1.1　关于旋转玻色气体的研究

1.1.1　实现旋转的两种方式

基于冷原子背景的旋转玻色气体由于能够展现出量子化涡旋、涡旋晶格和持续流等新奇现象而备受关注[1-3]，并迅速成为凝聚态物理中的热点问题之一。就像超导理论中描述的“磁场的增强会导致超导转变温度下降”一样，人们期待着旋转能够破坏和压制玻色系统中的BEC。实验上通过旋转碱金属原子的BEC提供了许多观测和证实量子化涡旋的途径[4-6]，这激发了人们对于旋转凝聚体的新的研究兴趣。

人们对旋转效应的关注起源于4He[7]和3He[8，9]旋转桶实验，该实验中观测到的涡旋曾被认为是一种违反直觉的现象。然而，HeII中发现的超流态改变了人们的这一传统观念。超流体没有粘滞性，因此它对旋转的响应与普通流体明显不同。转动盛有普通流体的容器壁，无论转速多慢，经过一定时间后，普通流体都会随器壁整体转动。停止转动器壁后，普通流体由于粘滞阻力的作用会逐渐停止转动。HeII则完全不同，只有当旋转频率大于某一临界值时，超流体才会转动，否则就只有普通流体在转动。而且，超流体的转动不同于普通流体的整体转动，超流体转动之后将形成涡旋或涡旋晶格。器壁停止转动后，普通流体由于粘滞作用很快停转，而超流体将继续旋转，即超流体形成的是持续流。

这就是说，只有当旋转频率超过临界频率时，超流体才会出现涡旋或涡旋晶格。随后，实验上进一步证实，对于经典系统中的超流体，旋转频率的增加并不会增加涡旋的数目。那么对于玻色-爱因斯坦凝聚体，旋转频率的增加会不会改变涡旋的数目呢？这一富有挑战性的问题迅速引起了研究者浓厚的兴趣。

人们首先提出了通过机械旋转约束势阱的方式来产生涡旋，该方法非常类似于4He的旋转桶实验，研究者将这种方法称为旋转框架。它将原子约束在一个静态的、圆柱形对称的磁阱中，然后在此磁阱上叠加一个由旋转激光制造出的吸引偶极子势。最终，该复合势场可以近似等效成一个类似于雪茄形的、在横断面上具有轻微各向异性的简谐势阱。气体通过蒸发冷却逐渐降温到发生BEC的过程中，具有各向异性的横断面始终保持某一旋转频率旋转，其作用相当于旋转桶实验的桶壁。旋转框架方法被广泛应用于早期的通过激发中性原子气体来增大旋转速度以获得量子化涡旋的实验中。

机械转动频率作为一个可以控制的参量，在势阱中的玻色气体发生BEC，以及探测其量子性质的过程中起着举足轻重的作用。前面已经指出，对于经典系统中的超流体，旋转频率的增加并不会改变涡旋的数目。然而，人们通过实验发现，对于玻色-爱因斯坦凝聚体，情况并非如此。Dalibard小组[10]观测到，当旋转频率接近势阱的特征频率时，凝聚部分的中心会形成一个或几个涡旋。随着旋转频率的逐步增加，产生涡旋的数目也逐渐增多，凝聚体中心最终将会形成涡旋格子（见图1-1）。不久，Ketterle小组[11]和Cornell小组[12]分别改进了实验装置，并继续增大势阱的旋转频率，在凝聚体中心也观测到了奇异的涡旋晶格。最终，当势阱的旋转频率增加到接近临界频率时，玻色气体将会显示出奇特的量子相。此时的玻色子处于最低朗道能级，将会发生从超流态到强关联非凝聚态的转变。当旋转足够快时，甚至可以观测到阿布里科索夫涡旋格点[1，2，4，5]，在快速旋转极限下还会涉及整数和分数量子霍尔效应等有趣的多体现象。

图1-1　Dalibard小组观测到的旋转框架（凝聚体）中的涡旋结构[10]

然而值得注意的是，在这种旋转框架的方式下，粒子除了受到势阱的约束力，还将受到旋转引起的离心力的作用。如果旋转速度过大，离心力将会抵消xy平面的势阱约束，导致粒子从势阱中逃离，因而旋转框架方法必然存在一个极限（临界）旋转速度[13-15]，即存在临界旋转频率。临界旋转频率的存在限制了旋转框架方法所能模拟出的磁场大小，从而也就限制了从实验上观测到量子霍尔效应等复杂物理现象的可能性。

