2.5 非饱和土的强度理论

2.5.1 非饱和土的有效应力状态

土中的应力状态决定了土的力学性状，对于饱和土而言，土中任意点的应力状态由两部分组成，一是作用在土体上的总应力σ_ij，二是孔隙水压力u_w。Terzaghi（1936）指出饱和土的应力状态变量可以用一个有效应力来描述，即

σ′_ij=σ_ij-u_wδ_ij

（2.43）

饱和土的所有力学性质都可以用有效应力来控制，比如土体的体积变化及抗剪强度等。饱和土有效应力原理的成功使得人们希望能将这样一个有效应力扩展应用到非饱和土中。然而具有三相不同物质组成的非饱和土的性质非常复杂，到目前为止，对它的认识和理论描述还很有限。Gens（2010）指出，采用不同的应力变量会建立不同形式的非饱和土弹塑性本构模型，由此可见选择应力变量的重要性。因为有效应力的研究是非饱和土的研究中最基本和最重要的，它是非饱和土的其他性质研究的基础和前提，因此促使研究者对其进行了持续不断的研究（赵成刚等，2006，2009；包承纲等，2006）。我国很多学者对这方面工作进行了研究（杨庆等，2004；包承纲等，2004；谢定义等，2006；汤连生等，2006；周建，2009）。赵成刚等（2009）指出目前有效应力研究主要分3个学派：①采用单应力变量的有效应力；②双应力变量理论；③从功的表达式中确定有效应力。

1.Bishop有效应力

Bishop（1959）提出了非饱和土单应力变量有效应力，表示为

σ′_ij=σ_ij+χsδ_ij

（2.44）

式中：σ_ij为净应力，σ_ij=σ_ij-u_aδ_ij；s为基质吸力，s=u_a-u_w；χ为有效应力参数或者

Bishop参数，它受非饱和土性质的影响，从0（干土时）到l（饱和时）变化。

Aitchison（1961）、Jennings（1961）等也给出了类似的非饱和土有效应力的表达式。

式（2.44）的实质就是要像饱和土那样，利用它确定非饱和土的变形和强度。

从总体上看，非饱和土单应力变量有效应力原理是借鉴的饱和土中有效应力概念，它是一种宏观、直觉、经验性的表达式，物理机制并不明确。事实上，非饱和土的性质非常复杂，并取决于许多影响因素（包括非饱和土的各种应力，如总应力、液相压力、气相压力），仅用式（2.44）给出的有效应力不可能建立唯一的、考虑全面的非饱和土弹塑性本构关系。尽管如此，由于单应力变量有效应力原理简单，又和饱和土的有效应力的表达式相类似，易于被接受和掌握，也易于在已有的有限元程序中实现和应用，到目前为止仍有人继续研究。在特定的范围和条件下，它用于实际工程会取得很好的效果，从工程应用的角度出发，针对单应力变量的有效应力原理及其工程应用的研究是有实际意义的。

2.双应力变量理论

为了克服上述非饱和土中单应力变量有效应力的缺点，Blight（1967）等建议用两个

独立的应力变量（如净应力和基质吸力）来描述非饱和土的强度和变形。Fredlund和Morgenstern（1977）以多相连续介质力学为基础，通过对非饱和土进行应力平衡分析，指出非饱和土中任意一点的应力状态（总应力、孔隙水压和孔隙气压）都可以用两个独立的应力变量（净应力和吸力）作为等效表示组合，此后双应力变量理论（即认为用两个独立的变量可以确定非饱和土的变形和强度）的研究得到了迅速发展，并居于非饱和土研究发展的主流地位。

