2.4 土的传统强度理论

2.4.1 传统强度理论

1.屈雷斯卡准则与广义屈雷斯卡（ExtendedTresca）准则

屈雷斯卡强度准则实际上是古典强度理论中的最大剪应力理论。它是1864年屈雷斯卡针对金属材料所提出的一个屈服准则。用数学表达式表示成

σ₁-σ₃=2k_t

（2.14）

式中：k_t为一个材料常数，是试验中试样破坏时的纯剪应力；σ₁和σ₃分别为最大和最小主应力。

如果用应力不变量形式表述，式（2.14）可写成

㊣J₂cosθ-k_t=0

（2.15）

式中：θ为应力洛德角；J₂为第二偏应力不变量。其中θ为

θ=arctan2σ₂-σ₁-σ₃

（2.16）

㊣3（σ₁-σ₃）

在土力学中，这一准则只有对于饱和黏土的不排水强度指标才适用。这时

σ₁-σ₃=2c_u

（2.17）

亦即k_t=c_u。

这个准则在主应力空间σ₁、σ₂、σ₃表示为一个正六边形的棱柱面，它在π平面的断面是一个正六边形，见图2.7。

由于屈雷斯卡准则没有反映平均主应力p（或应力第一不变量I₁）对抗剪强度的影响，所以它一般不适用于表示土的强度，对于岩土材料，人们推广这个强度准则成为广义

的屈雷斯卡准则（Extended TrescaCriterion）。可表示成

σ₁-σ₃=2k_t+α_tI₁

（2.18）

或者

㊣J₂cosθ-k_t-12α_tI₁=0

（2.19）

式中：α_tI₁为平均主应力的影响。

图2.7 密塞斯准则和屈雷斯卡准则

图2.8 广义密塞斯和广义屈雷斯卡破坏准则

在π平面的轨迹

在主应力空间的破坏锥面

这个公式所定义的破坏面在主应力空间是一个正六边形的角锥面，见图2.8。2.密塞斯和广义密塞斯准则

这一准则实际上是古典强度理论中形变能（畸变能）理论。实质上也是一种以八面体

剪应力判断破坏的理论。它们用3个主应力可以表示为

（σ₁-σ₂）²+（σ₂-σ₃）²+（σ₃-σ₁）²=6k²_m

（2.20）

用应力不变量也可表示为

J₂=k²_m

（2.21）

或者

τ_oct=㊣

23k_m

（2.22）

密塞斯准则在主应力空间代表一个圆柱面，它在π平面上的轨迹是一个圆周（图2.7）。由于它不像屈雷斯卡准则那样有一些角点，在理想塑性模型中用作屈服面时，密塞斯准则是光滑的，所以常常为人们在数值计算中选用为屈服准则。可是它没有反映平均主应力p对抗剪强度的影响，所以和屈雷斯卡准则一样，只对于饱和黏土的不排水强度可以近似地使用。

为了反映平均主应力p（或者应力第一不变量I₁ ）对土抗剪强度的影响，Drucker和

Prager于1952年发展了广义Mises准则（ExtendedVon Misescriterion）或者Drucker

Prager准则。它的表达式可写成

㊣J₂-α_mI₁-k_m=0

（2.23）

或者

q-3㊣3α_mp-㊣3k_m=0

（2.24）

式中：k_m与α_m为材料常数。

广义密塞斯准则在主应力空间表示为一个正圆锥面（图2.8），在π平面轨迹仍是一

个圆（图2.7）。

3.莫尔—库仑强度准则

莫尔于1900年给出了强度公式，即

τ_f=f（σ）

（2.25）

即一个平面上的抗剪强度τ_f取决于作用于这个平面上的正应力σ。其中，破坏包线的函数f（σ）是由试验确定的单值函数。根据这一准则，当材料应力状态的最大的莫尔圆与式（2.25）所表示的包线相切时，材料就发生破坏。这也意味着中主应力σ₂对于强度无影响。

最简单的莫尔包线是线性的，即

σ₁-σ₃

σ₁+σ₃+2ccotφ=sinφ

（2.26）

或者表示为

τ_f=c+σtanφ

（2.27）

这就是库仑于1776年所提出的库仑公式。其中c和φ就是所熟知的黏聚力和内摩擦角。莫尔—库仑强度准则被广泛应用于岩土材料。它表明材料的抗剪强度与作用于该平面上正应力有关。引起材料破坏不是由于最大剪应力，而是决定在某个平面上τσ的最危险组合。式（2.27）用应力不变量可表示为

