2.2　光纤传输原理

根据纤芯直径2a和光的波长λ比值的大小，光纤的传输原理可用射线理论或导波理论两种方法进行分析。对于多模光纤，2a/λ远远大于光的波长λ，可用基于几何光学的光线理论近似分析光纤的导光原理和特性。对于单模光纤，就必须用导波理论进行分析。

2.2.1　光线理论分析传输条件——全反射和相干

我们从1.3.1节的介绍中已经知道，光从折射率较大的介质入射到折射率较小的介质时，在边界将发生反射和折射，当入射角θi超过临界角θc时，将发生全反射，如图1.3.2（c）所示。光纤传输电磁波的条件除满足光线在纤芯和包层界面上的全反射条件外，还要满足传输过程中的相干加强条件。因此，对于特定的光纤结构，只有满足一定条件的电磁波，才可以在光纤中有效传输。这些特定的电磁波称为光纤模式。光纤中可传导的模式数量取决于光纤具体结构和折射率径向分布。如果光纤中只支持一个传导模式，则称该光纤为单模光纤。相反，支持多个传导模式的光纤称为多模光纤。

为简单和直观起见，以阶跃光纤为例，我们进一步用几何光学方法分析多模光纤的传输原理和导光条件。光线在光纤端面以不同角度α从空气入射到纤芯（n0<n1），不是所有的光线都能够在光纤内传输，只有一定角度范围内的光线在射入光纤时产生的折射光线才能在光纤中传输，如图2.2.1（a）所示。假如在光纤端面的入射角是α，在波导内光线与垂直于光纤轴线的夹角是θ。此时，θ>θc（临界角）的光线将发生全反射，而θ<θc的光线将进入包层泄漏出去。于是，为了光线能够在光纤中传输，入射角α必须要能够使进入光纤的光线在光纤内发生全反射而返回纤芯，并以曲折形状向前传播。由图2.2.1可知，最大入射角α应该使θ=θc。在n0/n1界面，根据斯涅耳定律可得

全反射时，由式（1.3.2）可知，sinθc=n2/n1，将此式代入式（2.2.1），可得

当光线从空气进入光纤时，n0=1，则

定义数值孔径（Numerical Aperture，NA）为

式中，Δ=（n1-n2）/n1为纤芯与包层相对折射率差。设Δ=1%，n1=1.5，得到NA=0.21或θc=12.1°。因此，用数值孔径表示的最大入射角αmax为

2αmax称为入射光线的总接收角，它与光纤的数值孔径和光发送介质的折射率n0有关。式（2.2.4）只适用于子午光线入射的情况。对于斜射光线入射的情况，就要求光纤具有较宽的可接收入射角。对于多模光纤，大多数入射光线是斜射光线，所以多模光纤所允许的最大可接收入射角要更大一些。

当θ=θc时，光线在波导内以θc入射到纤芯与包层交界面，并沿交界面向前传播（折射角为90°），如图2.2.1（b）所示。当θ<θc时，光线将折射进入包层并逐渐消失。因此，只有与此相对应的在半锥角2αmax圆锥内入射的光线才能在光纤内传播。

NA表示光纤接收和传输光的能力，NA（或αmax）越大，光纤接收光的能力越强，从光源到光纤的耦合效率越高。对无损耗光纤，在αmax内的入射光都能在光纤中传输。NA越大，纤芯对光能量的束缚能力越强，光纤抗弯曲性能越好。但NA越大，经光纤传输后产生的输出信号展宽越大，因而限制了信道容量，所以要根据使用场合，选择适当的NA。

2.2.2　光线理论分析光纤传输模式

平板介质波导横截面（由y轴和z轴组成的平面）被限制在一维（y）平面内，所以光线只在y方向发生反射，此时波的相长干涉产生一些标记为m的特有模式（见参考文献1的1.4节）。而光纤波导横截面是二维（r和φ）尺寸的，如图2.2.2（a）所示。光线可以在与y轴成φ角的任意半径方向所碰到的界面发生反射。光线以法线方向和斜射方向入射时在纤芯内以不同的路径传输。因为任意方向的半径均可以用x和y来表示，所以波的相长干涉包括x方向和y方向的反射，因此我们用两个整数l和m来标记所有可能在波导中存在的行波或导模。