2.5.2 非饱和土的应力状态变量

对于非饱和土来说，平衡条件意味着土的4个相（亦即空气、水、收缩膜和土粒）均处于平衡状态，假设每个相在每个方向上均形成独立的、线性的、连续一致的应力场，可以写出每个相独立的平衡方程，然后应用叠加原理将其叠加，从土结构的平衡方程可得出独立的3组法向应力：（σ-u_a）、（u_a-u_w ）和u_a。假设土粒和水不可压缩，则净法向应力（σ-u_a）和基质吸力（u_a-u_w ）就成为非饱和土的应力状态变量。更具体地说，它们就是控制土结构和收缩膜平衡的应力矢量。因此，非饱和土的全面应力状态可以用两个独立的

应力张量表示（Escario等，1986，1987；Gan等，1998），即

╭

（σ_x-u_a）τ_yx

τ_zx

╮

τ_xy

（σ_y-u_a）τ_zy

（2.45）

╰

τ_xz

τ_yz

（σ_z-u_a

╯）

╭

（u_a-u_w）

0

0

╮

0

（u_a-u_w）

0

0

0

（u_a-u_w

（2.46）

╰

╯）

这两个应力张量不能合成一个矩阵，图2.16表示两个独立的张量作用于非饱和土的一点。在工程界，孔隙气压力和孔隙水压力通常用“压力表压力”表示。

图2.16 非饱和土的应力状态变量

2.5.3 非饱和土的破坏标准

在抗剪强度试验中，进行试验的方法和定义破坏的准则有若干种。在固结排水三轴剪切试验中，维持试件中的孔隙压力为常数，基质吸力不变，外面的净周围压力[即净小主应力（σ₃-u_a）]也是不变的，试件在逐渐增加的净轴向应力[即净大主应力（σ₁-u_a）]

下发生破坏。最大主应力差（σ₁-σ₃）_max是土的抗剪强度的一种表示方式，并作为一种破

坏准则。另一种破坏准则为主应力比（σ₁-σ₃）_f/（σ₃-u_w）_f。

试验表明，最大主应力差（σ₁-σ₃）_max和最大主应力比（σ₁-σ₃）_f/（σ₃-u_w）_f并不出

现在相同的轴向应变处。这两大破坏准则描绘了土所能抵抗的最大应力组合。有时应力—应变曲线并无明显的峰值，在此情况下，选用某一应变（如12%或15%）代表破坏。

2.5.4Bishop提出的非饱和土强度公式

Bishop根据莫尔—库仑破坏准则提出了非饱和土的抗剪强度公式，即

τ_f=c′+[（σ-u_a）+χ（u_a-u_w ）]tanφ′

（2.47）

式中：c′为有效黏聚力；u_a为孔隙气压力；u_w为孔隙水压力；（u_a-u_w）为基质吸力；φ′为有效内摩擦角；χ为与土的饱和度有关的参数，称为非饱和土有效应力参数，它的物理意义是单位面积上水压力作用面积，其数值取决于土的类别、饱和度、干湿循环以及加载

和吸力的路径。χ值介于0～1.0，饱和土的χ=1.0，干土的χ=0。Bishop曾在1963年

发表过对4种不同的压实黏土样品进行剪切试验所求得参数χ与饱和度的相互关系，如图

2.17所示。

Bishop对参数χ的测定方法是采用由饱和土测定的c′、φ′值，由非饱和土测定的抗剪强度值τ_f，以及破坏时的孔隙气压力u_a、孔隙水压力u_w，算出χ值。但由强度条件确定的χ值与由变形条件确定的χ值不同，而且受加载历史的影响，有时测得的差值会远远超

过1%。

图2.17 参数χ与饱和度S_r之间的关系

Bishop公式中的参数χ值的影响因素众多，测定困难，吸力（u_a-u_w）的值也较难测定。虽然Bishop公式的合理性已为许多学者所接受，但在工程实践中的应用受到了限制。也有一些学者对

它的正确性持怀疑态度，认为Bishop公式既未从理论上加以论证，也未在试验中加以充分检验。

几十年来，对于Bishop公式中的χ值的确定方法，提出的方法和得到的形式五花八门，具代表性的有以下几种。

1.Bishop方法

Bishop将有效应力和库仑的强度公式联系起来，即

τ_f=c′+[σ-u_a+χ（u_a-u_w）]tanφ′

（2.48）

在用式（2.48）确定χ值时，假定对某一给定的起始孔隙比来说，c′和φ′与饱和度无关。于是从完全饱和试样的试验中取得c′和φ′值，再由非饱和土强度破坏时对应的应力状