I₁3sinφ-㊣J₂（

1㊣3sinθsinφ+cosθ）+ccosφ=0

（2.28）

它在主应力空间表现为一个不规则六面锥体表面，见图2.9（a）；它在π平面上的截面形状为一不规则的六边形，见图2.9（b）。

图2.9 莫尔—库仑强度准则

（a）主应力空间；（b）π平面

4.屈雷斯卡、密塞斯和莫尔—库仑3个强度准则的讨论

屈雷斯卡准则和密塞斯准则都没有反映平均主应力p对土抗剪强度的影响，这就未

能反映土作为摩擦材料的基本力学特性。尽管这两个准则的“广义”形式考虑了平均主应力p对抗剪强度的影响，但这个影响并非是破坏面上正应力对该面上的抗剪强度的影响。屈雷斯卡准则是最大剪应力准则；密塞斯准则是最大八面体剪应力准则，这与土的摩擦强度是不一致的。其中最为突出的矛盾是在三轴压缩（σ₂=σ₃）应力状态与三轴伸长的应力状态（σ₁=σ₂），用这两个准则预测在同一π平面上（p=常

数）的土的抗剪强度（σ₁-σ₃）_f或者q_f都

是相等的。3个准则在一个π平面（I₁或p为常数）上的轨迹都被表示在图2.10中。

图2.10 在π平面上的3种破坏准则的轨迹

莫尔—库仑强度准则是描述剪切面上剪应力τ与该面上正应力σ间关系，表现了土作为散体材料的摩擦强度的基本特点。这是比较合理的，所以它在土力学中得到广泛的应用。但它假设中主应力σ₂对土的抗剪强度没有影响，它的强度包线常常被假设是直线，即内摩擦角φ是常数，与围压无关，这些近似一般不会引起大误差，但当应力水平很大时，可能引起比较大的误差。当用莫尔—库仑准则作为塑性模型的屈服准则时，由于其屈服面及在π平面上轨迹有导数不连续的角点，这在数值计算中不够方便。

2.4.2 近代强度理论

20世纪60年代以来，计算机技术推动了土的本构关系数学模型研究的发展，人们越

来越清楚地认识到，土的破坏是其在应力—应变关系发展的一个阶段，这时施加一个小的应力增量，就会引起很大或不确定的变形增量。这样，土的破坏准则或强度理论就成了土的本构关系模型的一个组成部分，伴随着本构关系模型也提出了一些新的强度理论。

1.莱特—邓肯（Lode Duncan）强度准则

莱特和邓肯在1975年针对无黏性土提出了一种适用于砂土的弹塑性模型，采用不相关联的流动准则，其中屈服面、塑性势面和破坏面在形状上是一致的。这样就提出了一个很有代表性的破坏准则。它用应力不变量的形式表示为

