2.2 描述流体运动的方法

描述流体物理量有两种方法，一种是给每一流体质点以一个不同的标记（例如，根据连续介质假设，在t=t₀时刻，质点在空间占有一空间点，于是该质点可以以t=t₀时刻的空间坐标3个数来做标记），流体质点的物理量就表示为该标记及时间的函数。另一种是将流体物理量表示为空间点及时间的函数。根据连续介质假设，流体所占区域的空间点在某一时刻必被一流体质点所占有，因而流体在该空间点上的物理量，实际上就是某一流体质点在某一时刻的物理量，这种描述法并不去追究该物理量属于哪一个质点的。

2.2.1 拉格朗日描述

为了识别流体中的一个质点，以一组数（a，b，c）作为其标记，不同的质点以不同的数（a，b，c）表示，称这组数（a，b，c）为拉格朗日坐标或随体坐标。拉格朗日坐标可以（且常常）以质点初始时刻t=t₀时的位置坐标（x₀，y₀，z₀）来表示。显然，流体质点不管运动到哪里，其拉格朗日坐标并不改变。着眼于流体质点，（认为流体质点的物理量是随流体质点及时间变化的），流体质点的物理量φ表示为拉格朗日坐标（a，b，c）及时间t的函数，即拉格朗日描述的数学表达：φ=φ（a，b，c，t）。如位置以矢径r表示，其拉格朗日描述：r=r（a，b，c，t），上式代表任意流体质点的运动轨迹。

2.2.2 欧拉描述

为了表示流体质点在不同时刻运动到空间的一个位置，以一固定于空间的坐标系的一组坐标（q₁，q₂，q₃）来表示该位置。根据连续介质假设，流体质点是连续地布满流体所占空间的，因而可以认为流体质点与空间点也与一组坐标（q₁，q₂，q₃）是一一对应的，称这组坐标为欧拉坐标或空间坐标。着眼于空间点（认为流体质点的物理量是随空间点及时间变化的），流体的物理量φ表示为欧拉坐标（设空间坐标取为直角坐标）（x，y，z）及时间t的函数，即欧拉描述的数学表达：φ=φ（x，y，z，t）。如流体速度的欧拉描述：u=u（x，y，z，t），表示在空间点（x，y，z）上在时刻t的流体速度。自然，这个速度是某一个流体质点的，不过，这里并未显示出这一速度是属于哪个质点的，而只说明在时刻t运动到空间点（x，y，z）的那个流体质点有速度u（x，y，z，t）。

物理量的欧拉表示式代表了该物理量的空间分布，称为该物理量场，例如速度场、压强场等。因此欧拉观点是场的观点，可运用数学上“场论”知识作为理论分析工具。欧拉法适用于描述空间固定域上的流动，是流体力学中最常用的描述方法。

拉格朗日描述着眼于流体质点，将物理量视为拉格朗日坐标（a，b，c）及时间t的函数；欧拉描述着眼于空间点，将物理量视为空间坐标（q₁，q₂，q₃）及时间t的函数。但它们既然可以描述同一物理量，必定互相关系，因此拉格朗日描述和欧拉描述可以相互转换。拉格朗日描述和欧拉描述在研究流体运动时，只是着眼点不同而已，并没有本质上的差别，对于同一个问题，用两种方法描述的结果应该是一致的^［4］。

2.2.3 随体导数

流体质点物理量随时间的变化率，称为随体导数，也称物质导数或质点导数。它意味着跟随流体质点运动时观测到的质点物理量的时间变化率。

在拉格朗日描述下，物理量φ视为拉格朗日坐标（a，b，c）及时间t的函数，φ=φ（a，b，c，t）；φ的随体导数就是跟随质点（a，b，c）的物理量φ对时间t的导数（这时a，b，c是不变的），即∂φ/∂t。例如：速度u（a，b，c，t）是矢径r（a，b，c，t）对时间的偏导数，即随体导数就是偏导数。

在欧拉描述下，物理量φ视为欧拉坐标（x，y，z）及时间t的函数，φ=φ（x，y，z，t），但∂φ/∂t并不表示随体导数，它只表示物理量在空间点（x，y，z）上的时间变化率［φ取自（x，y，z）这一点］。而随体导数必须是跟随t时刻位于（x，y，z）空间点上的那个流体质点，其物理量φ的时间变化率［这个φ取自同一流体质点，而非取自同一空间点（x，y，z）］。由于该流体质点是运动的，可见，运动的流体质点所经过的空间点的坐标也是随时间变化的，即x，y，z都是时间t的函数。

应该注意到，动量和能量守恒等物理定律都针对流体质点的守恒律（并非空间点或流体单元），对应着拉格朗日描述方法。流体质点的任意物理量是流体质点空间位置（x，y，z）和时间t的函数。每单位质量流体的任意物理量值用φ表示，跟随流体质点任意物理量φ对时间的全（物质）导数可表示dφ/dt，即

由于该流体质点是运动的，即流体质点的空间位置（x，y，z）是变化的，于是有dx/dt=u，dy/dt=v，dz/dt=w，因此，φ的全导数依连锁法则处理，有

式 （2.2）表明欧拉描述下，质点物理量的随体导数由两部分组成：①一项是∂φ/∂t，它表示x，y，z不变时，在该空间点上的物理量随时间的变化率，称为局部导数，它是由物理量的不定常性造成的，（对定常流场该项为零）。②另一项是u·▽φ，它表示在非均匀的场中 （有梯度▽φ），由空间位置变化 （有速度u）引起的，称为位变导数。

dφ/dt定义了单位质量流体物理量φ的变化率，据此可发展基于格朗日描述的流体流动计算方法，如追踪流体质点的运动轨迹以及计算流体质点或流体系统物理量随时间的变化率等。然而，发展固定于空间的流体单元或控制体的流体力学控制方程要方便得多，该方法就对应着欧拉描述。

在质量守恒下，对单位体积流体物理量φ的变化率可表示为dφ/dt与密度ρ的乘积，即

对于流体流动计算，由于流体本身的易流动性，针对空间固定的流体单元建立起来的守恒法则使用起来往往更方便（不针对流体质点或流体系统，而针对流场空间点或控制体）。为此，下面推导针对流体质点物理量φ的物质导数与针对流体单元物理量φ的变化率之间的关系。

针对一流体单元，质量守恒方程可看成将单位体积的流体质量 （即密度ρ）作为守恒量，并等于密度随时间的变化率与对流项之和。即∂ρ/∂t+▽·（ρu）。

对任意物理量，也有类似的守恒特征，即

式（2.4）表示单位体积物理量φ的时间变化率与单位体积流体净流出流体单元的物理量φ，也可表述为

由质量守恒式 （2.4），式 （2.5）中φ[∂ρ/∂t+▽·（ρu）]项等于零。式 （2.5）可表述为流体质点物理量φ的时间变化率等于流体单元内物理量φ的增加率与通过流体单元边界净流出的物理量φ的变化率之和。