态τ、σ以及u_a和u_w代入式（2.48）解出χ。

2.沈珠江公式

1963年，沈珠江也针对强度问题提出式（2.49），即

χ=B_a-1+tanφ_a/tanφ′

（2.49）

B_a-B_w

式中：φ′为饱和土的有效内摩擦角；φ_a为同一土体非饱和时测得的内摩擦角；B_a=Δu_a/Δσ和B_w=Δu_w/Δσ分别为孔隙气压力和孔隙水压力系数。

3.Blight方法

1967年，Blight利用两个非饱和的试样或一个饱和与一个非饱和的试样分别进行了试验，他不仅从强度而且从体变两个方面研究了χ值的变化特性。对强度问题有

τ_（1）τ_（2）

=c′+[（σ-u_a）_（1）+χ（u_a-u_w ）_（1）]tanφ′c′+[（σ-u_a）_（2）+χ（u_a-u_w ）_（2）]tanφ′

（2.50）

式中c′、φ′假定两点对应相等。对于体变问题有

-Δε_v=cΔ[（σ-u_a）+χ（u_a-u_w ）]

（2.51）

对于两个点，假设c值相等有

-Δε_v（1）-Δε_v（2）

=Δ（σ-u_a）_（1）+χΔ（u_a-u_w ）_（1）

（2.52）

Δ（σ-u_a）_（2）+χΔ（u_a-u_w ）_（2）

从式（2.50）和式（2.52）可解出各自相应的χ。试验发现，对于强度问题和体问题χ值并不等，且χ值可能大于1。

2.5.5 Fredlund提出的非饱和土强度公式

Fredlund等从强度、变形、固结、渗透等各个方面比较系统地研究了非饱和土的问题，分析了控制非饱和土力学性状的土体内部应力变量。他们认为，（σ-u_a）、（σ-u_w ）、（u_a-u_w）3个应力变量中，只有两个是独立的，其中任意两个的组合都可以决定非饱和土的性状，其中（σ-u_a）和（u_a-u_w ）这两个应力状态变量的组合概念明确，最适合在工程实践中应用，这就是双变量理论。

在双变量理论基础上，Fredlund等于1978年提出了他们的非饱和土抗剪强度公式，即

τ_f=c′+（σ-u_a）tanφ′+（u_a-u_w ）tanφ^b

（2.53）

式中：c′为有效黏聚力；φ′为与净法向应力变量（σ-u_a）有关的内摩擦角；φ^b为抗剪强度随基质吸力（u_a-u_w）而变化的内摩擦角。

这一理论公式提出时假设非饱和土抗剪强度τ，与基质吸力（u_a-u_w）成线性正比关系，并引入参数用tanφ^b作为吸力（u_a-u_w）的内摩擦系数来表达吸力对强度的影响。实际上，Fredlund提出的非饱和土抗剪强度公式是饱和土抗剪强度公式的延伸，饱和土仅需一个应力状态变量[即法向有效应力（σ-u_a）]来描述其抗剪强度，而非饱和土需要两个应力状态变量来描述。Fredlund公式也可看作是扩展的莫尔—库仑理论（图2.18）。

在提出这一理论的初期，曾假设tanφ^b对于一种土体为常数，但是近年来大量试验资

图2.18 引申的莫尔—库仑强度面

料证明tanφ^b对于一个固定的土样也并非是常数，而是随着基质吸力的变化而变化。Fredlund收集了所测得的各种土的典型φ^b值。试验结果表明，φ^b往往不大于内摩擦角φ′。Gan证明在土中吸力低于某特定值时（如土的进气值），φ^b=φ′；当基质吸力超过某一吸力范围时，φ^b是非线性的，并随着吸力增加而减少。对于大多数土来说，φ^b是一个变量，表现出非线性抗剪强度特征。非饱和土的