我们也知道，在平板介质波导中，以光线传输的导模沿波导曲折前进，所有这些光线均必须通过波导的轴平面，而且所有这些波不是横电（TE）波，就是横磁（TM）波。而阶跃折射率光纤和平板介质波导的显著区别是：沿光纤曲折传输的光线，除通过光纤轴线入射的子午光线（每个反射光也通过光纤轴线）外，如图2.2.2（a）所示，还有非通过光纤轴线入射的斜射光线，此时反射光没有通过光纤轴线，而是围绕光纤轴曲折前进，如图2.2.2（b）所示。

在阶跃多模光纤中，入射的法线光线和斜射光线都产生沿光纤传输的导模，每一个都具有一个沿z方向的传输常数β。法线光线在光纤内产生TE波和TM波，然而斜射光线产生的导模既有Ez分量，又有Bz分量，因此既不是TE波，也不是TM波，而是HE波或EH波，这两种模的电场和磁场都具有沿z方向的分量，所以称为混合模。HE模的磁场分量比电场分量强，而EH模却相反。

当光纤的相对折射率差Δ?1时，这种光纤称为弱导光纤。通常阶跃光纤Δ≈0.01，所以它是弱导光纤。这种光纤的导模几乎是平面偏振行波，它们具有横电场和横磁场，即E和B互相垂直，且垂直于z轴，类似于平面波的场方向，但是场强在平面内不是常数，这些波称为线性偏振（LP）光，即具有横电场和横磁场的特性。这种沿光纤传输的LP模可用沿z方向的电场分布E（r，φ）表示，这种场分布或场斑位于垂直于光纤轴（z方向）的平面内，与r和φ有关，而与z方向无关。因此，用对应于r和φ两个参数的两个整数l和m来描述其特性。这样，LP模的传输电场分布可用Elm（r，φ）表示，这种线性偏振模称为LPlm。于是，LPlm模就可用沿z方向的行波表示为

式中，ELP表示LP模的电场，βlm是它沿z方向的传输常数。显然，对于给定的l和m，Elm（r，φ）表示在z轴某个位置上特定的场分布，该场以βlm沿光纤传播。阶跃多模光纤LPlm各模的电场分布如图2.2.3所示。

图2.2.3（b）表示阶跃多模光纤的基模（E01）电场分布，它对应l=0和m=1的LP01模。E01在纤芯的中心（光纤轴）最大，由于消逝波的存在，有部分电场进入包层，其大小与V参数有关，即与波长有关。各模的光强与E2成正比，这意味着在LP01模内的光强沿光纤轴线具有最大值，如图2.2.3（b）所示，其光强在光纤中心最大，逐渐减弱，接近包层最小。图2.2.3（c）也表示LP11和LP21模的强度分布。l和m对应LPlm模的光强分布图案（场斑），l表示循环一周（φ=360°）具有最大光强（场斑）的对数，m表示从光纤中心开始沿r方向到包层具有场斑的个数。例如，LP21模表示循环一周有两对场斑，从光纤中心到包层有一个场斑。由此可见，l表示螺旋传输的程度，或者说斜射光线对该模贡献的大小。对于LP01模（基模），l为零，说明没有斜射光线；对于LP11模，循环一周有一对场斑。光纤光强分布图案参数m和平板波导的模数m一样，与光线在其内的反射角度θr有关。

从上面的讨论可知，光以各种模沿光纤传输，每种模具有自己的传输常数βlm、电场分布Elm（r，φ）和与波长有关的群速度υg（l，m）。当光脉冲射入光纤后，它通过各种模沿光纤传输，然而每种模式的光以不同的群速度传输，低次模传输快，高次模传输慢，所以到达光纤末端的时间也各不相同，经光探测器转变成电流后，各模式混合使输出光脉冲相对于输入光脉冲展宽，这种色散称为模间色散。色散与光纤波导的结构参数（纤芯半径a、纤芯与包层相对折射率差Δ）有关，这一点我们还将在2.3.2节进一步讨论。通过精心选择光纤结构参数，可以设计出一种只能传输基模的波导，从而没有模间色散。

