3.3　岩体参数模糊分析和评价

岩土工程中存在着众多的不确定性因素,岩土工程中的不确定性信息包括了随机信息、模糊信息、灰信息和未确知信息。未确知数学的出现和发展为研究岩土工程问题中的未确知性开辟了另一条新的途径。

3.3.1　岩体模糊分类

岩体模糊分类的基本思想是:根据模糊集合论综合评价方法,假定A为评定对象,ai(i=1,2,…,n)为评定条件,rj(j=1,2,…,n)为被评定对象A关于某个条件aj(j=1,2,…,n)的评分,此处用wj(j=1,2,…,n)表示在总评中条件aj(j=1,2,…,n)的相对重要性指标,即权重的值。A的总评分rz用加权平方法计算:

如果用rj和wj表示空间R中的两个模糊集,相应的隶属函数分别为μrj(rj)、μwj(wj),则式(3.3.1)可视为从空间Rn到空间R的映射。映射函数可表示为:

由上面公式,可将r的隶属函数写成:

根据隶属函数,从下面几个方面对岩体质量进行评价:①岩石材料的单轴抗压强度;②岩体中节理裂隙的间距;③岩石质量指标RQD值(实际上是修正的岩芯采取率指标);④岩体中节理赋存的方位(以角度计);⑤岩体中节理裂隙的状态,如节理的连续性,闭合程度和充填物的厚度、性质等;⑥岩体内部地下水的流入量或地下水相对于每米的流入量。

根据评分的多少,对岩体质量进行评价,依此确定岩体类别。隶属函数能全面地反映了总评分的变化及其隶属程度,从而为综合评价岩体和进行分类提供了更为全面的依据。

3.3.2　岩土力学参数模糊统计分析

对参数的模糊性进行研究是岩土力学模糊化研究中十分重要的内容之一。

如何处理带有显著模糊性的数据是正确合理确定参数的前提。一方面,可以通过分析测试指标对某一岩组的隶属度来对岩组划分进行合适的调整;另一方面,可以通过足够数量的试验结果对每一岩组的力学指标进行可靠度估计。

模糊随机统计分析方法的思想是:充分应用实验得到的数据并结合专家经验,利用特定隶属函数对各个待处理的数据进行综合分析以得到参数的各种模糊均值、模糊方差等特征值。

3.3.2.1 隶属函数的选取研究

岩土计算力学参数的模糊性是指计算参数的取值在计算时所表现出来的真实值与取定值之间的差异,它反映了参数在时空中某一点上的取值变异特性。

设U是论域,u是U中的任一元素,A是U的一个普通子集,A的特征函数xA的定义为:

在模糊集合论中,通常是将上述特征函数定义直接拓广为隶属函数定义。

设U是论域,u是U中的任一元素,是U的一个模糊子集,的隶属函数的定义为

上述隶属函数的定义是以映射的形式简单地从特征函数的定义推广而得。

3.3.2.2 随机模糊岩石参数研究

定义:在概率空间(X,B,p)中,对于X中的一个模糊集,如果它的隶属函数是Borel可测的,则称是X中的一个模糊事件。

定义:模糊事件的概率定义为

当全集X是有限集时,则有

其中,p(x)为x的概率密度函数。

1.样本随机模糊均值

设X=Rn,为Rn上的模糊事件,x是一个随机变量,那么有如下定义。

定义:随机变量x在事件上的随机模糊平均值定义为:

当全集X是有限集时,则有:

两式就是求解岩土力学样本参数均值的基本公式。在实际应用中,为获得依赖于试验数据的概率密度函数是一个十分复杂的过程,它必须根据假定的概率分布针对不同工程进行概率密度函数的求解。它可以写为:

式(3.3.11)就是岩土样本力学参数均值的计算公式。该式为隐函数形式,需要迭代求解。

2.样本随机模糊方差

设X=Rn,为Rn上的模糊事件,x是一个随机变量,那么有如下定义。

定义:随机变量x在事件上的随机模糊方差定义为:

式(3.3.12)就是计算随机模糊方差的基本公式。它的计算公式为:

式(3.3.13)就是岩土样本力学参数随机模糊方差的计算公式。同样该式也为隐函数形式,需要迭代求解。

3.样本随机模糊协方差

设x,y分别为岩土力学参数的两个样本,x,y的样本值xi,yi(i=1,2,…,n)。

考查目标函数:

为取得极值式对mxy求导应等于0,即解得:

4.随机模糊均值的迭代求解

注意到协方差是假定w01为常数条件下得到的,即认为w01不随的变化而变化求导得到的,所以进行迭代计算时,w01应固定不变,这样就给w01取值带来了困难。可采用两步迭代法避开这一问题,具体步骤如下:

(1)取D1i=(xi-xw)2,第一次计算取xw等于随机方法得出的平均值,由此得到第一个权值w01,在迭代计算时,xw不变,直到求得满足要求的;

(2)变化xw[可令xw为上一步求得的],重复第一步计算,可以得到新的

(3)重复第二步计算,直到xw与之间的差值可以忽略不计为止。取最终的值为所求的模糊均值。

同样随机模糊方差公式也是隐函数形式,也需要用迭代法求解。

3.3.3　小结

基本模糊分析的统计特征研究方法可总结如下:

(1)通过对随机模糊均值及随机模糊方差定义,提出了基于马氏距离的参数隶属函数。在此基础上,按照隶属度最大的原则,对所建立的隶属函数求导,推导了模糊均值和模糊方差的数值计算表达式。这种计算表达式比按随机模糊均值和方差的定义式进行计算要简便一些,便于工程应用和推广。相应随机模糊均值、方差和协方差计算公式,可为随机模糊统计特征值的计算提供有力的理论计算依据。

(2)随机模糊统计方法计算得到的随机模糊方差和随机模糊变异系数,都比按随机统计方法得到的方差和变异系数要小,说明随机模糊统计方法得到的结果更加可靠,更符合工程实际情况。两种方法得到的均值变化特性还说明,按随机统计方法得到的参数进行计算,会给工程安全性的判断带来更大的不确定性。