土—水特征曲线（Soil WaterCharac-

teristicCurve）是非饱和土饱和度（或含水量）随基质吸力变化的曲线。Fredlund和Xing在研究Brook&amp；Core、McKee&amp；Bum给出的土—水特征曲线方程基础上，得到了适

用于整个吸力范围（0～1000000kPa）的土—水特征曲线方程，即

S=┌└1-ln（l1n+（11+00ψψψ0rr00）0）┐┘

1

m

┌└

ln（e+（aψ）n）┐┘

（2.54）

式中：S为饱和度；ψ为土的吸力；ψ^r为饱和度是残余饱和度S_r时的吸力；a为进气值；

n和m为试验参数；e=2.71928…（自然数）。

Fredlund等又提出了利用土—水特征曲线预测非饱和土抗剪强度的公式，即

τ=c′+（σ-u_a）tanφ′+tanφ′∫ψ0[（S1--SSrr）]d（u_a-u_w）

（2.55）

Fredlund等用式（2.55）确定的抗剪强度随基质吸力变化的曲线、根据Brook&amp；Core

和McKee&amp；Bumb各自的土—水特征曲线方程以及它们与实验测定值的比较得到的抗剪强度的变化曲线。

Fredlund理论的应用取决于室内外吸力的量测技术，普遍认为，只要解决现场实用吸力测试技术，该理论有广阔的应用前景。

近期，马秀婷（2013）等为揭示黄土的非饱和性与结构性，通过控制基质吸力条件下的原状黄土和重塑黄土的直接剪切试验分别得到了Fredlund、Bishop抗剪强度公式中与基质吸力相关的特征参数φ^b、χ；通过无侧限抗压强度试验测试得到黄土的构度，分析了原状和重塑两种结构状态非饱和土的总应力强度指标、φ^b、χ随构度指标的变化，探讨了土的结构性对其强度特性的影响。试验结果表明原状黄土和重塑黄土的基质吸力特征参数φ^b和χ均随基质吸力的增大而逐渐减小。相同基质吸力条件下，原状黄土的φ^b和χ值均大于重塑黄土。原状黄土和重塑黄土黏聚力、φ^b和χ随基质吸力不同的变化规律均说明了土结构性对其力学特性的显著影响。

2.5.6 卢肇钧提出的非饱和土强度公式

卢肇钧在1992年发表的试验资料和研究报告认为，吸附强度的实质是一种与外力无

关的摩擦强度，它来源于土吸力所产生的负孔隙压力，负孔隙压力在土骨架的内部产生有效应力，并因而产生这种与外力无关的摩擦强度。由于它与外力无关，当用现在的常规试验方法进行剪切试验时，它的表现与一般凝聚力的性质相似，因而可称之为表观凝聚力。但当土的含水量发生变化时，吸力和吸附强度均随之变化，因而它又是不稳定、不可靠的。

卢肇钧指出了非饱和土抗剪强度是由以下3个部分组成：①真凝聚力c′；②外力产生的摩擦强度（σ-u_a）tanφ′；③吸力所产生的内摩擦强度（吸附强度）τ_s。吸附强度τ_s与膨胀力p_s的相互关系有一种近似线性的大致规律，初步提出抗剪强度的第三种公式，即

τ_s=P_stanφ′

（2.56）

式中的膨胀压力P_s是指非饱和土试样在侧向受约束的条件下浸水时，为维持其体积不变所需要施加的竖向压力。

由于式（2.47）、式（2.53）和式（2.56）3个计算式都得到相同的结果，所以由此可以推论得到下述相互关系，即

P_s=χ（u_a-u_w）

（2.57）

20世纪80年代后期，在卢肇钧的指导下，张惠明（1986）、陈建华（1987）、曾昭群（1990）、冯满等研究人员用多种不同来源、不同矿物成分和不同含水量的压实土样，分别进行了膨胀压力与吸附强度相互关系的研究，表明式（2.57）指出的膨胀压力与吸力的相互关系在目前尚未有充分的研究资料与结论，但目前已有一些迹象表明这种推测可能是接近实际的，鉴于膨胀压力的测定方法比较简单易行，它应是一种值得进一步研究的简易方法。