2.2.3　导波理论分析光纤传输模式

光纤波导是导电率为零的一种圆柱形波导，用3个变量（即光纤半径r、光纤轴方向z、r与y轴的夹角φ）表示，如图2.2.2（a）所示。在光纤中传输的光波是电磁波，其运动规律仍遵守麦克斯韦波动方程，它是一种偏微分方程。在柱坐标系中，用拉普拉斯方程表示的光纤波导内的电场为

式中，k0为传播常数；n为阶跃光纤折射率，当r≤a（纤芯半径）时，n=n1；当r>a时，n=n2。

由光纤波导结构决定的边界条件，用分离变量法将式（2.2.6）化解为系数为自变量函数的贝塞尔线性方程，然后通过适当的换元法将变系数方程化为常系数方程，便可把光的传

播用电磁波表示。只有满足边界条件所决定的某一个相位匹配条件的电磁波，才能在封闭的纤芯内传输，这就是传输模。解麦克斯韦波动方程可以得到光纤模式特性、场结构、传输常数和截止条件等。用波动光学分析光波在光纤中的传输结果是：第一类l阶贝塞尔函数Jl（x）可以描述光波在纤芯内的光场分布，它有点像衰减的正弦函数；第一类l阶修正的贝塞尔函数Kl（x）可以描述光波在包层内的光场分布，它有点像衰减的指数函数。对于阶跃折射率光纤，反映其特性的V参数，具有与平板介质波导类似的表达式，即

式中，λ是自由空间工作波长；a是纤芯半径；n1和n2分别是纤芯和包层的折射率；NA是光纤的数值孔径；Δ是纤芯和包层的相对折射率差，即

由式（2.2.7）可知，V参数与2a有关，所以称为归一化芯径；另一方面，V参数又与2π/λ=k=ω/c成正比，具有频率的量纲，所以又称归一化频率；同时V参数又与波导特性n1和n2有关，因此它是描述光纤特性的重要参数。

当V<2.405时，只有一种模式，即LP01模通过纤芯传输。当减小芯径使V进一步减小时，光纤仍然支持LP01模，但是该模进入包层的场强增加了，因此该模的一些光功率被损失掉了。这种只允许LP01模在要求的波长下传输的光纤称为单模光纤。通常单模光纤比多模光纤具有更小的纤芯半径a和较小的相对折射率差Δ。当V>2.405时，假如光源波长λ减小得足够小，单模光纤将变成多模光纤，高阶模也将在光纤中传输。因此光纤变成单模的截止波长λc由得出，即

当V>2.405时，模数增加得很快。在阶跃多模光纤中，能够支持的模数N为

例如，一个a=25μm、Δ=5×10-3的典型多模光纤，在λ=1.3μm处，当V=18时，N=162；当V=5时，N=7。当V小于一定数值时，除LP01（HE11）模外，其他模式均截止，只传输单个模式，这种光纤就是单模光纤。

改变阶跃光纤各种物理参数，对传输模数的影响可从式（2.2.7）推断出来。例如，增加芯径（a）或折射率（n1）可以增加模数；另一方面，增加波长λ或包层折射率（n2），可以减少V。式（2.2.7）不包含包层直径，这说明，包层直径在各导模的传输中没有扮演重要的角色。在多模光纤中，光通过许多模传输，并且所有模主要局限在纤芯内。在阶跃光纤中，一小部分基模场进入包层作为消逝波沿边界传输。假如包层没有足够厚，这部分基模场将到达包层的最外边并泄漏出去，从而发生光能量的丢失，如图2.2.1所示。因此，通常阶跃单模光纤的包层直径至少是纤芯直径的10倍。

因为，LP模的传输常数βlm取决于波导特性和光源波长，因此，用仅与V有关的归一化传输常数b描述光在波导中的传输特性是非常方便的。归一化传输常数b与传输常数β=βlm的关系是

