2.3 雷诺输运方程

为了从守恒定律推导流体力学的基本方程，以下来研究一个流体系统在空间的运动，需解决系统的有关物理量在欧拉空间运动中对时间的全导数问题。系统是指某一确定流体质点集合的总体。系统将随流体的运动而运动，系统边界的形状和所围空间的大小可随运动而变化，但包含的流体质点不变，即系统与外界无质量的交换，但可以有力的相互作用及能量（热和功）交换。控制体指流场中某一确定的空间区域，包围这个空间区域的边界面，称为控制面，流体质点随时间流入和流出这个空间区域，即控制体与外界不仅有力的相互作用及能量（热和功）交换，还有质量的交换。

流体力学中的雷诺输运方程，有类似随体导数的概念，随体导数是针对一个流体质点的拉格朗日变化率表示为一个空间点即欧拉描述下的欧拉导数，而雷诺输运方程是将一个流体系统的拉格朗日变化率表示为空间控制体即欧拉描述下的欧拉导数，都是将针对拉格朗日描述的物理量转换到易于研究的欧拉参考系中。

在流动中取定一个系统，系统在流动过程中t=t₀+Δt时所占据的空间为控制体V（t），系统在t=t₀时所占据的控制体V₀=V（t₀）作为识别这一系统的标志。取微元体ΔV₀=Δx₀Δy₀Δz₀，ΔV（t）=ΔxΔyΔz，则有

其中

J称为x，y，z相对于x₀，y₀，z₀的雅可比行列式。由于J=ΔV/ΔV₀。可知，J表示一流体单元在t时刻和初始时刻t₀的体积之比。在流体力学中，流体单元的相对体积膨胀率等于速度的散度，即

式中：u为流体的速度矢量。

结合J的定义，式（2.8）可转化为

系统的质量、动量或能量等，对时间的全导数可推导如下：

根据物质导数定义式（2.2），式（2.10）可改写为

进一步，根据高斯散度定理，式（2.11）可进一步改写为

A（t）为控制体V（t）的控制面。式（2.12）即为雷诺输运方程，它表明，某时刻一可变体积上系统总物理量的时间变化率，等于该时刻所在空间域（控制体）中物理量的时间变化率与单位时间通过该空间域边界净输运的流体物理量之和^［5-6］。