2.5 动量守恒控制方程

2.5.1 动量方程

动量平衡是流体运动时所应遵循的另一个普遍定律。它的含义是，对流体质点或给定的流体系统，其动量的时间变化率等于作用于其上的外力总和，其数学表达式即称运动方程。

单位体积流体质点在x，y和z方向的动量增长率为

作用在流体质点上的外力通常可分为两类，即体积力与表面力。体积力是指作用于流体系统内每一质量微元（或质点）上的力，如重力、惯性力、电磁力。表面力是指外界作用于流体表面上的力，也称面力，如压力、黏性力。通常在动量方程中将表面力作为独立的一项，而将体积力作为动量源项。

一流体单元的应力状态包括压力和9个黏性应力分量，见图2.3。压力为正应力，记为p，黏性应力即包括正应力也包括切应力，记为τ。通常τ_ij的下标表示黏性应力作用的方向，第一个下角标表示该应力作用面的法线方向，第二个下角标表示该应力的投影方向，例如τ_xy表示，它是作用于外法线为x轴正向的面积元上的应力在y轴上的投影分量。

图2.3 流体单元各面上的应力分量

首先，来看作用在流体单元上外力在x方向的分量，见图2.4。力的大小等于表面应力乘以表面面积，力的方向如与坐标轴一致为正，如相反则为负。作用在x方向的合力即为作用在流体单元各面上x方向的力之和。

作用在流体单元东、西面上x方向的力为

作用在流体单元南、北面上x方向的力为

图2.4 流体单元各面上x方向的应力分量

作用在流体单元上、下面上x方向的力为

作用在单位体积流体上x方向的合力等于式（2.20a）、式（2.20b）和式（2.20c）相加并除以体积ΔxΔyΔz，即

以上仅考虑流体单元表面力，体积力的影响可在单位体积单位时间内x方向定义一动量源项S_Mx描述。

根据动量守恒律，式（2.19）定义的流体质点x方向的动量变化率应等于作用在流体单元x方向的合力，即

同理，y方向的动量方程可表示为

z方向的动量方程可表示为

其中，压力符号与黏性法向正应力符号相反，因为一般规定法向拉应力为正，而压力始终为压应力，故其前冠以负号。上面的动量方程中表面力显示加以考虑，式（2.22a）～式（2.22c）中的动量源项仅考虑了体积力的作用。如，体积力仅考虑重力，则动量源项为S_Mx=0，S_My=0和S_Mz=-ρg。

2.5.2 牛顿流体的本构方程

流体守恒的控制方程包括未知的黏性应力τ_ij，往往需要对黏性应力τ_ij构建适宜的模型。对大多数流动，黏性应力τ_ij可表示为局部应变率的函数，对三维流动，局部应变率包括线变形率和体积变形率。

所有的气体和绝大多数液体都是各向同性的。比如含有大量聚合物分子的流体表现出各向异性，这里我们不加讨论，只针对各向同性的流体。

流体单元的线变形有9个分量，记为s_ij，其中6个是独立的（下角标的意义与2.5.1小节中应力的下角标记号含义一样），包括3个线应变分量

和6个线性的剪应变分量

体积应变率为

对于牛顿性流体，黏性应力与应变率成正比^［7］。对三维可压缩黏性流体，此处包含两个比例常数，即动力黏性系数μ（联系黏性应力与线应变率）和第二黏度系数λ（联系黏性应力与体积应变率），其6个独立黏性应力与应变率可表述为

对于不可压缩流体，由于体积应变率为零，黏性应力等于2倍线应变率与动力黏性系数μ的乘积。但对大多数流体，体积应变率也并不大，斯托克斯曾假设λ=-2/3μ^［7］。

2.5.3 描述牛顿流体Navier-Stokes方程

将黏性应力表达式（2.25）代入式（2.22a）～式（2.22c），得到所谓的Navier-Stokes方程，即

将黏性应力项重新按如下排列，即

y和z方向的方程可以类似重新组合排列，并定义一个新的源项

Navier-Stokes方程就可写成