2.2 早期的决策理论

边际效用的另一来源是早期的决策理论。正如早期的经济学家发展出函数将满意度及价格与数量相关联，数学家在纯数学的概率论研究中也发展了类似函数，并对经济学产生了广泛的影响。布莱兹·帕斯卡（Blaise Pascal）在研究博弈决策时完成了类似形式化工作。比如，针对“是否以20美元的价格购买彩票？该彩票有5%的机会获得300美元”这类问题，帕斯卡的回答直接而简单——根据期望价值。他建议将概率乘以金额以计算选项的平均值或预期值，然后选择具有较大预期值的选项。在这里帕斯卡并没有假设真实的人做什么，而是简单地认为如何最大化每个决策者的效用或福利。在该例中，20美元大于15美元（5%×300美元），因而消费者不应该购买该彩票。

对期望价值更为确切的表达应该是“帕斯卡的赌注”（Pascal's Wager）。帕斯卡在其著作《思想录》中阐述了著名的“帕斯卡的赌注”，即我不知道上帝存在与否，但我知道，如果他不存在，作为无神论者，我没有任何好处；但是如果他存在，作为无神论者，我将有很大坏处。所以，我宁愿相信上帝的存在（Pascal，1847）。帕斯卡对信仰上帝的分析论证被学术界普遍认为是历史上首例风险决策分析。

帕斯卡在这里提出了如下问题：在难以证明上帝是否存在的情况下，人们过基督教徒的生活是否值得？在回答这个问题时，帕斯卡认为，上帝要么存在，要么不存在。如果上帝存在，个体过基督教徒的生活，就能得到解救，从而获得无限大的价值；而过常人的生活，将受到诅咒，这个负面价值非常大。如果上帝不存在，个体过基督教徒的生活相比于常人生活只是轻微不便。因而帕斯卡认为，过基督教徒生活的期望价值远远高于常人的生活方式（见表2.1对帕斯卡的赌注的形式化，江程铭等，2018）。

表2.1 不同世界状态中不同生活方式的可能结果

然而期望价值遇到了圣彼得堡悖论（St.Petersburg Paradox，Bernoulli，1738）的挑战。该悖论认为赌场为单个玩家提供了一个游戏机会——多阶段投掷硬币。该硬币没有偏差，即50%的机会呈现正面，50%的机会呈现反面。赌场提供的赌注奖励从最初的2美元开始，每次正面出现时赌场提供的赌注奖励翻倍进入下一轮。一旦出现反面，游戏结束，玩家赢得池中的所有奖励。因此，如果在第一次投掷时出现反面，玩家获得2美元；如果第一次投掷时出现正面，而第二次投掷时出现反面，玩家获得4美元，如果在前两次投掷中出现正面，在第三次投掷时出现反面，玩家获得8美元，依此类推。在数学上，可以计算得出玩家将赢得2^k美元，其中k等于投掷次数（k是整数且大于零）。请问你愿意支付赌场多少元来参加这个游戏？

著名哲学家伊恩·哈金（Ian Hacking）说过很少有人愿意支付25美元来参加这个游戏。而如果按照期望价值，这个游戏的价值应该是：

因而，应用期望价值无法解释人们仅愿以区区25美元来购买一个价值为无穷大的游戏。为了解决这个悖论，丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli）提出，决策者应该做的不是把期望值最大化，而是把期望值的某种转换最大化，期望值的某种转换即为期望效用（Bernoulli，1738）。伯努利认为决策者从一定数量金钱得到的效用是该数量金钱对总财富增加的非线性函数。伯努利进一步提出效用函数的特定形式，他认为效用是金钱数量的对数函数。伯努利的想法可以说是边际效用的一种反映形式。在此，伯努利并没有假设观察到的价格模式反映了消费者内在效用函数的最大化，而是提出了一个固定的效用函数，并断言理性的决策者应该最大化该函数。

我们可以看到，边际价值递减的价格理论基于这样的假设：无论决策者在做什么，他们一定是尽量最大化效用或满意度；而伯努利的决策理论则规定如何最大化效用，不论决策者实际做什么。虽然两者存在差异，但是殊途同归地来到了边际效用的结论。