第 2 章　贝叶斯定理

小孩谜题

我们回到那位“钓鱼”学生的谜题上。一位父亲有两个孩子，至少一个孩子是男孩，那么另一个孩子也是男孩的概率是多少？我请你先尝试自己解决这个问题。即使你解不出来，这种智力锻炼对之后的阅读也可能有帮助。

我现在向你展示这个问题的解答，最简单的解法就是列出所有可能的情况。我们将两个孩子叫作小晨和小迪。可能的情况有四种：

• 小晨和小迪都是男孩；
• 小晨是男孩，小迪是女孩；
• 小晨是女孩，小迪是男孩；
• 小晨和小迪都是女孩。

这四种情况是等可能的，也就是说，它们的概率都一样，虽然这也不太准确。生物学家会明确指出，事实上 51% 的新生儿是男孩——这个结果是拉普拉斯通过贝叶斯式的计算得到的。但我们先简化一下，假设每个孩子是男孩的先验概率是 50%。

但是我们知道小晨和小迪中至少有一个是男孩，前三种可能性符合这个新信息，第四种可能性不符合。所以，我们可以划掉第四种可能性。

现在，如果已知小晨和小迪中至少有一个是男孩的话，那么另一个孩子也是男孩的可能性恰好对应小晨和小迪都是男孩的情况。这就是一个孩子是男孩，而另一个孩子也是男孩的唯一可能性。换句话说，我们尝试计算的，就是在已知其中至少一个孩子是男孩的情况下，两个孩子都是男孩的概率。

这对应剩下三种可能性中的一种。于是，要计算的概率就等于 1/3，而不是 1/2 ！惊不惊人？

我记得第一次详读这个证明的时候（远远在“钓鱼”学生向我提出这个谜题之前），我并没有信服。这个论证是否的确有效这一点并不明确。我们是不是真的可以划掉第四种可能性，只考虑前三个仍然等概率的可能性？

我可以帮你走出这个困境，现在就给你指出思考这个问题的正确方法——当然是应用贝叶斯公式！但是，我觉得现在还是认真思考一下为好。