f（I₁，I₃）=I³₁-k_fI₃=0

（2.29）

式中：k_f为与砂土密度有关的材料常数。

用其他应力不变量也可表达式（2.29），即

f（p，q，θ）=-2q³sin3θ-9q²p+27（1-2k7f）p³=0

（2.30）

图2.11表明这种公式所表示的破坏面在主应力空间是一个锥面，顶点在坐标原点。它在π平面的轨迹是梨形的封闭曲线。在常规三轴压缩试验中，当φ→0°时它趋近于一个

圆；当φ=90°时，它退化为一个正三角形。由于在各向等压（σ₁=σ₂=σ₃）时I³₁/I₃=27，

所以k_f＞27是必要条件，因为静水压力下不应引起材料破坏。

图2.11 莱特—邓肯的破坏面与破坏轨迹

（a）主应力空间；（b）π平面

1977年，莱特修正他所提出的模型，其塑性势面、屈服面和破坏面在pq子午面上的轨迹都改成弯曲的，这就反映了围压对于土的强度参数的影响。其破坏准则表示成

f（I₁，I₃）=（II313-27）（Ip1a）m-n_f=0

（2.31）

式中：n和m为材料常数；p_a为大气压，与I₁是同量纲的（p_a=101.4kPa）。其在π平

面、三轴平面和pq平面上的轨迹如图2.12所示。在主应力空间它是一个子午线微弯的锥面。

图2.12 修正的莱特—邓肯的破坏准则

（a）π平面；（b）三轴平面；（c）pq平面

应当说对于砂土和正常固结黏土，这个破坏准则是相当成功的，它的表达式简单，试验常数少，并且能较全面地反映复杂应力状态下土强度的主要影响因素。

2.松冈元—中井照夫（Matsuoka Nakai）破坏准则

基于空间滑动面（SpatialMobilizedPlane，SMP）的概念，松冈元等认为三维主应

力状态中的3个莫尔圆对于土的强度都有影响，因而强度理论公式中应包含这3个剪切

角。空间滑动面的倾角如图2.13所示，可见当σ₂=σ₃时，此倾角为45°+φ2′，φ_m023=0，

φ_m012=φ_m013=φ′，与莫尔—库仑准则一致。对于砂土，它的破坏准则表示为

I₁I₂

I₃ =k_f

（2.32）

或者

（σ₁σ-₁σσ33）2+（σ₁σ-₁σσ22）2+（σ₂σ-₂σσ33）2=k_f-9

（2.33）

它在主应力空间的形式也是一个圆锥面，在π平面轨迹与莱特—邓肯准则相似，见图

2.13（c）。

图2.13 松冈元—中井照夫屈服条件

（a）三维主应力状态；（b）3个剪切角；（c）π平面破坏轨迹

3.双剪应力强度理论

我国西安交通大学的俞茂宏认为，土的破坏不仅仅取决于大主剪应力（σ₁-σ₃），而是由3个主剪应力中的较大的两个所决定的（俞茂宏，1998），从而提出了双剪应力强度

理论。

（1）12面体应力的概念。

在主应力空间，存在如下3对正应力与剪应力，即主正应力：

σ₁₃=12（σ₁+σ₃）σ₁₂=12（σ₁+σ₂）σ₂₃=12（σ₂+σ₃

╮

㊣

（2.34）

）

╯

主剪应力：

τ₁₃=12（σ₁-σ₃）τ₁₂=12（σ₁-σ₂）τ₂₃=12（σ₂-σ₃

╮

㊣

（2.35）

）

╯

它们在主应力空间中作用在一个12面体上，见图2.14。（2）广义双剪应力强度理论的原理及表达式。

当作用于某土单元上的两个占主导地位的主剪应力及相应的主正应力的函数达到某一极限值时，土单元发生破坏。其一般表达式为

FF==ττ1133++bbττ1223++ββ（（σσ1133++bbσσ1223））--cc==00 当当ττ1122++ββσσ1122≥≤ττ2233++ββσσ2233时时}

（2.36）

式中：b、c和β为3个材料常数。该强度理论在主应力空间中的极限面如图2.15所示，为一个不等边开口的锥面。

图2.14 12面体应力

图2.15 主应力空间中的双剪强度理论极限面

2.4.3 隐式的强度准则

由于破坏成为土的本构关系或应力—应变关系发展的最后阶段，所以破坏意味着施加

微小应力增量dσ_ij，会产生不可控制的或很大的应变增量。这样，实际上每一个土的本构关系模型中都存在一个破坏准则。只不过有的是采用上述的某一种准则；有的是隐含在本构模型中，并未显式来表示（李广信等，2004）。

例如，在DuncanChang模型中，其切线模量表示为

E_t=E_i[1-R_f （σσ11--σσ33）f]2

（2.37）

其中应力（σ₁-σ₃）达到了莫尔—库仑强度的破坏值（σ₁-σ₃）_f时，E_t→0，dε₁=dσ₁

E_t

→∞，当然为了拟合双曲线的渐近线，引进了一个稍小于1的破坏比R_f，这样在计算中某些单元可能应力状态稍高于莫尔—库仑强度理论的强度。有时就需要将应力状态修正到莫尔—库仑的极限状态。

剑桥模型是在软黏土研究的基础上发展起来的，所以其临界物态线在p′q′平面上的投影是一过圆点的直线，表示为

q′=Mp′

（2.38）

在其应力—应变计算中，当η=q′/p′=M时，屈服面的法向垂直，极小的应力增量将引起无限大的剪切应变，亦即其增量应变关系中的分母为0。式（2.38）实际上是广义密塞斯破坏准则。在实际应用中，剑桥模型有时也使用莫尔—库仑理论作为其破坏准则，但在某些应力状态下会引起应力—应变切线的不连续。

对于一般的弹塑性本构模型，其总应变增量可表示为

dε=dε^p+dε^e

（2.39）

式中：dε^p、dε^e分别为塑性和弹性应变增量。

由于弹性部分一般用广义胡克定律来确定，所以其破坏准则一般包含在塑性应变增量dε^p的确定中。塑性应力—应变关系的一般表达式为

dε_i^p_j=dλ∂g

（2.40）

∂σ_ij

这样其破坏准则就体现在dλ→∞（在应变硬化塑性模型中）或dλ不确定上，即表示为0/0的形式（在理想塑性模型中）。这意味着单元处于极限平衡应力状态。

对于一般的塑性理论模型（硬化或软化），可用式（2.41）表示：

dλ=1Addσfijdσ_ij=-1A∂∂fHdH

（2.41）

当A→0时，表示土单元体的破坏。设H=H（ε_i^p_j），按弹塑性理论，可得到

A=（-）∂g

∂σ_ij

∂f∂H

∂H

（2.42）

∂ε_i^p_j

破坏准则包含在∂∂εHipj中。常常是H=H（ε_i^p_j）中的某些参数与土的破坏有关。但有时不能用公式表达，如清华弹塑性模型。

总之，土的强度理论是土力学中最早被研究和提出的理论，土的强度问题依然是土力学中需要继续研究的问题之一。许多工程问题都涉及土体的极限平衡分析，而土的强度理论是进行土体极限平衡分析的基础。随着土的应力—应变关系数学模型研究的发展，人们

认识到土的强度只不过是土的应力—应变的一个特殊阶段。随着工程实践和理论的发展，土的强度理论也将会进一步发展，简单、清楚的理论将会得到广泛的应用；而针对特殊条件的强度理论将会在许多具体工程问题中得到合理的应用。