“模式”是什么？

无论是在数学、物理还是技术上，图灵机都有着众多应用。但我讨论图灵机不是出于这些原因，而是出于哲学上的原因。这是因为在认识论的意义上，要严格定义数学家经常粗略谈到的“模式”或“规则性”的概念，图灵机似乎是最完美的工具。

考虑以下数列：1, 2, 4, 8, 16。你知道下一项是什么吗？你很可能会猜 16 的下一项是 32，甚至对这项猜测特别有自信。但为什么呢？我只给出了这个数列的一个非常有局限性的抽样——只有 5 个数据点，为什么它之后的项看起来那么容易预测？你对自己猜测的高置信度又有何依据？

你脑海中的论证大概是这样的：1 乘以 2 就能得到 2，将 2 变成 4 也是乘以 2，从 4 到 8、从 8 到 16 也是这样。所以问题中的数列就应该是将前一项乘以 2 得到的。这个模式这么规则而简单，似乎必定会延伸下去。换种说法，存在一个非常简单的算法，也就是计算的规则，可以产生这个数列中的每一项。根据奥卡姆剃刀（我们之后会再谈到），算法如此简洁似乎就是一种几近决定性的论据。

然而，上文中的数列还有一种完全不同的解释方法。我们先画一个圆（图 7.1），然后在圆上取两个点，画出一条通过这两个点的直线。这样圆的内部就被分成了两份。在圆上再取第三个点，然后画出它与之前两个点的连线，我们实际上就画了一个圆内接三角形，把圆分成了三角形和外面的 3 个部分，也就是一共 4 个部分。如果再加上第四个点，画出它与其他三个点的连线的话，圆就被分成了 8 个部分。加上第五个点的话，圆就会被分成 16 份！

图 7.1　逐步添加新的点以及它与之前的点的连线，圆就会被依次分成 1、2、4、8、16、31 份

所以 1, 2, 4, 8, 16 这个数列就对应着每次在圆上添加一个点，然后画出它与其他点的连线之后，将圆划分成的份数。于是，为了得到下一项，我们可以计算加上第六个点之后圆被切成多少份。结果会让你大吃一惊，这个数字是 31，而不是 32 ！所以，这就是补全该数列的另一种方法 ^[5]。

如此一来，我们必须重新考虑一开始应该对数列下一项的猜测赋予多少置信度了。应该给数列添加 31 还是 32 ？存在唯一的正确答案吗？我们对于不同的答案又应该赋予多少置信度？数列的下一项还有没有第三种可能性？

我们仍然觉得，即使数列下一项有充分的理由是 31，而且该项也许还有别的可能性，但 32 仍然是最可信的。我们有没有办法将这种想法严谨地叙述出来？