神秘的托马斯·贝叶斯

然而，概率论中还有一个问题，棣莫弗不知道如何解决，该问题回应了大卫·休谟的哲学思考，我们在第 4 章就已经谈到过这位早于棣莫弗出现的哲学家。这个基础性问题叫作逆概率问题，但它其实就是关于归纳的问题，也就是在已知结果的前提下计算不同原因的概率。

这就是加尔文宗的教会牧师托马斯·贝叶斯出场的时候了。好数学家碰到难题时就会做，贝叶斯首先考虑了一个简单的例子。他想象有一张桌子，上面（均匀）随机地放着一个白球，而贝叶斯本人背向桌子，对白球位置一无所知。然后，贝叶斯必须从白球位置引出的结果出发，判定这个位置，或者至少给出对应的可能性。

贝叶斯的助手会将一个黑球放在桌面上，位置同样（均匀）随机。贝叶斯仍然背对桌子，同样不知道黑球的位置。接下来，贝叶斯向助手提问白球到底在黑球的左边还是右边，助手会回答他的问题。然后，这位助手会用第二个黑球重复同样的步骤，告诉贝叶斯这个新的黑球到底在白球的左边还是右边，然后重复第三个、第四个黑球，以此类推。

如果知道白球位置的话，贝叶斯就可以计算助手的每个答案的概率。所以白球位置应该是助手对贝叶斯的提问做出那些回答的原因（之一）。逆概率问题就是在已知结果的情况下确定原因，也就是在已知助手的回答的情况下，确定白球的可能位置。你可能也猜到了，贝叶斯正是通过直觉，得到了以他的名字命名的公式，从而解决了确定白球（可能）位置这个问题。

你可能会觉得，这样就终结了逆概率的问题。事实远非如此。正如本章中将会谈到的众多统计学家那样，贝叶斯行事隐秘，没有发表他的神奇公式。他是不是害怕引起论战？这似乎不太可能。他在世时曾经挺身反对乔治·伯克利对牛顿建立的新数学体系的批评 ^[1]。他是不是害怕质疑自己的宗教信仰？肯定不是，因为他发展逆概率理论的重要目的就是强调原因这个概念，而原因可以追溯到所谓的第一因，从而证明上帝的存在。

为什么贝叶斯没有发表他的公式？最可信的解释之一很简单，就是他没有看到他这个公式全部的美，或者自己也不相信这种美。无论如何，不少专家赞同，贝叶斯很可能不是贝叶斯主义者。

1763 年，在贝叶斯辞世两年之后，他的公式才最终得以发表，这要归功于理查德·普赖斯的不朽之作。实际上，在这两位智者之中，普赖斯反而比贝叶斯更像一个贝叶斯主义者，但他其实也没有那么秉持贝叶斯主义。另外，他同意投入出版贝叶斯遗作这一工作，动机似乎是为了证明上帝的存在。普赖斯这样断言：“我的目标就是弄清我们究竟出于什么原因相信，物体的组成中存在一些固定法则，而这些法则正是物体产生的依据；我们又为何会相信，世界的框架也因此必然源自一个智能本因的智慧和能力。所以，（我的目标就是）通过终极原因确立上帝的存在。”