式中，k=2π/λ；n1和n2分别是纤芯折射率和包层折射率。V和β均是一个无量纲参数。光在光纤中传播的条件是：把光能量尽量约束在纤芯中传输；在包层中，光是消逝波，即r→∞时，光强衰减为零。这就要求，传播常数在纤芯要满足β<（n1ω）/c；传播常数在包层中要满足β>（n2ω）/c。因此，在光纤中传导模存在的条件是使传输常数β为

根据以上的定义，最小的归一化传输常数b=0，对应β=kn2，即光在包层中传输；最大的归一化传输常数b=1，对应β=kn1，即光在纤芯中传输。对于各种传导模，b与V的关系在相关文献中已经计算出来。几种低阶线性偏振（LP）模的归一化传输常数与归一化频率V的关系如图2.2.4所示，LP01模对所有的归一化频率V都存在，所以，LP01模在任何光纤中都能存在，是永不截止的模式，称为基模或主模。而LP11模在V=2.405时截止。对于每个比基模高的特定的LP模，总有一个对应于截止波长的截止归一化频率V。给出光纤的归一化频率V，从图2.2.4中，我们很容易找到对于允许在波导中存在的LP模所对应的b，接着按式（2.2.11）就可以求得β。

阶跃多模光纤的输出信号展宽大，这是由于不同入射角的光线经光纤传输后时间延迟不同而产生的。由图2.2.1（b）可见，入射角为α的光线在段长为L（OA）的光纤中传输，所经历的路程为l（OB），在αmax不大的条件下，其时间延迟为

式中，c为光速。由式（2.2.13）可得到最大入射角（α=αmax）和最小入射角（α=0）的光线之间时间延迟差（输出信号展宽，即光纤色散）为

由此可见，阶跃光纤色散与NA的平方成正比。设NA=0.20，n1=1.5，L=1km，由式（2.2.14）得到Δτ=44ns，带宽相当于10MHz·km（2.3.3节将给出计算公式）。另外，由式（2.2.14）可知，光纤越长，其色散越大。

为减小光纤色散，技术人员开发了折射率渐变多模光纤。在这种光纤中，入射角大的光线沿折射率较低的纤芯边缘传播，用较快的传播速度（υ=c/n）补偿了较长路程的传输时间，使不同入射角的光线在光纤中的传输时间接近相等，几乎同时到达光纤输出端，如图2.1.1（b）和图2.1.2所示，因而减小了输出信号展宽并扩大了带宽。有关光信号展宽使光纤带宽下降的进一步解释将在2.3.4节讨论。

必须指出，线性偏振（LPlm）模是弱导近似下得到的标量模，实际上它可视为矢量模的线性叠加。例如，LP01模是HE11模，它由线性偏振态相互正交的TE模和TM模叠加组成，称为兼并模；LP11模是TE01、TM01和HE213个模的叠加。显然，兼并模中的各模具有相同的传输常数β及截止条件。矢量模是用严格的矢量波动方程求出光纤中麦克斯韦波动方程的全套模式。线性偏振（LPlm）模和矢量模的对应关系如表2.2.1所示。

【例2.2.1】多模光纤的模数

纤芯折射率为1.468，直径为100μm，包层折射率为1.447，假如光源波长为850nm，请计算阶跃多模光纤所允许传输的模数。

解：将a=50μm，λ=0.850μm，n1=1.469和n2=1.447代入式（2.2.7），可得

因为V≤2.405，模数N≈V2/2=91.442/2≈4181。

【例2.2.2】单模光纤的折射率

纤芯折射率n1=1.468，包层折射率n2=1.447，假如光源波长为1 300nm，请计算单模光纤的折射率。

解：当V≤2.405时，可实现单模传输，于是有

或

解得a≤2.01μm，但这样细的芯径，对于光纤与光纤的耦合或光源与光纤的耦合都是相当困难的，必须采用特别的技术才行。请注意，芯径已能够和光源波长相比拟，所以几何光学已不能在这里使用。