为了克服上述困难，2009年，Spielman小组首次提出了利用光学诱导的方式使冷原子系统产生类似于磁场的效应，人们将该方案称为合成磁场方法[16]。图1-2给出的是Spielman小组用来制造合成磁场的实验装置（采用的是双光子Raman耦合方案），以及利用该装置观测到的涡旋结构。合成磁场方法通过引入合适的激光势场，将中性原子的质心运动与赝自旋耦合，从而产生约束中性粒子的有效矢量势，使得中性冷原子加上矢量势后的哈密顿和磁场中的单位带电粒子的哈密顿具有可比性[17]。相对于旋转框架的方式而言，通过合成磁场增大量子气体旋转速度的优点在于，实验上易操作，同时理论上不存在所谓的旋转极限，因而实验上能够制造出很强的合成磁场。只要旋转气体能够达到旋转极限，就可以实现更强的磁场效应，从而有望实现对量子霍尔效应等现象的观测。该方法的另一个独特的优势在于，它很容易在凝聚体中有效地加载光晶格，从而产生更大的角动量，因此研究者对该方法寄予厚望。可以说，合成磁场方法极大地丰富了人们研究量子多体现象的手段，使得实验上借助旋转中性量子气体模拟带电粒子在磁场中的运动成为可能。

图1-2　Spielman小组产生合成磁场的实验装置及观察到的涡旋[16]

1.1.2　热力学性质

人们对势阱中的旋转量子气体的关注主要集中于两个方面：①超流态的玻色凝聚体基态对应的量子化涡旋；②正常态的玻色气体的激发态对应的宏观热力学性质。最初的研究主要集中于探索超流态中产生的量子化涡旋的探索，这种涡旋是超流态的玻色凝聚体呈现的独特量子现象。随着量子模拟技术的发展，人们开始关注与玻色气体的正常态有关的热力学性质。研究者通过大量文献调研发现[1-3]，对旋转玻色气体的正常态的宏观热力学性质的研究是一个非常有趣的课题，其中关于旋转对BEC相变温度的影响、旋转引起的与磁性有关的物理量的量子振荡和粒子流的分布等问题的研究更值得特别关注，这些研究对于人们正确理解超流、超导电性等一系列新奇量子现象有着重要意义。

目前，研究者已经对简谐势阱中的玻色气体的热力学行为进行了广泛的研究[18-27]，这些研究从理论上说明了空间维度、有限尺度效应和粒子间的相互作用等因素对BEC的影响[23-27]，揭示了BEC与这几个因素之间的普遍关系，为在实验中控制和利用BEC提供了一定的理论依据。但是，关于旋转玻色气体的热力学性质的研究还相对较少。原因在于，研究不旋转玻色气体所采用的经典方法并不能直接推广到旋转量子气体中与磁性有关的量子振荡和粒子流分布的处理中。旋转对玻色气体系统的影响相当于在系统中引入了一个等效的磁场，这将导致旋转玻色气体的热力学性质比不旋转玻色气体的热力学性质复杂得多。需要注意的是，对于旋转中性冷原子系统，本书中所指的“磁性”是一种“赝磁性”，它实际上指的是粒子的轨道运动所引起的轨道角动量L，该物理量和带电粒子的磁化强度M的关系为（为旋磁比）。

目前，旋转框架中的玻色气体的BEC相变温度随旋转频率的变化关系已经明确。研究结果表明，旋转框架中的玻色气体的BEC相变温度会随着旋转频率的增大而降低。当旋转频率达到势阱特征频率时，BEC相变温度降为零，凝聚将不再发生[1，2]。此时，可以将处于旋转极限下的玻色气体看成匀强外磁场中的均匀荷电玻色气体。目前，合成磁场中的玻色气体的BEC相变温度随合成磁场强度的变化关系尚不明确，需要进行进一步研究，这也正是本书需要研究的重点问题之一。

在对旋转玻色气体的热力学性质的研究中，旋转引起的磁性的产生机制也是一个非常核心的问题，它能够揭示超导理论中的一些基本规律。已有研究表明，旋转玻色气体的BEC与超导转变具有很强的相似性，荷电玻色气体能够展现与超导体的本质特性相等价的性质。由于荷电玻色气体和旋转玻色气体具有相似的哈密顿形式，人们可以借助荷电玻色气体来推导势阱中的旋转玻色气体的性质[1，2]。

对荷电玻色气体的研究表明，粒子的自旋磁矩导致了泡利顺磁性，轨道运动导致了朗道抗磁性。对于不考虑自旋自由度的荷电玻色气体而言，由于电荷自由度的存在，磁场中的玻色气体的BEC通常不能发生，但低温下的玻色气体色依然呈现出类似迈斯纳效应的强抗磁性。对于荷电旋量玻色气体而言，由于系统兼具电荷自由度和自旋自由度，所以电荷自由度引起的抗磁性和自旋自由度引起的顺磁性之间产生了相互竞争，这使得该系统的磁学性质更加丰富。由于顺磁性和抗磁性都相当强，所以竞争的结果究竟如何是一个值得深入探讨的问题。

近期，人们对量子气体的磁性的探索已经扩展到费米气体，均匀磁场中的费米气体的磁性已经引起了广泛的关注。人们借助磁场中的电子气给出了顺磁性和抗磁性的竞争结果，但是关于旋转费米气体的磁性的研究还比较少。在对旋转玻色气体的磁性的研究过程中，如果将旋转玻色气体的磁性与旋转费米气体的磁性进行对比，那么将有助于人们全面理解量子气体的磁学性质。