1996年尹巍用另外两种黏土对上述发现作了进一步的试验研究。结果表明，τ_s=mP_stanφ′，其中m为膨胀力参数。参数m值随土类不同而不同，但在同种非饱和土中，m值相差不大，可近似取其平均值作为常数。因此，卢肇钧建议采用以膨胀力代替吸力的非饱和土抗剪强度的第三种理论公式为：

τ_f=c′+（σ-u_a）tanφ′+mP_stanφ′

（2.58）

式中：P_s为膨胀力；m为膨胀力的有效系数。

式（2.58）采用膨胀力代替吸力来描述土的干湿程度对抗剪强度的影响。卢肇钧等的研究成果为非饱和土的抗剪强度研究提供了一条新的途径。但该法只能用于非饱和膨胀土，且其实用性还有待于实践检验。此公式因膨胀力P_s和参数m测定技术简便易行，可为非饱和土抗剪强度的研究工作提供一条新的探索与发展途径。

孙玉珍等（1995）对膨胀力进行了试验研究，所采用的两种土样来源和制样方法与尹巍所用土样的来源相同，因而其性质和制样方法基本相同，但由于土样的批号不同，其膨胀力数值略有差异。

卢肇钧（1997）通过对广西土和钙土的试验数据整理和回归分析发现，吸力等效膨胀力可以用含水量的幂函数描述为

P_s=Aw^λ

（2.59）

式中：A、λ为由土的性质所决定的参数；P_s与w的相互关系可在双对数坐标图上用直线表达。

因此，在试验室内研究测定了某一种土的参数A、λ以后，将有可能用含水量预测实际工程中的膨胀力。

膨胀力测试中的主要问题可以归纳为：①测试的膨胀力要符合膨胀力的物理意义，膨胀力是指在保持土体积不变的条件下测得的膨胀力；②试验过程中要保证土体微结构不会发生破坏；③在满足前两点的情况下，能否做到简便、准确、高效的测试膨胀力。传感器的发展使得土工试验操作变得简单易行，因此，针对现有膨胀力测试方法中存在的问题和不足，利用先进技术，研制一套合理、实用的新型膨胀力测试设备并投入应用，对土力学中特殊土的力学性质研究显得异常重要。

李荣建等（2012）针对现有膨胀力测试方法中存在的问题和不足，研制一种实用新型的等效膨胀力测试设备，能够简便、准确、高效地测试膨胀力，并基于此展开了相应的研究，且取得了一定的成果（李荣建等，2013）。随后，李荣建等（2013）基于研制的新型膨胀力测试仪，采用卢肇钧强度理论公式，并运用强度折减有限元研究了非饱和膨胀土边坡的失稳机理，该研究对于非饱和膨胀土边坡具有较大的理论和实际工程意义。

2.5.7 其他非饱和土的强度公式

由于φ^b与χ都不是常数，许多的研究表明它们一般都会随着吸力的增加而减少，且不易测定，造成实际应用的困难。因此Vanapalli等（1996）在非饱和土微观分析的基础上，将φ^b与土中含水量的变化通过土—水特征曲线联系起来，提出了非饱和土抗剪强度的经验模型，来预测非饱和土的抗剪强度。Vanapalli等将φ^b与体积含水量间的关系表示为

tanφ^b=（θθs--θ_rθ_r）tanφ′

（2.60）

式中：θ为体积含水量；θ_r为残余体积含水量；θ_s为饱和体积含水量。

因此，非饱和土抗剪强度可以表示为：

τ_f=c′+（σ-u_a）tanφ′+（u_a-u_w ）[（θθs--θ_rθ_r）tanφ′]