【例2.2.3】群速度和群延迟

单模光纤纤芯折射率和包层折射率分别是1.448和1.440，纤芯半径为3μm，工作波长为1.5μm。我们可以用下面的近似公式计算基模的归一化传输常数为

请计算传输常数β。如果使工作波长改变到λ′=（1+0.01%）λ，请重新计算传输常数β′。然后确定1.5μm基模的群速度vg和1km光纤的群延迟τg。

解：弱导光纤基模的归一化传输常数也可以写成

我们可以利用给出的光纤特性参数计算归一化频率V，然后利用式（2.2.15）计算b。将b和k=2π/λ代入式（2.2.16），可以计算β。另外ω=2πc/λ，于是。从式（2.2.15）得到b=0.386 085 9，从式（2.2.16）得到β=6.044796×106m-1。例2.2.3的计算结果如表2.2.2所示。群速度为

1km光纤的群延迟τg=4.83μs。

【例2.2.4】多模光纤的数值孔径、最大可接收角和模数

阶跃光纤纤芯折射率和包层折射率分别是1.480和1.460，纤芯半径为50μm，光源波长为0.85μm。请计算光从空气射入光纤的数值孔径、最大可接收角和所能支持的模数。

解：光纤的数值孔径为

从sinαmax=NA/n0=0.242 5/1，得到最大可接收角αmax≈14°，总接收角2αmax=28°，V=（2πa/λ）NA=[（2π×50）/0.85]×0.2425≈89.62，模数N≈V2/2=4016。

【例2.2.5】单模光纤的数值孔径、最大可接收角和截止波长

典型单模光纤的纤芯直径为8μm，折射率为1.46，相对折射率差为0.3%，包层直径为125μm，光源波长为0.85μm。请计算单模光纤的数值孔径、最大可接收角和截止波长。

解：光纤的数值孔径为

用（n1-n2）=n1Δ和（n1+n2）≈2n1代入上式可得

NA=[(2n1)(n1Δ)]1/2=n1×(2Δ)=1.46×(2×0.003)1/2≈0.113

sinαmax=NA/n0=0.113/1，即αmax≈6.5。

单模传输的条件是V≤2.405，对应的截止波长为

λc=2πaNA/2.405=（2π×4μm）×0.113/2.405≈1.18μm

光源发射波长小于1.18μm，将导致光纤多模工作。

2.2.4　单模光纤的基本特性

1. 基模传输条件

由2.2.3节的分析可知，单模光纤的传输条件是归一化频率为

此时，其他模式的光均被截止，只有HE11模（线性偏振模LP01）在光纤中传输，它是光纤的主模。V值由式（2.2.7）确定。利用式（2.2.7）可以估计单模光纤在1.3～1.6μm波长范围内的纤芯半径a。取λ=1.2μm，n1=1.45，Δ=5×10-3，则当a=3.2μm时，即能满足V<2.405。若Δ=3×10-3，则纤芯可增至a=4μm。实际上，大多数单模光纤设计在a≈4μm，欲使光纤在可见光谱区也能在单模条件下工作，则a应减小一半。

2. 场结构和模式合并

当Δ远远小于1时，场的轴向电场分量Ez和磁场分量Hz很小，因而弱导光纤中HE11模近似为线性偏振模，并记为LP01，它有两个沿x方向和y方向的偏振模，它们具有相同的传输常数（βx=βy）和截止归一化频率V（V=2.405），因此LP01模包括两个正交的线性偏振模，在理想光纤的情况下，它们相互合并在一起。

3. 双折射效应和偏振特性

正交偏振模的兼并特性只适用于理想圆柱形纤芯的光纤。在1.3.6节，我们已对光在各向异性介质中传输时产生的双折射进行了介绍。实际上，光纤的纤芯形状沿长度难免出现变化，光纤也可能受非均匀应力而使圆柱对称性受到破坏，两个模式的传播常数βx≠βy，所以光纤波导也是一种各向异性介质波导，也存在双折射，并使光纤正交偏振兼并的特性受到破坏。定义归一化的双折射程度为

