二、概率的两面

让我们来想象这样一个场景：我从口袋里拿出了一枚普通的硬币。当我把它抛起来让它自由落体的时候，你觉得我得到硬币“正面”朝上这一结果的概率是多少呢？我已经在很多场合问过学生这个问题了。下面的对话表明了这样一种讨论是怎么进行的——这是一种最好的讨论方式！

中译本边码：4

达瑞：当我抛起这枚硬币的时候，正面朝上落地的概率会是多少？

学生甲：这个概率是50％。

达瑞：其他人有不同意见吗？

学生乙：我觉得我们并不知道这个概率是多少。

达瑞：真的吗？为什么会是这样呢？

学生乙：我们需要做实验来评估一下这个概率值。

达瑞：这样的话，你要对甲说些什么呢？

学生乙：这枚硬币——或者你把它抛起来——可能是不均匀的。我们不知道情况是不是这样。因此我们不得不做实验来搞清楚它是不是这样的，而且，假如情况真是这样，就要搞清楚偏差的程度有多大。

达瑞：好。也就是说，你认为如果我重复抛起这枚硬币，并记下它落下时正面朝上的频率，我们就能较好地评估一次抛掷硬币得到正面朝上的概率，是这样吗？

学生乙：是的，没错。

达瑞：也就是说，你觉得，如果通过某种魔法我们一直持续这个过程的话，实际的概率肯定会明确地显示出来。如果我们抛掷这枚硬币无限多次，并记下每一次的结果，就会从中得出实际的概率，对吗？

学生乙：是的，我就是这么想的。

达瑞：好吧。甲，对于乙说的这些，你怎么回应呢？

学生甲：哦，这枚硬币也许的确是不均匀的……

达瑞：……你的意思是，我抛掷这枚硬币的过程也许最终得到一面朝上的频率会比另一面的频率更高？

学生甲：我们当然可以这样理解。但是，即使我们想象这枚硬币是不均匀的，我们也不知道它是怎样不均匀的。因此，得出下面这个结论似乎是正确的：基于我们所知道的信息只能推断出，结果是正面朝上的概率和结果是反面朝上的概率是一样的。

达瑞：这就是说，你觉得确实存在着不一样的地方。乙，如果我的看法是错误的，请你纠正，但是按照你的观点，如果把这枚硬币换成另一枚，这个概率可能会不一样吗？换句话说，会是因为实验配置上的改变而导致不一样吗？

中译本边码：5

学生乙：是的。

达瑞：但是，甲，按照你的看法，即使我换一枚硬币，概率也会保持相同，是吗？

学生甲：是这样的。嗯……如果你不告诉我，或者我不知道更多关于这枚硬币的情况，那么情况就是这样的。

达瑞：好了。你是说，要想准确回答一个和我们正在讨论的关于“概率是什么？”相类似的问题，需要考虑所能掌握的信息有哪些，是吗？

学生甲：是的。如果你只告诉我你有一枚有两个面的硬币，那么我所知道的全部事情就是，当你抛起它并让它自由落体的时候，就会出现两种可能的结果。

达瑞：于是你的结论就是，得到其中一种可能结果的概率与另一种相同，是这样吗？

学生甲：是的。

达瑞：为什么会是这样呢？

学生甲：根据我所掌握的信息，我们没办法在这两种可能的结果之间做出选择。每一种可能结果都与另外一种结果同样“鲜活”。

达瑞：好的。甲的观点我称之为基于信息（information-based）的观点，而乙的观点我称之为基于世界（world-based）的观点。通常来看，这些已经被赋予了不同的名称——例如，认知的和客观的，或者认知的和偶然的——但我认为这些名称会让人感到更加困惑。

总而言之，我们有可能通过两种主要的方式来解释关于概率的讨论；或者把它说成是关于世界的事情（基于世界的），或者把它说成是依赖于人的信息状态（基于信息的）。也许你会觉得这些定义有点含糊，但它们本来就是这样的。事实上，在这两类关于概率的讨论的解释之间存在着很多更具体的差别。我们会在整本书中对这些解释进行考察，而且我会在本章末尾列出这些解释的一个清单。不过，眼下还是让我们只考虑上面的对话怎样继续进行下去吧。让我们考虑一下我们怎样才能开始去论证这一点：概率应该被理解为基于世界的还是基于信息的。

学生乙：等一下。我有个问题要问甲。

中译本边码：6

达瑞：问吧。

学生乙：为什么你不考虑这枚硬币侧面着地这种可能性呢？

学生甲：这是个好问题。因为我假设我对相似的硬币的表现已经有所认识了。

学生乙：那么，我们难道就不能说你已经认识到了相似的硬币是均匀的吗？或者如达瑞所说，当硬币被抛起的时候，从长远来看，正面朝上落地的频率将是50％吗？

学生甲：我并不觉得我已经认识到了这一点！

达瑞：甲，你只能说，你掌握了从经验中学到的某种信息，并把这种信息用于缩小可能性的范围。实际上，我猜想你也已经假定了当硬币被抛起后它将会落地？

学生甲：当然！

达瑞：正确。你掌握了你所拥有的全部相关信息——有些来自你自己先前的经验——而且你也想到了这些相关信息怎样才能同当前的问题建立起关联。你关心的问题是：这些信息是否与下述断定有某种关系：“当达瑞抛起这枚硬币后，它落地时会正面朝上。”

学生甲：是的。如果除了由此而产生的可能结果之外，我并没有关于抛掷硬币的其他信息，那么我会分别给“正面”“反面”和“侧面”以相同的概率。

学生乙：我明白了。看来，甲要做的并不是去考虑这枚硬币是否均匀，而是要告知她所把握的信息——或许是她所掌握的知识——在何种程度上表明了“这枚硬币被抛起之后正面朝上落地”为真。

达瑞：太好了。看得出来，这堂课会非常棒！

基于上面这些对话，你也许得到了这样一个印象：在基于世界的观点和基于信息的观点之间做出选择，会是一件很困难的事，因为两个学生都有各自合理的视角。这是一个好的印象。因为尽管你会发现关于这一点的争论已经持续了相当长的时间，但在学术界，关于哪个观点是正确的，本就众说纷纭。