（2.61）

由式（2.61）可看出，φ^b随吸力的增加而减少，这与实验结果是一致的，且从土—水特征曲线可以更容易地决定φ^b，方便于实际工程的应用。

在这方面，国内一些学者也提出一些非饱和土抗剪强度公式，诸如缪林昌和殷宗泽（1999）提出了双曲型吸力强度公式，或者将吸附强度（基质吸力所提供的黏聚力）表示为含水量或吸力的幂函数关系。缪林昌和殷宗泽（1999）提出的双曲型吸力强度公式结合莫尔—库仑强度公式的表达式为

u_a-u_w

τ_f=c′+（σ-u_a）tanφ′+

（2.62）

a+ap-_at1（u_a-u_w）

式中：a为试验拟合参数；p_at为大气压。

总之，通过对当前非饱和土抗剪强度代表性公式的分类及分析可以看出，抗剪强度公式的差异主要表现在吸附强度公式的不同，对吸附强度随基质吸力非线性变化的研究越来越深入，进而导致抗剪强度公式的多样化，由于当前非饱和土研究的试验仪器、试验方法

和量测精度都在不断地改进和提高，研究非饱和抗剪强度所考虑的因素也逐渐增多。虽然当前非饱和土抗剪强度的研究成果众多，但还存在很多不足，抗剪强度公式中的参数较多，这需要大量非饱和土试验结果的支持，才能得出较合理的拟合精度，而且很多研究者多是针对自己的试验结果和新的发现来建立和推演，进而部分验证公式的合理性，这样得到的抗剪强度公式仅适用于试验的特定土或某几种土，难以进行推广应用（张常光等，

2012）。

2.5.8 非饱和土强度及其讨论

通过以上分析，可以得出非饱和土抗剪强度主要有以下特点：

（1）现有的非饱和土抗剪强度公式均是基于莫尔—库仑强度理论建立的，非饱和土抗剪强度由有效黏聚力、净法向应力引起的抗剪强度以及基质吸力引起的吸附强度3个部分所组成，与饱和土的区别主要在于因基质吸力而产生的吸附强度。

（2）随着当前非饱和土的试验仪器、试验方法和量测精度都在不断地提高，针对非饱和土在脱湿或干燥过程中基质吸力非线性变化对非饱和土强度贡献的研究越来越深入，不管是结合土水特征曲线，还是采用函数拟合，抑或是采用其他替代量（如吸力等效膨胀力），其实都是为了更好地表达各种非饱和土强度的非线性问题。

（3）在应用方面，将所有的非饱和土问题都必须按非饱和土理论来解决，如果有些问题的评价与按饱和土处理结果差别并不大，那么可采用饱和土的方法来解决问题，但为了分析相关工程工况的劣化程度，依然需要按照非饱和土理论来进行评价。

（4）在某些特殊土的非饱和工程中，有时会遇到膨胀土和黄土两类特殊的非饱和土。对有关的非饱和土工程进行原型观测是必要的和有用的。由于非饱和土性质复杂，有些规律只能从实际观测值中寻找规律，然后再作理论上的研究。

（5）膨胀土边坡在入渗条件下的稳定性问题，降雨入渗条件下边坡中土-水相互作用机理非常复杂，雨水入渗不仅引起土体中吸力降低而软化，而且还造成土体膨胀而软化及应力比的增加；非饱和膨胀土边坡稳定性分析必须考虑吸力、膨胀力、超固结性及裂隙性等问题，将非饱和土力学与膨胀土的特殊性相结合是使得非饱和膨胀土边坡稳定性分析更加合理的必经之路。

（6）基质吸力、水敏性和结构性是非饱和黄土非常重要的特性，因此在分析非饱和黄土边坡稳定性时必须合理考虑水敏性和结构性，必须将其特性与非饱和土力学理论和先进的稳定性分析方法联系起来，这样的分析结果才真实而可靠。