式中，k0=2π/λ为自由空间传播常数；nx和ny为两个正交偏振模的等效折射率。由于两个模式的传播常数不同，光场沿光纤传输时，偏振态按如下方式不断变化：线性偏振→椭圆偏振→圆偏振→椭圆偏振→线性偏振。恒定双折射光纤在一个拍长中的偏振态变化如图2.2.5所示。当偏振态变化2π时，相应的传输长度称为拍长，可表示为

可见，Δβ越大，LB就越短，即双折射现象越严重。

单模光纤的双折射效应使模场偏振态在传输过程中发生变化。在相干光纤传输系统中，信号光和本振光的偏振态要保持一致，信号光偏振态的变化会产生偏振噪声。采用集成光路的光接收机对偏振态具有选择性，也会产生偏振噪声。在常规单模光纤传输系统中，双折射效应产生偏振模色散（PMD），并对模拟CATV系统和高速长距离系统有重大影响。

为了实现单一偏振模的传输，开发了保偏光纤，但这种光纤损耗较普通光纤损耗略大，其衰减系数约为0.4dB/km。

4. 模场半径

由2.2.3节可知，纤芯中的场强分布用第一类l阶贝塞尔函数Jl（x）来描述，而包层中的场强分布用第一类l阶修正的贝塞尔函数Kl（x）来描述。单模光纤中的大部分场强局限在直径为2a的纤芯中，但是仍然有一部分场强泄漏到包层中，设这部分场强泄漏到包层的深度是δ，如图2.2.3（b）所示，因此单模光纤的纤芯直径对于描述场强的分布已没有多大意义，而改用模场半径（w）来描述基模场强在空间的分布，场强在波导中的分布用模场直径（MFD）2w=2a+2δ表示为

即

一般将场强作为高斯分布来近似计算模场半径，归一化模场半径w/a可用归一化频率V来表示。归一化模场半径w/a与归一化频率V的关系如图2.2.6所示。在1.2<V<2.4范围内，可用近似公式计算模场半径为

其精度在1%以内。幅度与归一化半径w/a的关系如图2.2.7所示。

假如V<2.405，由图2.2.4可知，除LP01模外，其余模全部被截止了，由式（2.2.7）可得

模场半径是单模光纤的主要参数，非常有用，用它可估算连接损耗、弯曲损耗及微弯损耗等。

【例2.2.6】单模工作截止波长、V和模场直径（MFD）

纤芯直径为7μm，纤芯折射率为1.458，包层折射率为1.452，当光源波长为1.3μm时，计算光纤单模工作的截止波长、V和模场直径（MFD）。

解：对于单模工作，有

将a=3.5μm，n1=1.458和n2=1.452代入上式，整理后可得

λ>[2π×3.5×（1.4582-1.4522）1/2]/2.405μm≈1.208μm

波长小于1.208μm，将导致多模传输。在λ=1.3μm时，有

V=2π（3.5/1.3）×（1.4582-1.4522）1/2≈2.235

此时，模场直径（MFD）为

2wo≈2a（V+1）/V=7×（2.235+1）/2.235μm≈10.13μm

5. 纤芯和包层中的光功率分配

我们知道，模场半径（w）可以描述基模场强在空间的分布，与此相关，基模光功率沿光纤纵向（r方向）的分布是：大部分光功率集中在纤芯中传输，小部分光功率在包层中传输，而且随着b的减小（接近截止），光功率更多地向包层泄漏。LP01模（HE11模）和LP11模的归一化光功率分布如图2.2.8所示。纤芯中传输的光功率Pcore和纤芯与包层中传输的总光功率Ptot之比，可用模场半径的近似公式表示为

由式（2.2.20）和式（2.2.21）可以计算纤芯基模光功率的集中程度，尽管V=2时光纤可以在单模条件下工作，但是只有75%的基模光功率集中在纤芯区，而当V≈1时，只有20%的基模光功率集中在纤芯区，因此大多数单模光纤的V参数都设计在2.0～2.4之间。