功而引起的内能源项。